企业手机网站建设报价,手机网站模版免费下载,地下城钓鱼网站怎么做,榆林网络公司建设网站随机事件与随机变量 一、随机事件1.基本概念释义概率1.定义#xff1a;2.主要性质#xff1a;3.古典概型4.条件概率1.定义#xff1a;2.例子#xff1a; 5.全概率公式和贝叶斯公式 二、随机变量1.随机变量及其分布2. 离散型随机变量3.常见的离散型分布1.伯努利实验#xf… 随机事件与随机变量 一、随机事件1.基本概念释义概率1.定义2.主要性质3.古典概型4.条件概率1.定义2.例子 5.全概率公式和贝叶斯公式 二、随机变量1.随机变量及其分布2. 离散型随机变量3.常见的离散型分布1.伯努利实验二项分布 4.随机变量的数字特征1.数学期望2.方差3.协方差和相关系数 一、随机事件
1.基本概念释义
现实生活中一个动作或一件事情在一定条件下所得的结果不能预先完全确定而只能确定是多种可能结果中的一种称这种现象为随机现象。
掷骰子数字可能是1-6中任意一个这就是随机现象。
使随机现象得以实现和对它观察的全过程称为随机试验记为 E E E。随机实验满足以下三个条件:
1.可以在相同条件下重复进行 2. 结果有多种可能性并且所有可能结果事先已知 3. 作一次试验究竟哪个结果出现事先不能确定。
名词符号定义样本空间 Ω \Omega Ω随机试验的所有可能结果组成的集合样本点 ω \omega ω试验的每一个可能结果随机事件 A , B , C . . . A,B,C... A,B,C...样本空间 Ω \Omega Ω中满足一定条件的子集。随机事件在随机试验中可能出现也可能不出现。必然事件在试验中称一个事件发生是指构成该事件的一个样本点出现。由于样本空间\Omega包含了所有的样本点所以在每次试验中它总是发生因此称\Omega为必然事件。不可能事件空集 ϕ \phi ϕ不包含任何样本点且在每次试验中总不发生
例子 掷骰子游戏中我们知道出现的结果可能是1,2,3,4,5,6其中的任意一个数字。那么出现任何一个数字都可以成为一个样本点随机事件是什么呢就是一些样本点的的集合当然了是在一定条件下。比如出现的数字是偶数的结果。 那么2,4,6就够成了一个随机事件A{2,4,6}。 样本空间就是1到6的六个数字 Ω { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \Omega\{1,2,3,4,5,6\} Ω{1,2,3,4,5,6}。 可以看到A 是 Ω \Omega Ω的一个子集。 空集可以定义 ϕ \phi ϕ为结果的数字大于6显然是不可能出现的。
概率
1.定义
随机试验 E E E的样本空间为 Ω \Omega Ω对于每个事件 A A A定义一个实数 P ( A ) P(A) P(A)与之对应若函数 P ( . ) P(.) P(.)满足条件 对每个事件 A A A均有 0 P ( A ) 1 0P(A)1 0P(A)1; P ( Ω ) 1 P(\Omega)1 P(Ω)1; 若事件 A 1 , A 2 , A 3 , . . . A_1,A_2,A_3,... A1,A2,A3,...两两互斥即对于 i j 1 , 2 , . . . i ≠ j , A i ∩ A j ϕ ij1,2,...i \neq j ,A_i \cap A_j \phi ij1,2,...ij,Ai∩Ajϕ均有 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) . . . P(A_1 \cup A_2 \cup ...)P(A_1) P(A_2) ... P(A1∪A2∪...)P(A1)P(A2)...
则称 P ( A ) P(A) P(A)为事件 A A A的概率。
2.主要性质
对于任一事件 A A A均有 P ( A ‾ ) 1 − P ( A ) P(\overline{A})1-P(A) P(A)1−P(A).对于两个事件 A A A和 B B B若 A ⊂ B A \subset B A⊂B则有
$P(B-A) P(B) - P(A), P(B) P(A) $.
对于任意两个事件 A A A和 B B B有
P ( A ∪ B ) P ( A ) P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A \cup B) P(A) P(B) - P(A\cap B) P(A∪B)P(A)P(B)−P(A∩B).
例子 掷骰子中1,2,3,4,5,6出现的概率均为1/6。 我们令 A { 1 , 2 } , B { 1 , 2 , 3 } A \{ 1,2 \},B \{1,2,3\} A{1,2},B{1,2,3}。那么有 A ‾ { 3 , 4 , 5 , 6 } \overline{A}\{ 3,4,5,6\} A{3,4,5,6}。可以看到出现1或2的概率为1/3即 P ( A ) 1 / 3 P(A) 1/3 P(A)1/3出现1或2或3的概率为1/2即 P ( B ) 1 / 2 P(B) 1/2 P(B)1/2。根据性质我们有 P ( A ‾ ) 1 − P ( A ) 1 − 1 / 3 2 / 3 P(\overline{A})1-P(A) 1-1/32/3 P(A)1−P(A)1−1/32/3,也就是出现3或4或5或6的概率 P ( B − A ) P ( B ) − P ( A ) 1 / 2 − 1 / 3 1 / 6 P(B-A)P(B) -P(A) 1/2-1/31/6 P(B−A)P(B)−P(A)1/2−1/31/6,也就是出现3的概率 P ( A ∪ B ) P ( A ) P ( B ) − P ( A ∩ B ) 1 / 3 1 / 2 − 1 / 3 1 / 2 P(A \cup B) P(A) P(B) - P(A\cap B) 1/3 1/2 -1/3 1/2 P(A∪B)P(A)P(B)−P(A∩B)1/31/2−1/31/2,也就是出现的1或2或3也就是事件 B B B的概率因为 A ⊂ B A \subset B A⊂B。这里的 A ∩ B A { 1 , 2 } A \cap B A \{ 1,2 \} A∩BA{1,2}。
3.古典概型
我们将掷骰子游戏进行推广设随机事件 E E E 的样本空间中只有有限个样本点即 Ω { ω 1 , ω 2 , . . . , ω n } \Omega \{ \omega_1, \omega_2,..., \omega_n \} Ω{ω1,ω2,...,ωn}其中 n n n 为样本点的总数。每个样本点 ω i ( i 1 , 2 , . . . , n ) \omega_i (i 1,2,...,n) ωi(i1,2,...,n)出现是等可能的并且每次试验有且仅有一个样本点发生则称这类现象为古典概型。若事件 A A A 包含个 m m m 个样本点则事件 A A A 的概率定义为 P ( A ) m n 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 数 基 本 事 件 总 数 P(A) \frac{m} {n} \frac{事件A包含的基本事件数} {基本事件总数} P(A)nm基本事件总数事件A包含的基本事件数 假设有 k k k 个不同颜色的球每个球以同样的概率 1 / l 1/l 1/l 落到 l l l 个格子 ( l k ) (lk) (lk) 的每个中且每个格子可容纳任意多个球。问分别求出如下两个事件 A A A 和 B B B 的概率。 A A A :指定的 k k k 个格子中各有一个球 B B B :存在 k k k 个格子其中各有一个球。
我们思考一下由于每个球可以平均地落入 l l l 个格子中的任一个并且每一个格子中可落入任意多个球所以 k k k 个球落入 l l l 个格子中的分布情况相当于从 l l l 个格子中选取 k k k 个的可重复排列故样本空间共有 l k l^k lk 种等可能的基本结果。
所以事件 A A A 所含基本结果数应是 k k k 个球在指定的 l l l 个格子中的全排列数即 k ! k! k!那么有
P ( A ) k ! l k P(A) \frac{k!} {l^k} P(A)lkk!
为了算出事件 B B B 所含的基本事件数我们可以分两步进行因为 l l l 个格子可以是任意选取的故可先从 l l l 个格子中任意选出 k k k 个出来那么选法共有 C l k C^k_l Clk 种。对于每种选定的 k k k 个格子依上述各有一个球的推理则有 k ! k! k!个基本结果故B含有 C l k ∗ k C^k_l*k Clk∗k 个基本结果。那么有
P ( B ) C l k ∗ k l k l l k ∗ l − k ! P(B) \frac {C^k_l*k} {l^k} \frac {l} {l^k*l-k!} P(B)lkClk∗klk∗l−k!l
我们把上述例子应有到具体的问题中概率论的历史上有一个颇为著名的问题生日问题求 k k k 个同班同学没有两人生日相同的概率。
如果把这 k k k 个同学看作上例中的 k k k 个球而把一年365天看作格子即 l 365 l365 l365 则上述的 P ( B ) P(B) P(B)就是所要求的概率。我们令 k 40 k40 k40 时利用上面的公式则 P ( B ) 0.109 P(B) 0.109 P(B)0.109。换句话说40个同学中至少两个人同一天过生日的概率是 P ( B ‾ ) 1 − 0.109 0.891 P(\overline {B}) 1 - 0.109 0.891 P(B)1−0.1090.891。其概率大的出乎意料。
这讲内容更多地是对概念知识的理解不太涉及软件的实现给出简单的 P ( B ) P(B) P(B)Python实现
#我们采用函数的递归的方法计算阶乘
def factorial(n):if n 0:return 1;else:return (n*factorial(n-1)) l_fac factorial(365); #l的阶乘
l_k_fac factorial(365-40) #l-k的阶乘
l_k_exp 365**40 #l的k次方P_B l_fac /(l_k_fac * l_k_exp) #P(B
print(事件B的概率为,P_B)
print(40个同学中至少两个人同一天过生日的概率是,1 - P_B)4.条件概率
1.定义
设 A A A 和 B B B 是两个事件且 P ( B ) 0 P(B)0 P(B)0称 $P(A|B) \frac {P(AB)} {P(B)} $ 为在事件 B B B 发生的条件下事件 A A A 发生的概率。
2.例子
某集体中有 N N N 个男人和 M M M 个女人其中患色盲者男性 n n n 人女性 m m m 人。我们用 Ω \Omega Ω 表示该集体 A A A 表示其中全体女性的集合 B B B 表示其中全体色盲者的集合。如果从 Ω \Omega Ω 中随意抽取一人则这个人分别是女性、色盲者和同时既为女性又是色盲者的概率分别为
P ( A ) M M N , P ( B ) m n M N , P ( A B ) m M N P(A) \frac {M} {MN} , P(B) \frac {mn} {MN} , P(AB) \frac {m} {MN} P(A)MNM,P(B)MNmn,P(AB)MNm
如果限定只从女性中随机抽取一人**(即事件 A A A 已发生)那么这个女人为色盲者的(条件)**概率为
P ( B ∣ A ) m M P ( A B ) P ( A ) P(B|A) \frac {m} {M} \frac {P(AB)} {P(A)} P(B∣A)MmP(A)P(AB)
5.全概率公式和贝叶斯公式 准备知识首先我们看一下概率乘法公式和样本空间划分的定义 由条件概率公式可以得到概率的乘法公式 $P(AB)P(B|A)P(A) P(A|B)P(B) $ 如果事件组满足 B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,... 两两互斥即 B i ∩ B j ϕ i ≠ j , i , j 1 , 2 , . . . B_i\cap B_j \phii \neq j ,i,j 1,2,... Bi∩Bjϕij,i,j1,2,...且 P ( B i ) 0 , i 1 , 2 , . . . P(B_i)0,i1,2,... P(Bi)0,i1,2,... B 1 ∪ B 2 ∪ . . . Ω B_1 \cup B_2 \cup ... \Omega B1∪B2∪...Ω
则称事件组 B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,...是样本空间 $ \Omega$ 的一个划分。 全概率公式 设 B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,...是样本空间 $ \Omega$ 的一个划分 A A A 为任一事件则 P ( A ) ∑ i 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A) \sum_{i1}^{\infty } {P(B_i)}P(A|B_i) P(A)∑i1∞P(Bi)P(A∣Bi) 称为全概率公式。 根据全概率公式和概率乘法公式我们可以得到 贝叶斯公式 设 B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,...是样本空间 $ \Omega$ 的一个划分则对任一事件 A ( P ( A ) 0 ) A(P(A)0) A(P(A)0) ,有 $P(B_i|A) \frac {P(B_i A)} {P(A)} \frac {P(A|B_i )P(B_i)} {\sum_{j1}^{\infty }P( B_j)P(A|B_j)} ,i1,2,… $ 称上式为贝叶斯公式称 P ( B i ) ( i 1 , 2 , . . . ) P(B_i)(i1,2,...) P(Bi)(i1,2,...) 为先验概率 P ( B i ∣ A ) i 1 , 2 , . . . P(B_i|A)i1,2,... P(Bi∣A)i1,2,...为后验概率。
例子:
在实际中常取对样本空间 Ω \Omega Ω 的有限划分 B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn 。 B i B_i Bi 视为导致试验结果 A A A 发生的“原因”而 P ( B i ) P(B_i) P(Bi) 表示各种“原因”发生的可能性大小故称为先验概率 P ( B i ∣ A ) P(B_i|A) P(Bi∣A) 则反应当试验产生了结果 A A A 之后再对各种“原因”概率的新认识故称为后验概率 。
假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌。用 C C C 表示被检验者有肝癌这一事件用 A A A 表示被检验者为阳性反应这一事件。当前有肝癌的患者被检测呈阳性反应的概率为0.95。即 P ( A ∣ C ) 0.95 P(A|C) 0.95 P(A∣C)0.95 。当前非肝癌的患者被检测呈阴性反应的概率为0.9。即 P ( A ‾ ∣ C ‾ ) 0.90 P(\overline {A}|\overline {C}) 0.90 P(A∣C)0.90 。若某人群中肝癌患者概率为0.0004即$P© 0.0004 $现在有一人呈阳性反应求此人确为肝癌患者的概率是多少
解 P ( C ∣ A ) P ( C ) P ( A ∣ C ) P ( C ) P ( A ∣ C ) P ( C ‾ ) P ( A ∣ C ‾ ) 0.0004 ∗ 0.95 0.0004 ∗ 0.95 0.9996 ∗ 0.1 0.0038 P(C|A) \frac {P(C)P(A|C)} {P(C)P(A|C)P(\overline {C} )P(A|\overline {C})} \frac {0.0004*0.95}{0.0004*0.95 0.9996*0.1} 0.0038 P(C∣A)P(C)P(A∣C)P(C)P(A∣C)P(C)P(A∣C)0.0004∗0.950.9996∗0.10.0004∗0.950.0038
二、随机变量
1.随机变量及其分布 随机变量定义 设 E E E 是随机试验 Ω \Omega Ω 是样本空间如果对于每一个 ω ∈ Ω \omega \in \Omega ω∈Ω 。都有一个确定的实数 X ( ω ) X(\omega) X(ω) 与之对应若对于任意实 x ∈ R x \in R x∈R , 有 { ω X ( ω ) x } ∈ F \{\omega X(\omega) x \} \in F {ωX(ω)x}∈F 则称 Ω \Omega Ω 上的单值实函数 X ( ω ) X(\omega) X(ω) 为一个随机变量。
从定义可知随机变量是定义在样本空间 Ω \Omega Ω 上取值在实数域上的函数。由于它的自变量是随机试验的结果而随机试验结果的出现具有随机性因此随机变量的取值也具有一定的随机性。这是随机变量与普通函数的不同之处。
描述一个随机变量不仅要说明它能够取那些值而且还要关心它取这些值的概率。因此接下来引入随机变量的分布函数的概念。
随机变量的分布函数定义
设 X X X 是一个随机变量对任意的实数 x x x 令 F ( x ) P { X x } , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) F(x) P \{ Xx\} ,x \in (- \infty , \infty) F(x)P{Xx},x∈(−∞,∞) 则称 F ( x ) F(x) F(x) 为随机变量 x x x 的分布函数也称为概率累积函数。
直观上看分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 是一个定义在 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty, \infty) (−∞,∞) 上的实值函数 F ( x ) F(x) F(x)在点 x x x 处取值为随机变量 X X X 落在区间 ( − ∞ , x ] (- \infty, x] (−∞,x]上的概率 。分布函数概率累积函数很好理解就是在一个区间范围内概率函数的累加。这个区间就是负无穷到当前节点。
2. 离散型随机变量
如果随机变量 X X X 的全部可能取值只有有限多个或可列无穷多个则称 X X X 为离散型随机变量。掷骰子的结果就是离散型随机变量。
对于离散型随机变量 X X X 可能取值为 x k x_k xk的概率为 P { X x k } p k , k 1 , 2 , . . . P \{ X x_k \} p_k,k1,2,... P{Xxk}pk,k1,2,... 则称上式为离散型随机变量 X X X 的分布律。
我们可以用下表来表示分布律 X X X x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2… x n x_n xn… p k p_k pk p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2… p n p_n pn…
离散型随机变量的分布函数为 F ( x ) P { X x } ∑ x k x P { X x k } ∑ x k x P k F (x) P \{ Xx \} \sum_{x_k x}{ P \{ Xx_k \} } \sum_{x_k x}{ P_k} F(x)P{Xx}xkx∑P{Xxk}xkx∑Pk
3.常见的离散型分布
1.伯努利实验二项分布 定义 如果一个随机试验只有两种可能的结果 A A A 和 A ‾ \overline A A并且 P ( A ) p P ( A ‾ ) 1 − p q P(A) pP(\overline A) 1-pq P(A)pP(A)1−pq
其中 0 p 1 0p1 0p1 则称此试验为Bernoulli(伯努利)试验. Bernoulli试验独立重复进行 n n n 次称为 n n n 重伯努利试验。
例子
从一批产品中检验次品在其中进行有放回抽样 n n n 次抽到次品称为“成功”抽到正品称为“失败“这就是 n n n 重Bernoulli试验。
设 A { n 重 伯 努 利 试 验 中 A 出 现 k 次 } A \{ n重伯努利试验中A出现k次\} A{n重伯努利试验中A出现k次} 则 P ( A k C n k p k ( 1 − p ) n − k , k 0 , 1 , 2 , . . . n . P(A_k C^k_np^k(1-p)^{n-k},k0,1,2,...n. P(AkCnkpk(1−p)n−k,k0,1,2,...n. 这就是著名的二项分布常记作 B ( n k B(nk B(nk。
解释一共抽了 n n n 次 k ( k n ) k(kn) k(kn) 次抽中了 A A A ,概率为 p p p ,那么 n − k n-k n−k 次抽中了非 A A A概率为 1 − p 1-p 1−p 组合的次数就是 C n k C^k_n Cnk 。所以 P ( A k C n k p k ( 1 − p ) n − k , k 0 , 1 , 2 , . . . n . P(A_k C^k_np^k(1-p)^{n-k},k0,1,2,...n. P(AkCnkpk(1−p)n−k,k0,1,2,...n.
分布函数
若随机变量 X X X 的分布律为 P { X k } C n k p k ( 1 − p ) n − k , k 0 , 1 , 2 , . . . n . P \{ X k \} C^k_np^k(1-p)^{n-k},k0,1,2,...n. P{Xk}Cnkpk(1−p)n−k,k0,1,2,...n. 其分布函数为 F x ∑ k [ x ] C n k p k ( 1 − p ) n − k , k 0 , 1 , 2 , . . . n . Fx \sum_{k}^{[x]} {C^k_np^k(1-p)^{n-k}},k0,1,2,...n. Fxk∑[x]Cnkpk(1−p)n−k,k0,1,2,...n. 其中 [ x ] [x] [x] 表示下取整即不超过 x x x 的最大整数。
4.随机变量的数字特征
1.数学期望
离散型设离散型随机变量 X X X 的分布律为 P { X x i } p i , i 1 2 . . . P \{ Xx_i\} p_i ,i 12... P{Xxi}pi,i12... 若级数 ∑ i ∣ x i ∣ p i \sum_{i} {|x_i|p_i} ∑i∣xi∣pi 收敛则称级数 ∑ i x i p i \sum_{i} {x_ip_i} ∑ixipi 的和为随机变量 X X X 的数学期望。记为 E ( X ) E(X) E(X) ,即 E ( X ) ∑ i x i p i E(X) \sum_{i} {x_ip_i} E(X)i∑xipi
设连续型随机变量 X X X 的概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x) ,若积分 ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ f x d x \int_{- \infty}^{ \infty}{|x|fx}dx ∫−∞∞∣x∣fxdx 收敛 称积分 ∫ − ∞ ∞ x f x d x \int_{- \infty}^{ \infty}{xfx}dx ∫−∞∞xfxdx 的值为随机变量 X X X 的数学期望记为 E ( X ) E(X) E(X) ,即 E ( X ) ∫ − ∞ ∞ x f x d x E(X) \int_{- \infty}^{ \infty}{xfx}dx E(X)∫−∞∞xfxdx E ( X ) E(X) E(X) 又称为均值。
数学期望代表了随机变量取值的平均值是一个重要的数字特征。数学期望具有如下性质
若 c c c 是常数则 E ( c ) c E(c) c E(c)c ; E ( a X b Y ) a E ( X ) b E ( Y ) E(aXbY) aE(X) bE(Y) E(aXbY)aE(X)bE(Y) , 其中a, b为任意常数若 X , Y X, Y X,Y 相互独立则 E ( X Y ) E ( X ) E ( Y ) E(XY) E(X)E(Y) E(XY)E(X)E(Y) 。
2.方差
设 X X X 为随机变量如果 E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{ [X-E(X)]^2\} E{[X−E(X)]2} 存在则称 E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{ [X-E(X)]^2\} E{[X−E(X)]2} 为 X X X 的方差。记为 V a r ( X ) Var(X) Var(X) , 即 V a r X E { [ X − E ( X ) ] 2 } Var X E\{ [X-E(X)]^2\} VarXE{[X−E(X)]2}
并且称 V a r ( X ) \sqrt{Var(X)} Var(X) 为 X X X 的标准差或均方差。
方差是用来描述随机变量取值相对于均值的离散程度的一个量也是非常重要的数字特征。方差有如下性质:
若 c c c 是常数则 V a r ( c ) 0 Var(c) 0 Var(c)0 ; V a r ( a X b ) a 2 V a r ( X ) Var(aXb) a^2Var(X) Var(aXb)a2Var(X) , 其中a, b为任意常数若 X , Y X, Y X,Y 相互独立则 V a r ( X Y ) V a r ( X ) V a r ( Y ) Var(XY) Var(X) Var(Y) Var(XY)Var(X)Var(Y) 。
3.协方差和相关系数
协方差和相关系数都是描述随机变量 X X X 与随机变量 Y Y Y 之间的线性联系程度的数字量。 设 X , Y X, Y X,Y 为两个随机变量称 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } E\{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]\} E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} 为 X X X 和 Y Y Y 的协方差记为 C o v ( X , Y ) Cov(X, Y) Cov(X,Y)即 C o v ( X , Y ) E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } Cov(X, Y) E\{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]\} Cov(X,Y)E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} 协方差有如下性质 C o v ( X , Y ) C o v ( Y , X ) Cov(X, Y) Cov(Y, X) Cov(X,Y)Cov(Y,X) ; C o v ( a X b c Y d ) a c C o v ( X Y ) Cov(aXbcYd) ac Cov( XY) Cov(aXbcYd)acCov(XY) ,其中 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d 为任意常数 C o v ( X 1 X 2 Y ) C o v ( X 1 Y ) C o v ( X 2 Y ) Cov(X_1X_2Y) Cov( X_1Y) Cov( X_2Y) Cov(X1X2Y)Cov(X1Y)Cov(X2Y) ; C o v ( X Y ) E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Cov(XY) E( XY) -E( X)E(Y) Cov(XY)E(XY)−E(X)E(Y) ; 当 X , Y X,Y X,Y 相互独立时有 C o v ( X Y ) 0 Cov(XY) 0 Cov(XY)0; ∣ C o v ( X Y ) ∣ V a r ( X ) V a r ( Y ) |Cov(XY)| \sqrt {Var(X)} \sqrt {Var(Y)} ∣Cov(XY)∣Var(X) Var(Y) ; C o v ( X X ) V a r ( X ) Cov(XX) Var( X) Cov(XX)Var(X) ; 当 V a r ( X ) 0 V a r ( Y ) 0 \sqrt {Var(X)} 0 \sqrt {Var(Y)} 0 Var(X) 0Var(Y) 0 时称 ρ X , Y C o v ( X Y ) V a r ( X ) V a r ( Y ) \rhoX,Y \frac{Cov(XY)}{\sqrt {Var(X)} \sqrt {Var(Y)}} ρX,YVar(X) Var(Y) Cov(XY) 为 X , Y X,Y X,Y 的相关系数它是无纲量的量也就是说没有单位只是个代数值。 基本上我们都会用相关系数来衡量两个变量之间的相关程度。相关系数在-1到1之间小于零表示负相关大于零表示正相关。绝对值 ∣ ρ X , Y ∣ |\rhoX,Y| ∣ρX,Y∣ 表示相关度的大小。越接近1相关度越大。
