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众所周知计算机模拟的随机是伪随机#xff0c;但在结果看来依然和现实中的随机差别不大。 例如掷硬币#xff0c;连续掷很多很多次之后#xff0c;总有连续七八十来次同一个面朝上的情况出现#xff0c;计算机中一般的随机函数也能很好模拟这一点。
但在游戏中…前言
众所周知计算机模拟的随机是伪随机但在结果看来依然和现实中的随机差别不大。 例如掷硬币连续掷很多很多次之后总有连续七八十来次同一个面朝上的情况出现计算机中一般的随机函数也能很好模拟这一点。
但在游戏中假如有一个50%概率会出现的情况经常连续七八十来次不出现这样其实非常影响游戏体验。
那么为了增加这部分游戏体验我们如何避免上述情况发生使某个概率能在总体上较为均匀地分布呢
例如现在有这样的需求 A. 暴击率总体为20% B. 要求每十次攻击至少有一次暴击 C. 要求暴击的总体分布较为均匀 算法预览
经过一段时间的深思熟虑笔者终于构建了一种名为“动态平衡概率”的算法。 虽然它还有一些局限性但已经达到了基本可用的状态。
先上代码为了方便演示图表这里就用 python 了
import matplotlib.pyplot as plt
import random# 初始化变量
InitCritPercent 0.2 # 初始暴击率
dynamicCritPercent 0.2 # 动态暴击率
currentCritPercent 0 # 当前暴击概率
deltaCritPercent 0 # 当前暴击率与初始暴击率的差值用来表示变化
attackTotalCount 0 # 总攻击次数
critTotalCount 0 # 总暴击次数
noCritStreakCount 0 # 连续未暴击次数# 给 plot 准备的列表
currentCritPercentList []
deltaCritPercentList []
dynamicCritPercentList []
noCritStreakCountList []
isCriticalList []# 获取最佳的 N
def find_optimal_N(p):one_minus_p 1 - pfor i in range(1, 501):if one_minus_p ** i 0.05:return ireturn 500 # 如果未找到合适的 N则默认返回 500# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 核心代码 ↓attackTotalCount 1isCritical False# 检查当前攻击数是否大于 0if attackTotalCount 0:# 计算当前暴击概率currentCritPercent critTotalCount / attackTotalCount# 计算当前暴击概率与初始暴击率的差值deltaCritPercent abs(InitCritPercent - currentCritPercent)# 计算动态暴击率dynamicCritPercent (attackTotalCount * (InitCritPercent - currentCritPercent) currentCritPercent) * pow(deltaCritPercent, 0.5)# 检查是否连续 N - 1 次未暴击if noCritStreakCount find_optimal_N(InitCritPercent) - 1:percent random.random()if percent dynamicCritPercent:isCritical TruenoCritStreakCount 0else:noCritStreakCount 1else:isCritical TruenoCritStreakCount 0if isCritical:critTotalCount 1# 核心代码 ↑# 将数据添加到列表中currentCritPercentList.append(currentCritPercent)deltaCritPercentList.append(deltaCritPercent)dynamicCritPercentList.append(dynamicCritPercent)noCritStreakCountList.append(noCritStreakCount)isCriticalList.append(int(isCritical))# 创建多表格
fig, axs plt.subplots(2)# 每 100 条数据标注一下
for i in range(0, len(currentCritPercentList), 100):axs[0].annotate(f{currentCritPercentList[i]:.3f}, (i, currentCritPercentList[i]))# 画出暴击概率数据表格
axs[0].plot(currentCritPercentList, labelCurrent Crit Percent, colorr)
axs[0].plot(deltaCritPercentList, labelDelta Crit Percent, colorg)
axs[0].plot(dynamicCritPercentList, labelDynamic Crit Percent, colorb)
axs[0].set_xlabel(Total Attacks)
axs[0].set_ylabel(Probability)
axs[0].legend()# 画出连续未暴击次数的表格
axs[1].plot(noCritStreakCountList, labelNo-Crit Streak, colorm)
axs[1].plot(isCriticalList, labelIs Critical, colorc)
axs[1].set_xlabel(Total Attacks)
axs[1].set_ylabel(No-Crit Streak / Is Critical)
axs[1].legend()plt.show()给定参数的运行结果如下图所示这里的“要求N次攻击至少有一次暴击”中的N根据算法取了14 0 ~ 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下 可以看出总体暴击率会在大概300次内稳定下来并且逐渐逼近 0.2 在攻击次数足够多时“动态暴击率”的浮动也会趋于稳定。
这是一种通过调整每次攻击的暴击率来达到动态平衡效果的算法 也可以说这是一种动态调整每次概率以达到目标数学期望的算法。
核心思路
以“暴击率”为例以下是这种“动态平衡概率”算法的核心思路
基本参数 初始概率目标概率 P 动态概率 d y n a m i c P 当前概率 c u r r e n t P 概率差值 d e l t a P 攻击次数 a t t a c k N 暴击次数 c r i t N 连续未暴击次数 n o C r i t S t r e a k \begin{align*} \text{初始概率目标概率} P \\ \text{动态概率} dynamicP \\ \text{当前概率} currentP \\ \text{概率差值} deltaP \\ \text{攻击次数} attackN \\ \text{暴击次数} critN \\ \text{连续未暴击次数} noCritStreak \\ \end{align*} 初始概率目标概率动态概率当前概率概率差值攻击次数暴击次数连续未暴击次数PdynamicPcurrentPdeltaPattackNcritNnoCritStreak
核心运算逻辑 c u r r e n t P c r i t N a t t a c k N d e l t a P ∣ P − c u r r e n t P ∣ d y n a m i c P ( a t t a c k N ⋅ ( P − c u r r e n t P ) c u r r e n t P ) ⋅ d e l t a P \begin{align*} currentP \frac{critN}{attackN} \\ deltaP |P - currentP| \\ dynamicP \left( attackN · (P - currentP) currentP \right) · \sqrt{deltaP} \\ \end{align*} currentPdeltaPdynamicPattackNcritN∣P−currentP∣(attackN⋅(P−currentP)currentP)⋅deltaP
暴击判断逻辑 找到一个最佳的N 用于判断连续 N - 1 次未暴击 : Find_Optimal_N ( p ) : ( 1 − p ) N ≤ 0.05 随机数生成和暴击判断 : 如果 n o C r i t S t r e a k N − 1 则生成一个随机数 p e r c e n t ﹂如果 p e r c e n t ≤ d y n a m i c P 则判定为暴击相关参数 1 ﹂否则 未暴击相关参数 1 否则 必然暴击相关参数 1 \begin{align*} \\ \text{找到一个最佳的N} \\ \text{用于判断连续 N - 1 次未暴击} : \\ \text{Find\_Optimal\_N}(p) : (1 - p) ^ N \leq 0.05 \\ \\ \text{随机数生成和暴击判断} : \\ \text{如果 \(noCritStreak\) \( N - 1 \)则生成一个随机数 \(percent\)} \\ \text{ ﹂如果 \(percent\) \( \leq \) \(dynamicP\)则判定为暴击相关参数 1} \\ \text{ ﹂否则 未暴击相关参数 1} \\ \text{否则 必然暴击相关参数 1} \\ \end{align*} 找到一个最佳的N用于判断连续 N - 1 次未暴击Find_Optimal_N(p)随机数生成和暴击判断::(1−p)N≤0.05:如果 noCritStreak N−1则生成一个随机数 percent ﹂如果 percent ≤ dynamicP则判定为暴击相关参数 1 ﹂否则 未暴击相关参数 1否则 必然暴击相关参数 1
本文到这里其实就结束了这套算法虽然简单但是笔者发现它的过程还是挺有意思的。 感兴趣的朋友可以继续往下看文末还有一些优化思路…
发现
还是前文中的需求 A. 暴击率总体为20% B. 要求每十次攻击至少有一次暴击 C. 要求暴击的总体分布较为均匀 假如每次暴击的概率都是0.2并且每十次攻击至少一次暴击这样相当于增加了总体最终的暴击数也就是变相增加了暴击率确实需要通过某种方式将最终结果调整到0.2.
目前笔者想到的实现方式大致分为两种 一种是“动态概率”我们可以随着实际已出现的概率动态地调整下一次的概率并保证在最终结果上符合我们的目标概率。 另一种是提前将“随机种子”做好。在制作“种子”时使用连续分段的、适当长度的数组每段数组中目标出现的概率基本相同且总体概率符合我们的目标概率。再人为打乱每段数组最后将他们拼接起来。但是这种方式还有个问题就是打乱数组之后可能会出现两个数组中的一个暴击在头一个在尾两次暴击又会间隔较远的情况无法完全保证 B 条件成立。 本文先尝试第一种方式————“动态概率”
以前面的需求为例假如每次暴击的概率都是0.2并且每十次攻击至少一次暴击先这样在Unity中看一下最终的暴击率会高出多少
using UnityEngine;public class CriticalHit : MonoBehaviour
{// 初始暴击率public float InitCritPercent 0.2f;// 当前暴击概率private float currentCritPercent;// 当前总攻击次数private int attackTotalCount 0;// 当前总暴击过的次数private int critTotalCount 0;// 连续未出现暴击的次数private int noCritStreakCount 0;private void Start(){currentCritPercent InitCritPercent;}private void Update(){// 监听鼠标左键输入if (Input.GetMouseButtonDown(0)){// 测试一次PerformAttack();Debug.Log(当前暴击率 currentCritPercent);}if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space)){// 测试一万次for (int i 0; i 10000; i) PerformAttack();}}private void PerformAttack(){attackTotalCount;bool isCritical false;if (attackTotalCount 0){// 计算当前暴击概率 总暴击数 / 总攻击数currentCritPercent (float)critTotalCount / attackTotalCount;}// 检查是否需要强制暴击if (noCritStreakCount 9){float percent Random.Range(0f, 1f);if (percent InitCritPercent){isCritical true;noCritStreakCount 0; // 重置计数器}else{noCritStreakCount;}}else{isCritical true;noCritStreakCount 0; // 重置计数器}if (isCritical) critTotalCount;// 执行攻击如果 isCritical 为 true则为暴击if (isCritical)Debug.Log(Critical Hit!);elseDebug.Log(Normal Hit.);}
}将这个脚本挂到场景中的空物体上运行游戏然后按空格键先测试一万次再点击鼠标左键显示当前的暴击率 用上述方式测试几次会发现最终的暴击率大概在 22.5% 左右打印结果如下图所示
那么这多出来的 2.5% 为什么会是 2.5% 呢它具体是怎么来的呢如何避免它产生呢
带着这样的疑惑笔者开始尝试进行分析…
排除误差的可能
首先我们要排除这 2.5% 是误差的可能。
假设暴击率为 0.2不考虑其他的设定和限制每次测试十万次、共测试三次。 那么正常情况下的输出结果如下图所示 误差在 0.2% 左右这与 2.5% 差别还是很大的所以基本排除这是误差导致的情况。
探索
为了进一步优化算法笔者决定结合已有的数据和个人直觉进行改进。
笔者用Python重新编写了一版代码这样我们不仅可以方便地输出图表进行可视化分析还能在这个基础上进行后续的代码修改和优化。
import matplotlib.pyplot as plt
import random# 初始化变量
InitCritPercent 0.2 # 初始暴击率
attackTotalCount 0 # 总攻击次数
critTotalCount 0 # 总暴击次数
noCritStreakCount 0 # 连续未暴击次数# 给 plot 准备的列表
currentCritPercentList []
noCritStreakCountList []
isCriticalList []# 测试 10000 次
for i in range(10000):attackTotalCount 1isCritical False# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount 9:percent random.random()if percent InitCritPercent:isCritical TruenoCritStreakCount 0else:noCritStreakCount 1else:isCritical TruenoCritStreakCount 0if isCritical:critTotalCount 1# 计算当前暴击概率currentCritPercent critTotalCount / attackTotalCount# 添加数据到列表中currentCritPercentList.append(currentCritPercent)noCritStreakCountList.append(noCritStreakCount)isCriticalList.append(int(isCritical))# 创建多表格
fig, axs plt.subplots(2)# 画出暴击概率数据表格
axs[0].plot(currentCritPercentList, labelCurrent Crit Percent, colorr)
axs[0].set_xlabel(Total Attacks)
axs[0].set_ylabel(Probability)
axs[0].legend()# 每 100 条数据标注一下
for i in range(0, len(currentCritPercentList), 100):axs[0].annotate(f{currentCritPercentList[i]:.5f}, (i, currentCritPercentList[i]))# 画出连续未暴击次数的表格
axs[1].plot(noCritStreakCountList, labelNo-Crit Streak, colorm)
axs[1].plot(isCriticalList, labelIs Critical, colorc)
axs[1].set_xlabel(Total Attacks)
axs[1].set_ylabel(No-Crit Streak / Is Critical)
axs[1].legend()plt.show()从输出的图表中不难看出整体的暴击率确实变高了如下图所示
前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
如要将最终的暴击概率调整回 0.2那就应该降低“当前暴击概率”将 B 条件所增加的那部分修正回来。
“递增修正”
将前文的python代码添加几个变量用来检测当前暴击概率的变化当前暴击概率高于初始暴击率的时候就降低动态暴击率直到将当前暴击率拉回到正常水平反之亦然。
import matplotlib.pyplot as plt
import random# 初始化变量
InitCritPercent 0.2 # 初始暴击率
currentCritPercent 0 # 当前暴击概率
deltaCritPercent 0 # 当前暴击率与初始暴击率的差值用来表示变化
dynamicCritPercent 0.2 # 动态暴击率
attackTotalCount 0 # 总攻击次数
critTotalCount 0 # 总暴击次数
noCritStreakCount 0 # 连续未暴击次数# 给 plot 准备的列表
currentCritPercentList []
deltaCritPercentList []
dynamicCritPercentList []
noCritStreakCountList []
isCriticalList []# 测试 10000 次
for i in range(10000):attackTotalCount 1isCritical False# 检查是否连续 9 次未暴击if attackTotalCount 0:# 计算当前暴击概率currentCritPercent critTotalCount / attackTotalCount# 计算当前暴击概率与初始暴击率的差值deltaCritPercent abs(InitCritPercent - currentCritPercent)# 计算动态暴击率if(currentCritPercent InitCritPercent):dynamicCritPercent - deltaCritPercentif(currentCritPercent InitCritPercent):dynamicCritPercent deltaCritPercent# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount 9:percent random.random()if percent dynamicCritPercent:isCritical TruenoCritStreakCount 0else:noCritStreakCount 1else:isCritical TruenoCritStreakCount 0if isCritical:critTotalCount 1# 将数据添加到列表中currentCritPercentList.append(currentCritPercent)deltaCritPercentList.append(deltaCritPercent)dynamicCritPercentList.append(dynamicCritPercent)noCritStreakCountList.append(noCritStreakCount)isCriticalList.append(int(isCritical))# 创建多表格
fig, axs plt.subplots(2)# 每 100 条数据标注一下
for i in range(0, len(currentCritPercentList), 100):axs[0].annotate(f{currentCritPercentList[i]:.3f}, (i, currentCritPercentList[i]))# 画出暴击概率数据表格
axs[0].plot(currentCritPercentList, labelCurrent Crit Percent, colorr)
axs[0].plot(deltaCritPercentList, labelDelta Crit Percent, colorg)
axs[0].plot(dynamicCritPercentList, labelDynamic Crit Percent, colorb)
axs[0].set_xlabel(Total Attacks)
axs[0].set_ylabel(Probability)
axs[0].legend()# 画出连续未暴击次数的表格
axs[1].plot(noCritStreakCountList, labelNo-Crit Streak, colorm)
axs[1].plot(isCriticalList, labelIs Critical, colorc)
axs[1].set_xlabel(Total Attacks)
axs[1].set_ylabel(No-Crit Streak / Is Critical)
axs[1].legend()plt.show()输出结果如下图所示 前 2000 次 如下
可以明显看出动态暴击率在大幅度地反复震荡并且明显超出了 (0, 1) 的区间 在震荡的高点时会出现连续暴击的情况在震荡的低点时会出现连续地触发“保底”暴击 这样虽然能将总体暴击概率稳定在 0.2 左右但这显然不满足条件 C。
“递增修正”优化
显而易见当动态暴击率超出 (0, 1) 区间时就和 0、1 没有区别了 所以可以为它加个简单限幅例如笔者将动态暴击率的幅度限制在0.5倍初始暴击率2倍初始暴击率之间
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码if attackTotalCount 0:# 同上文代码# 计算动态暴击率if(currentCritPercent InitCritPercent):dynamicCritPercent min(max(dynamicCritPercent - deltaCritPercent, InitCritPercent * 0.5), InitCritPercent * 2)if(currentCritPercent InitCritPercent):dynamicCritPercent min(max(dynamicCritPercent deltaCritPercent, InitCritPercent * 0.5), InitCritPercent * 2)# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount 9:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
现在的算法已经基本可用了但还需要多尝试才能找到合适的限幅范围。 当限幅范围过大时概率的分布会变得不均匀 限幅范围过小时又会出现无法逼近目标概率初始暴击率比较麻烦。
“递增修正”测试
将上述优化过的算法应用到其他情景中例如掷硬币每5次投掷至少有一次正面 初始概率目标概率 0.5
# 同上文代码
InitCritPercent 0.5
dynamicCritPercent 0.5
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码# 检查是否连续 4 次未掷出正面if noCritStreakCount 4:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
可以发现出现连续未正面的次数连续未暴击次数又在动态概率的波谷处出现“聚拢”现象这很好理解因为我们的限幅有些过大了。 总结下来这种手动限定幅度的方式效率很低还容易出问题…
那么能不能让它根据自身目前状况如目标概率、总攻击次数等参数来动态调整 动态暴击率的增量呢
“镜像修正”
基于以上思考笔者希望每次攻击的“动态暴击率”是上次“当前暴击概率”关于“初始暴击率”的镜像通过这种有针对性的“反向”操作来将最终暴击率逼近目标值。 于是便有如下代码
# 初始化变量
InitCritPercent 0.2 # 初始暴击率
dynamicCritPercent 0.2 # 动态暴击率
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码if attackTotalCount 0:# 同上文代码# 计算动态暴击率dynamicCritPercent attackTotalCount * InitCritPercent - (attackTotalCount - 1) * currentCritPercent# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount 9:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
虽然能将最终的暴击概率稳定在 0.2但结果过于平均了 可以说这种“修正”的操作过于灵敏导致暴击的分布非常均匀甚至没有出现连续 9 次以上的未暴击。但这仍不是我们想要的需要继续优化。
“镜像修正”优化
笔者发现这种“过于均匀”的分布情况也是因为每次修正幅度过大导致的。 现在要调整这个幅度会比“递增修正”的方法容易很多只需要让“计算动态暴击率”的结果乘以一个较小的系数即可。
这个系数需要与当前的状态有关并且是一个越来越小的值。 而在攻击次数越来越多时currentCritPercent 也会越来越逼近 InitCritPercent 的值所以 deltaCritPercent 会随着攻击次数的增多越来越小 又因为 currentCritPercent 趋向于一个比 InitCritPercent 偏大的值那么 deltaCritPercent 也会永不为 0 这里我们就用 deltaCritPercent 来作为系数目前来看刚好合适。
# 同上文代码# 计算动态暴击率dynamicCritPercent (attackTotalCount * (InitCritPercent - currentCritPercent) currentCritPercent) * deltaCritPercent# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
由于对每次的 dynamicCritPercent 的幅度都做了差不多的限制可以看到图二中在前 1000 次左右攻击时currentCritPercent 逼近目标值的速度很慢。 啧还差一点…
继续优化既然 deltaCritPercent 会随着攻击次数增多变得越来越小那么我们不妨直接将它放大。
# 同上文代码# 计算动态暴击率dynamicCritPercent (attackTotalCount * (InitCritPercent - currentCritPercent) currentCritPercent) * pow(deltaCritPercent, 0.5)# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
以上结果已经基本符合预期。
“镜像修正”测试
掷硬币
下面还是用硬币的例子掷硬币每5次投掷至少有一次正面 初始概率目标概率 0.5
# 同上文代码
InitCritPercent 0.5
dynamicCritPercent 0.5
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码# 检查是否连续 4 次未掷出正面if noCritStreakCount 4:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
也基本符合预期。
掷骰子
再以掷骰子为例每掷出 15 次至少有一次是 点数 1。
# 同上文代码
InitCritPercent 0.166667
dynamicCritPercent 0.166667
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码# 检查是否连续 14 次未掷出正面if noCritStreakCount 14:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码输出结果如下图所示 前 2000 次 如下 8000 ~ 10000 次 如下
稳定发挥。
优化
目前“镜像修正”算法已经基本可用了但是虽然叫“镜像”却已经没有了镜像当初的样子。
不如就直接改名叫“动态平衡概率”算法好了…
算法优化
细心的朋友应该会发现这套算法在一开始的概率会低于目标概率一些并且逼近的速度还是慢了些。后期稳定性也没有想象中的高。
笔者目前能想到的继续优化的方式有三种 1.分段修改 deltaCritPercent 的开根类似LOD模型替换的感觉 2.用 log 函数做系数然后当次数达到一定值时直接 * deltaCritPercent 就可以了 3.按目标概率的比例给“总攻击次数”和“总暴击次数”设置较大的初始值。这样不用给 deltaCritPercent 开平方就能得到一个较为满意的结果也会相对高效一些。 笔者还没来得及测试性能如果后续有相关优化会修改本文章或者发一篇新文章。
关于判断次数
我们感觉到的小概率事件发生的概率通常在 5% 或 1% 以下通过这两个标准我们可以很轻松地得出“目标概率为 X 时操作 N 次至少出现一次目标事件”中的N
def find_optimal_N(p):# 从 1 到 500for i in range(1, 501):if(1 - p) ** i 0.05:return iprint(find_optimal_N(0.2))
print(find_optimal_N(0.5))
print(find_optimal_N(0.166667))# 输出结果为
# 14
# 5
# 17所以当目标概率为 0.2、0.5、0.166667 时N 比较合适的值为 14、5、17。 当目标概率小于 0.05 时可以让if(1 - p) ** i 0.01:或者更小。
结语
虽然本算法目前还有待优化但已经足够应对一些游戏场景。 关于那多出的2.5%的问题笔者会继续探索直到找到满意的答案。
如果这篇文章能为你解决问题或带来新的启发那我会感到非常荣幸
对于已经在这个领域有丰富经验的大佬们非常欢迎你们的建议或批评。这不仅能帮助我改进也能让这篇文章更加完善从而帮助到更多的人。
感谢你抽出宝贵的时间来阅读这篇文章如果你觉得有用也请不吝分享给更多需要的人。
再次感谢期待我们在知识的海洋里再次相遇
