和别人做网站接单赚钱,常德哪里有做网站,英文网站建设 江门,wordpress 4.9.6 主题深度学习——权重衰减#xff08;weight_decay) 文章目录 前言一、权重衰减1.1. 范数与权重衰减1.2. 高维线性回归1.3. 从零开始实现1.3.1.初始化模型参数1.3.2. 定义L₂范数惩罚1.3.3. 定义训练代码实现1.3.4. 不管正则化直接训练1.3.5. 使用权重衰减 1.4. 简洁实现 总结 前言… 深度学习——权重衰减weight_decay) 文章目录 前言一、权重衰减1.1. 范数与权重衰减1.2. 高维线性回归1.3. 从零开始实现1.3.1.初始化模型参数1.3.2. 定义L₂范数惩罚1.3.3. 定义训练代码实现1.3.4. 不管正则化直接训练1.3.5. 使用权重衰减 1.4. 简洁实现 总结 前言
上一章描述了过拟合的问题本章我们将介绍一些正则化模型的技术。如权重衰减
参考书 《动手学深度学习》 一、权重衰减
1.1. 范数与权重衰减 在训练参数化机器学习模型时权重衰减weight decay是最广泛使用的正则化的技术之一 它通常也被称为 L 2 L_2 L2正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度 因为在所有函数 f f f中函数 f 0 f 0 f0所有输入都得到值 0 0 0在某种意义上是最简单的。 但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢 一种简单的方法是通过线性函数 f ( x ) w ⊤ x f(\mathbf{x}) \mathbf{w}^\top \mathbf{x} f(x)w⊤x 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性 例如 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。
要保证权重向量比较小最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中 即将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失调整为最小化预测损失和惩罚项之和。
现在如果我们的权重向量增长的太大我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。这正是我们想要的。
我们的损失由下式给出 L ( w , b ) 1 n ∑ i 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) b − y ( i ) ) 2 . L(\mathbf{w}, b) \frac{1}{n}\sum_{i1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} b - y^{(i)}\right)^2. L(w,b)n1i1∑n21(w⊤x(i)b−y(i))2. 为了惩罚权重向量的大小我们必须以某种方式在损失函数中添加 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失 实际上我们通过正则化常数 λ \lambda λ来描述这种权衡这是一个非负超参数我们使用验证数据拟合 L ( w , b ) λ 2 ∥ w ∥ 2 , L(\mathbf{w}, b) \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2, L(w,b)2λ∥w∥2,
对于 λ 0 \lambda 0 λ0我们限制 ∥ w ∥ \| \mathbf{w} \| ∥w∥的大小。 为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数即欧几里得距离 我们这样做是为了便于计算。通过平方 L 2 L_2 L2范数我们去掉平方根留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算导数的和等于和的导数。 此外为什么我们首先使用 L 2 L_2 L2范数而不是 L 1 L_1 L1范数。 L 2 L_2 L2正则化线性模型构成经典的岭回归ridge regression算法 L 1 L_1 L1正则化线性回归是统计学中类似的基本模型通常被称为套索回归lasso regression。
使用 L 2 L_2 L2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。
相比之下 L 1 L_1 L1惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上 而将其他权重清除为零。这称为特征选择feature selection可能是其他场景下需要的。 L 2 L_2 L2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式 w ← ( 1 − η λ ) w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) b − y ( i ) ) . \begin{aligned} \mathbf{w} \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} b - y^{(i)}\right). \end{aligned} w←(1−ηλ)w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)b−y(i)).
我们根据估计值与观测值之间的差异来更新 w \mathbf{w} w。然而我们同时也在试图将 w \mathbf{w} w的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项优化算法在训练的每一步衰减权重。
与特征选择相比权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的 λ \lambda λ值对应较少约束的 w \mathbf{w} w而较大的 λ \lambda λ值对 w \mathbf{w} w的约束更大。
是否对相应的偏置 b 2 b^2 b2进行惩罚在不同的实践中会有所不同 在神经网络的不同层中也会有所不同。通常网络输出层的偏置项不会被正则化。
1.2. 高维线性回归 我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。 首先我们像以前一样生成一些数据生成公式如下 y 0.05 ∑ i 1 d 0.01 x i ϵ where ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) . y 0.05 \sum_{i 1}^d 0.01 x_i \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2). y0.05i1∑d0.01xiϵ where ϵ∼N(0,0.012).
我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显我们可以将问题的维数增加到 d 200 d 200 d200 并使用一个只包含20个样本的小训练集。
import torch
from d2l import torch as d2l
from torch import nnn_train,n_test,num_inputs,batch_size 20,100,200,5
true_w,true_b torch.ones((num_inputs,1))*0.01,0.05
使用d2l.synthetic_data函数生成了训练数据和测试数据并使用d2l.load_array函数将数据加载为迭代器。train_data d2l.synthetic_data(true_w,true_b,n_train)
train_iter d2l.load_array(train_data,batch_size)test_data d2l.synthetic_data(true_w,true_b,n_test)
test_iter d2l.load_array(test_data,batch_size,is_train False)
#这里设置is_trainFalse表示测试数据不用于模型训练只用于评估模型的性能。
1.3. 从零开始实现 下面我们将从头开始实现权重衰减只需将 L 2 L_2 L2的平方惩罚添加到原始目标函数中。 1.3.1.初始化模型参数
#初始化模型参数
#我们将定义一个函数来随机初始化模型参数
def init_params():w torch.normal(0,1,size(num_inputs,1),requires_grad True)b torch.zeros(1,requires_gradTrue)return [w,b]1.3.2. 定义L₂范数惩罚 #定义L2范数惩罚实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和
def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2))/2 #将权重w的平方和除以2,除以2是为了方便计算梯度
1.3.3. 定义训练代码实现
#定义训练代码实现
def train(lambd):w,b init_params()net,loss lambda x: d2l.linreg(x,w,b),d2l.squared_lossnum_epochs,lr 100,0.003animator d2l.Animator(xlabelepochs,ylabelloss,yscalelog,xlim [5,num_epochs],legend[train,test])for epoch in range(num_epochs):for x,y in train_iter:#增加了L2范数惩罚项#广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l loss(net(x),y) lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w,b],lr,batch_size)if (epoch1)%5 0:animator.add(epoch1,(d2l.evaluate_loss(net,train_iter,loss),d2l.evaluate_loss(net,test_iter,loss)))print(w的L2范数是,torch.norm(w).item())1.3.4. 不管正则化直接训练
#现在用lambd 0禁用权重衰减后运行这个代码。
#注意这里训练误差有了减少但测试误差没有减少这意味着出现了严重的过拟合。train(lambd 0)#结果
w的L2范数是 13.981727600097656 1.3.5. 使用权重衰减
#使用权重衰减来运行代码。
#注意在这里训练误差增大但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。train(lambd 3)#结果
w的L2范数是 0.3319331705570221d2l.plt.show() 1.4. 简洁实现 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减将权重衰减集成到优化算法中以便与任何损失函数结合使用。 #在下面的代码中我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。
#默认情况下PyTorch同时衰减权重和偏移。
#这里我们只为权重设置了weight_decay所以偏置参数$b$不会衰减。def train_concise(wd):net nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs,1))for param in net.parameters():param.data.normal_() #使用正态分布随机初始化参数loss nn.MSELoss(reductionnone) #定义损失函数为均方误差损失num_epochs,lr 100,0.003#偏置参数没有衰减trainer torch.optim.SGD([{params:net[0].weight,weight_decay:wd},{params:net[0].bias}],lr lr) #net[0].weight表示模型的权重参数net[0].bias表示模型的偏置参数。weight_decay参数用于设置权重衰减的强度。animator d2l.Animator(xlabelepochs,ylabelloss,yscalelog,xlim[5,num_epochs],legend[train,test])for epoch in range(num_epochs):for x,y in train_iter:trainer.zero_grad() #清零梯度以防止梯度累积l loss(net(x),y)l.mean().backward() #计算损失的平均值并进行反向传播计算梯度trainer.step() #更新模型的参数执行一步优化器的更新if (epoch1)%5 0:animator.add(epoch1,(d2l.evaluate_loss(net,train_iter,loss),d2l.evaluate_loss(net,test_iter,loss)))print(w的L2范数, net[0].weight.norm().item()) #打印模型权重的L2范数用于评估模型的复杂度。train_concise(0)
train_concise(3)
d2l.plt.show()#结果
w的L2范数 13.411089897155762
w的L2范数 0.3319282829761505 总结
为了有效防止模型的过拟合降低模型的复杂度提高泛化能力本章简单记录了一种常见的正则化技术权重衰减。简单来说权重衰减是通过在损失函数中添加一个正则化项来实现的。这个正则化项通常是模型参数的L2范数平方和或L1范数绝对值和通过限制模型参数的大小来防止过拟合。
我独泊兮其未兆如婴儿之未孩傫傫lèi lèi兮若无所归。
–2023-10-2 进阶篇
