开发网站 公司,番禺网页设计,网站关键词排名100,长春火车站防疫政策第一章 科学计算
误差
解题步骤 x : 真实值 x:真实值 x:真实值 x ∗ : 近似值 x^*:近似值 x∗:近似值
先求绝对误差 e ∗ e^* e∗: x − x ∗ x - x^* x−x∗ 绝对误差限是 ∣ x − x ∗ ∣ ≤ ε |x - x^{*}| \le \varepsilon ∣x−x∗∣≤ε 求相对误差限: ∣ x − x ∗…第一章 科学计算
误差
解题步骤 x : 真实值 x:真实值 x:真实值 x ∗ : 近似值 x^*:近似值 x∗:近似值
先求绝对误差 e ∗ e^* e∗: x − x ∗ x - x^* x−x∗ 绝对误差限是 ∣ x − x ∗ ∣ ≤ ε |x - x^{*}| \le \varepsilon ∣x−x∗∣≤ε 求相对误差限: ∣ x − x ∗ ∣ x ∗ \frac{|x\,\,-\,\,x^*|}{x^*} x∗∣x−x∗∣求有效数字 先计算 m将绝对误差小于这一个数的半个单位右上角的阶数为 m-n通过计算得出 n 的值就是有效数字
举个例子 相减得出结果为0.0000345则小于0.0005,则有效数字为4
例题1
第二章 线性代数直接法
高斯消去法
高斯顺序消去法解题步骤
假设是一个三行三列的矩阵
先用第一行消去2,3行再用第二行消去第三行
例题1 例题2
高斯列主元消去法解题步骤
比较哪一行的绝对值最大然后交换用第一行消去第2、3行再次比较哪一行绝对值最大交换重复步骤
例题1 例题2
LU分解
LU分解又称为杜利特尔 (Doolittle)分解法直接三角分解法
解题步骤
将A矩阵分解成L、U矩阵 L矩阵下三角矩阵对角线全为1其他元素为xU矩阵上三角矩阵第一行元素和A矩阵相同其他元素为x 从A中矩阵逆向推导L、U剩下的元素逐一相乘得出结果 按照顺序一行一行的元素去算
例题1 追赶法
追赶法又称为克劳特分解
解题步骤
将A矩阵分解为L、U矩阵L矩阵的特点下三角矩阵对角线为未知数 α \alpha α其他元素对A照抄U矩阵的特点上三角矩阵对角线为1对角线上面的元素为 β \beta β把 α , β \alpha,\beta α,β全部算出来 L y b Lyb Lyb - U x y Uxy Uxy
例题
第三章 线性代数方程组的迭代法
范数和条件数
1范数列范数每一列元素的绝对值之和的最大值 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ||A||_1 ∣∣A∣∣1无穷范数行范数每一行元素的绝对值之和的最大值2范数 向量向量元素平方的和的平方根矩阵又称为谱范数null 无穷范数条件数 c o n d ∞ ( A ) ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ∞ cond_{\infty}\left( A \right) \,\,\,\,||A||_{\infty}||A^{-1}||_{\infty} cond∞(A)∣∣A∣∣∞∣∣A−1∣∣∞
例题1 例题2
求 A − 1 A^{-1} A−1的方法
初等变换法
雅可比迭代法
解题步骤
整体思路将 Axb -xBxg 的形式先将第一行转换为 x 1 . . . x_1... x1...第二行 x 3 . . . . x_{3} .... x3....以此类推画出表格
计算器解题步骤
先将A、B、C、D、E、F设置为0 ( A 代表 x 1 , B 代表 x 2 , C 代表 x 3 A代表x_1,B代表x_2,C代表x_3 A代表x1,B代表x2,C代表x3) 0 sto A0 sto B0 sto C0 sto D0 sto E0 sto F 将每一行公式输入到计算器中使用 : : :进行分割 D …:E …:F …:AD:BE:CF 这里是因为一开始不迭代所以要设置DEF
高斯迭代法
解题步骤
与雅可比迭代类似但是每次都会迭代前面那个值
计算器解题步骤
先将A、B、C设置为0 ( A 代表 x 1 , B 代表 x 2 , C 代表 x 3 A代表x_1,B代表x_2,C代表x_3 A代表x1,B代表x2,C代表x3) 0 sto A0 sto B0 sto C 将每一行公式输入到计算器中使用 : : :进行分割 A …:B …:C …
雅可比、高斯敛散性
1. 是否严格对角占优
严格对角占优每一个对角元素的绝对值都大于它这一行的非对角元素绝对值之和就是严格对角占优
2. 判断谱半径是否小于 1
计算 A 矩阵的L、D、U A L 下三角矩阵 L 包含 A 对角线以下的元素其余位置为 0 包括对角线。 下三角矩阵 L 包含 A 对角线以下的元素其余位置为0包括对角线。 下三角矩阵L包含A对角线以下的元素其余位置为0包括对角线。 D 对角矩阵 D 仅包含 A 的对角线元素其余位置为 0 。 D − 1 是 D 每个元素的倒数 对角矩阵 D 仅包含 A 的对角线元素其余位置为0。D^{-1}是D 每个元素的倒数 对角矩阵D仅包含A的对角线元素其余位置为0。D−1是D每个元素的倒数 U 上三角矩阵 U 包含 A 对角线以上的元素其余位置为 0 包括对角线。 上三角矩阵 U 包含 A 对角线以上的元素其余位置为0包括对角线。 上三角矩阵U包含A对角线以上的元素其余位置为0包括对角线。 计算迭代矩阵 T J − D − 1 ( L U ) 计算迭代矩阵 T_J-D^{-1}(LU) 计算迭代矩阵TJ−D−1(LU)计算出谱半径特征值绝对值的最大值 如果小于1 则收敛否则不收敛
用计算器计算特征值 特征值回顾 矩阵赋值 将 ANS 赋值给 B ∣ A − λ E ∣ 0 算出 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 |A-\lambda E| 0 算出 \lambda_{1} 、 \lambda_{2} 、\lambda_3 ∣A−λE∣0算出λ1、λ2、λ3 再计算出 ( A − λ E ) 0 (A-\lambda E) 0 (A−λE)0 化到最简 ( A − λ E ) (A-\lambda E) (A−λE)
第四章 多项式插值和样条插值
拉格朗日插值
一共 2 个部分
插值多项式插值余项
插值多项式 l n ( x ) [ ∏ i 0 , i ≠ j n x − x i x j − x i ] y i l_n(x) [ \prod_{i0,i\ne j}^{n}\frac{x-x_i}{x_j-xi}] y_i ln(x)[∏i0,ijnxj−xix−xi]yi L n ( x ) ∑ j 0 n L j ( x ) y j L_n(x)\sum_{j0}^{n}L_j(x)y_j Ln(x)∑j0nLj(x)yj
线性 n1以此类推后面就是 2 次、3 次
插值余项 ∣ R n ( x ) ∣ M n 1 ( n 1 ) ! ∣ W n 1 ( x ) ∣ |R_n(x)|\frac{M_{n1}}{(n1)!} |W_{n1}(x)| ∣Rn(x)∣(n1)!Mn1∣Wn1(x)∣ M n 1 max a ≤ x ≤ b ∣ f n 1 ( x ) ∣ M_{n1} \max_{a\le x\le b}|f^{n1}(x)| Mn1maxa≤x≤b∣fn1(x)∣ W n 1 ( x ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) . . . ( x − x n ) W_{n1}(x) (x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) Wn1(x)(x−x0)(x−x1)...(x−xn)
牛顿插值
插值多项式 f ( x 0 , . . . , x n ) f n − f n − 1 x n − x 0 f(x_0,...,x_n) \frac{f_n - f_{n-1}}{x_n-x_0} f(x0,...,xn)xn−x0fn−fn−1
解题步骤
列差商表
xf(x)一阶差商 x 0 x_0 x0 f 0 f_0 f0 x 1 x_1 x1 f 1 f_1 f1 f ( x 0 , x 1 ) f(x_0,x_1) f(x0,x1) 以此类推有 n 个 x 的值就有多少次 n-1 阶差商 最后的结果公式 N n ( x ) f 0 f ( x 0 , x 1 ) ( x − x 0 ) . . . f ( x 0 , . . . , x n 1 ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) . . . ( x − x n ) N_{n}(x)f_0 f(x_0,x_1)(x-x_0) ...f(x_0,...,x_{n1})(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) Nn(x)f0f(x0,x1)(x−x0)...f(x0,...,xn1)(x−x0)(x−x1)...(x−xn)
牛顿插值余项
需要补充
第五章 函数逼近
最佳平方逼近
解题步骤
一般题目会给多项式将其改写为 y a b x c x 2 d x 3 . . . y a bx cx^{2} dx^{3} ... yabxcx2dx3...还有区间 [ u , d ] [u,d] [u,d] 如果是线性最佳平方逼近 多项式为 y a b x y a bx yabx这边 φ 0 1 \varphi_{0} 1 φ01代表第一个未知数, φ 1 x , φ 2 x 2 , φ 3 x 3 \varphi_{1} x,\varphi_{2} x^{2} ,\varphi_{3}x^3 φ1x,φ2x2,φ3x3 列法方程 ( φ 0 φ 0 φ 0 φ 1 φ 0 φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 1 φ 1 φ 2 φ 2 φ 0 φ 2 φ 1 φ 2 φ 2 ) ( a b c ) ( ( f , φ 0 ) ( f , φ 1 ) ( f , φ 2 ) ) \begin{pmatrix}\varphi_0\varphi_0 \varphi_0\varphi_1 \varphi_0\varphi_2\\ \varphi_1\varphi_0 \varphi_1\varphi_1 \varphi_1\varphi_2\\ \varphi_2\varphi_0 \varphi_2\varphi_1\varphi_2\varphi_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\b \\c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}(f,\varphi_0) \\(f,\varphi_1) \\(f,\varphi_2)\end{pmatrix} φ0φ0φ1φ0φ2φ0φ0φ1φ1φ1φ2φ1φ0φ2φ1φ2φ2φ2 abc (f,φ0)(f,φ1)(f,φ2) 第一个位置以 φ 0 开始后面每一行开头都自增第二个位置从 φ 0 到 φ n 结束 第一个位置以\varphi_0开始后面每一行开头都自增第二个位置从\varphi_0到\varphi_n结束 第一个位置以φ0开始后面每一行开头都自增第二个位置从φ0到φn结束a,b,c 是多项式中的 a,b,cf 为 y 计算 φ 0 φ 0 \varphi_0\varphi_0 φ0φ0 ∫ d u φ 0 ∗ φ 0 d x \int_{d}^{u} \varphi_0 * \varphi_0 dx ∫duφ0∗φ0dx ( f , φ 0 ) (f,\varphi_0) (f,φ0) ∫ d u f ∗ φ 0 d x \int_{d}^{u} f* \varphi_0 dx ∫duf∗φ0dx以此类推 算出方程后直接代入计算器解出 a,b,c 的值
最小二乘法
解题步骤
通常使用最小二乘法都会带有 x,y 的表格和一个多项式化简多项式为 φ 0 1 , φ 1 x , φ 2 x 2 , φ 3 x 3 和 a , b , c 的形式 \varphi_{0} 1,\varphi_{1} x,\varphi_{2} x^{2} ,\varphi_{3}x^{3}和 a,b,c 的形式 φ01,φ1x,φ2x2,φ3x3和a,b,c的形式列法方程计算前先举个例子 y a b x ya bx yabx - 这里 φ 0 1 , φ 1 x \varphi_{0} 1,\varphi_{1} x φ01,φ1x x有 3 个那么 φ 0 [ 1 1 1 ] \varphi_{0} \begin{bmatrix} 1\\1 \\1\end{bmatrix} φ0 111 将 x 代入 φ 1 [ − 3 − 2 − 1 ] \varphi_{1} \begin{bmatrix} -3\\-2 \\-1\end{bmatrix} φ1 −3−2−1 如果有 φ 2 x 2 \varphi_{2} x^2 φ2x2的话那么 φ 2 [ ( − 3 ) 2 9 ( − 2 ) 2 4 ( − 1 ) 2 1 ] \varphi_{2} \begin{bmatrix} (-3)^2 9\\(-2) ^ 2 4 \\ (-1)^2 1\end{bmatrix} φ2 (−3)29(−2)24(−1)21 建立法方程 φ 0 φ 0 \varphi_0\varphi_0 φ0φ0 x 个 1 组成的向量内积和 x 个 1 组成的向量内积和 x个1组成的向量内积和 [ 1 1 1 ] ∗ [ 1 1 1 ] 1 1 1 3 \begin{bmatrix}1 \\1 \\1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}1 \\1 \\1\end{bmatrix} 1 1 1 3 111 ∗ 111 1113 φ 0 φ 1 \varphi_0\varphi_1 φ0φ1 φ 1 φ 0 \varphi_1\varphi_0 φ1φ0 [ 1 1 1 ] ∗ [ − 3 − 2 − 1 ] − 3 − 2 − 1 − 6 \begin{bmatrix} 1\\1 \\1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} -3\\-2 \\-1\end{bmatrix} -3 -2 -1 -6 111 ∗ −3−2−1 −3−2−1−6 φ 1 φ 1 \varphi_1\varphi_1 φ1φ1 [ − 3 − 2 − 1 ] ∗ [ − 3 − 2 − 1 ] 9 4 1 14 \begin{bmatrix} -3\\-2 \\-1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} -3\\-2 \\-1\end{bmatrix} 9 4 1 14 −3−2−1 ∗ −3−2−1 94114 f φ 1 [ − 3.2 − 2.1 − 1.2 ] ∗ [ − 3 − 2 − 1 ] − 3 ∗ − 3.2 − 2.1 ∗ − 2 − 1.2 − 1 15 f\varphi_1 \begin{bmatrix} -3.2\\-2.1 \\-1.2\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}-3 \\-2 \\-1\end{bmatrix} -3*-3.2 -2.1 * -2 -1.2 -115 fφ1 −3.2−2.1−1.2 ∗ −3−2−1 −3∗−3.2−2.1∗−2−1.2−115 将值代入矩阵通过计算器得出结果将 a , b a,b a,b 结果代入 y a b x ya bx yabx 得到最小二乘拟合函数
第六章 数值积分
尽可能高的代数精度
解题步骤
一般题目会给一个积分 ≈ \approx ≈一个多项式 将f(x) 分别计算 1 , x , x 2 , x 3 . . . 1,x,x^2,x^3... 1,x,x2,x3...取决于多项式中未知数的个数 计算出来的值和多项式进行匹配联立一个方程 通过计算器得出结果 计算R(f),一般从计算过的x次方的后一个开始计算 R(f) 积分 - 多项式 如果不等于0 那么精度为次方数m-1等于0 继续算下一个次方 复合梯形公式
解题步骤 h b − a n , n a , b 区间等分数 h\frac{b-a}{n},na,b\text{区间等分数} hnb−a,na,b区间等分数 把所有x的值列出来 带入公式 ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 2 [ f ( a ) f ( b ) 2 ∑ k 1 n − 1 f ( x k ) ] \int_a^b{f\left( x \right) dx\approx \frac{h}{2}\left[ f\left( a \right) f\left( b \right) 2\sum_{k1}^{n-1}{f\left( x_k \right)} \right]} ∫abf(x)dx≈2h[f(a)f(b)2k1∑n−1f(xk)] 计算 ∑ k 1 n − 1 f ( x k ) \sum_{k1}^{n-1}{f\left( x_k \right)} ∑k1n−1f(xk) 先得出x的值举例带入f函数得出y的值然后相加
例题 复合辛普森公式
解题步骤
前面计算h,n是一样的把所有的x的值列出来计算 x k 1 2 x k h 2 x_{k\frac{1}{2}}x_k\frac{h}{2} xk21xk2h计算公式得出结果 ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 6 [ f ( a ) f ( b ) 4 ∑ k 0 n − 1 f ( x k 1 2 ) 2 ∑ k 1 n − 1 f ( x k ) ] \int_a^b{f\left( x \right) dx\approx \frac{h}{6}\left[ f\left( a \right) f\left( b \right) 4\sum_{k0}^{n-1}{f\left( x_{k\frac{1}{2}} \right) 2\sum_{k1}^{n-1}{f\left( x_k \right)}} \right]} ∫abf(x)dx≈6h[f(a)f(b)4k0∑n−1f(xk21)2k1∑n−1f(xk)]
第九章 常微分方程初边值问题数值解
龙格-库塔公式
基本概念
一般问题会有 y ′ , h , f ( x ) y y, h , f(x) y y′,h,f(x)y等参数 将其转换为 注意h的值一般是在 0 ≤ x ≤ 1 0 \le x \le 1 0≤x≤1之间逐渐相加之后递增到1结束计算 四阶四段龙格库塔公式如下
解题步骤
将 x 0 , y 0 , h x_0,y_0,h x0,y0,h写在旁边先将题目中给出的已知信息代入 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 k_1,k_2,k_3,k_4 k1,k2,k3,k4更新 y n y_n yn的值重复过程 k 2 k_2 k2-f的 x n h 2 x_n\frac{h}{2} xn2h表示 x x x,同理另外一个表示 y y y,将其代入到f(x,y)中进行化简
