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#机器学习--重新看待线性回归
- 引言
- 普通视角的线性回归
- 最大似然角度的线性回归
- 总结
引言
本系列博客旨在为机器学习(深度学习)提供数学理论基础。因此内容更为精简，适合二次学习的读者快速学习或查阅。
普通视角的线性回归
对于一组数据 { ( x 0 , y 0 ) , … ( x m , y m ) } \{(x_{0},y_{0}),\dots(x_{m},y_{m})\} {(x0,y0),…(xm,ym)} 我们希望找到一个线性模型 y = w T x y=w^{T}x y=wTx 使得其在这组数据上拟合效果最好。既然要找最好，肯定就需要一个衡量指标。
最直观的理解就是，当所有点到直线的距离之和最小时，误差最小，拟合效果最好。即，使用 M S E t r a i n MSE_{train} MSEtrain 作为模型的衡量指标。此时我们得到优化目标： arg min w ∑ i m ( y i − w T x i ) 2 \argmin_{w}\sum_{i}^{m}(y_{i}-w^{T}x_{i})^{2} wargmini∑m(yi−wTxi)2
最大似然角度的线性回归
假设对于每个 y i y_{i} yi 都由正态分布 N ( w T x i , σ ) N(w^{T}x_{i},\sigma) N(wTxi,σ) 产生，其中 σ \sigma σ 是用户固定的某个常量。之所以这么假设，是因为如果要找到一个正态分布 N ( μ , σ ) N(\mu,\sigma) N(μ,σ) 能够使得点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 被采样的概率最大，那么这个正态分布就是 N ( x , σ ) N(x,\sigma) N(x,σ) 。也就是说，对于每个样本都是由正态分布采样所得，根据最大似然的思想，令所有的 y i y_{i} yi 同时发生的可能性最大，即： arg max w ∑ i m l n [ 1 σ 2 π e − 1 2 ( y i − w T x i σ ) 2 ] \argmax_{w}\sum_{i}^{m}ln[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{y_{i}-w^{T}x_{i}}{\sigma})^{2}}] wargmaxi∑mln[σ2π1e−21(σyi−wTxi)2] = > arg max w [ ∑ i m l n [ 1 σ 2 π ] − ∑ i m [ 1 2 σ 2 ( y i − w T x i ) 2 ] ] =>\argmax_{w}[\sum_{i}^{m}ln[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}]-\sum_{i}^{m}[\frac{1}{2\sigma^{2}}(y_{i}-w^{T}x_{i})^{2}]] =>wargmax[i∑mln[σ2π1]−i∑m[2σ21(yi−wTxi)2]] = > arg min w ∑ i m ( y i − w T x i ) 2 =>\argmin_{w}\sum_{i}^{m}(y_{i}-w^{T}x_{i})^{2} =>wargmini∑m(yi−wTxi)2
总结
从最终结果来看，两者之间的优化目标是一样的，但从本质上来讲，最小二乘法只是最大似然在正态分布下的一种特殊情况。如果假设其它分布则会有不同的结果，如：
伯努利分布下，最大似然估计的结果就是逻辑回归。
多项式分布下，最大似然估计的结果就是softmax回归。
感兴趣的读者可以自行证明。