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1.矩阵定义
1.1 矩阵的定义
矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示#xff0c;例如 AA、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。
一个 mn的矩阵 AA 可以表示为#xff1a; A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2…矩阵
1.矩阵定义
1.1 矩阵的定义
矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示例如 AA、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。
一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为 A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A\begin{pmatrix} a_{1n} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix} A a1na21am1a12a22am2……⋮…a1na2namn 其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的维度
矩阵的维度由它的行数和列数决定记作 m×n其中 m是行数n 是列数m不一定与n相等。例如一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。 A ( 1 2 3 4 5 6 ) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4 \\ 5 6\end{pmatrix} A 135246
1.3 矩阵和行列式的区别
矩阵行列式符号()或[]| |形状方阵或非方阵方阵本质数表数属性A|A|是A诸多属性中的一种
2 同型矩阵
设矩阵 AA 和 BB 分别为 A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) , B ( b 1 n b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ b m 1 b m 2 … b m n ) A\begin{pmatrix} a_{1n} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} b_{1n} b_{12} \ldots b_{1n} \\ b_{21} b_{22} \ldots b_{2n} \\ \vdots \\ b_{m1} b_{m2} \ldots b_{mn} \end{pmatrix} A a1na21am1a12a22am2……⋮…a1na2namn ,B b1nb21bm1b12b22bm2……⋮…b1nb2nbmn 如果 A 和 B 的维度相同即 A 和 B 都是 m×n 矩阵那么A 和 B 就是同型矩阵。
矩阵相等
如果A 和 B 的维度相同即 A 和 B 都是 m×n矩阵并且对于所有 i 和 j都有 aijbij那么我们称矩阵 A 和 B 相等记作 AB。
矩阵相等的条件
维度相同两个矩阵的行数和列数必须相同。对应元素相等所有对应位置的元素必须相等。
例子
考虑以下两个矩阵 A ( 1 2 3 4 ) , B ( 1 2 3 4 ) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} A(1324),B(1324) 这两个矩阵的维度相同都是 2×2 矩阵并且所有对应位置的元素都相等因此 A 和 B 相等即 AB。
再考虑以下两个矩阵 C ( 1 2 3 4 ) , D ( 1 2 3 5 ) C\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix}, D\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 5\end{pmatrix} C(1324),D(1325) 这两个矩阵的维度相同都是 2×2 矩阵但 C 和 D 在第 2 行第 2 列的元素不相等4≠5因此 C 和 D 不相等
3 特殊类型的矩阵
1.3.1 方阵
一个 n×n 的方阵 A 可以表示为矩阵的行数列数 A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ) A\begin{pmatrix} a_{1n} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \ldots a_{nn} \end{pmatrix} A a1na21an1a12a22an2……⋮…a1na2nann 其中 aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
方阵有主对角线和副对角线非方阵没有主对角线和副对角线。
1.3.2 特殊的方阵
1.3.2.1 单位矩阵
主对角线上的元素都是 1其余元素都是 0 的方阵记作 I 或 E。例如3 阶单位矩阵为 E ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) E\begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1\end{pmatrix} E 100010001
1.3.2.2 对角矩阵
主对角线上的元素可以是任意值其余元素都是 0 的方阵。例如 A ( a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ) A\begin{pmatrix} a_{11} 0 0 \\ 0 a_{22} 0 \\ 0 0 a_{33}\end{pmatrix} A a11000a22000a33
1.3.2.3 上三角矩阵
主对角线及其上方的元素可以是任意值主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如 A ( a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ) A\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ 0 a_{22} a_{23} \\ 0 0 a_{33}\end{pmatrix} A a1100a12a220a13a23a33
1.3.2.4 下三角矩阵
主对角线及其下方的元素可以是任意值主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如 A ( a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ) A\begin{pmatrix} a_{11} 0 0 \\ a_{21} a_{22} 0 \\ a_{31} a_{32} a_{33}\end{pmatrix} A a11a21a310a22a3200a33
1.3.2 零矩阵
一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为 A ( 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ 0 0 … 0 ) A\begin{pmatrix} 0 0 \ldots 0 \\ 0 0 \ldots 0 \\ \vdots \\ 0 0 \ldots 0 \end{pmatrix} A 000000……⋮…000 其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定记作 m×n。
思考两个零矩阵相等
错误两个同型的零矩阵相等。
1.3.3 行矩阵
行矩阵Row Matrix也称为行向量Row Vector是线性代数中的一种特殊矩阵它只有一行但可以有多列。具体来说一个
1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n其中 n 是列数。
一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为 R ( r 11 r 12 … r 1 n ) R\begin{pmatrix} r_{11} r_{12} \ldots r_{1n} \end{pmatrix} R(r11r12…r1n) 其中 r1j 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。
1.3.4 列矩阵
列矩阵Column Matrix也称为列向量Column Vector是线性代数中的一种特殊矩阵它只有一列但可以有多行。具体来
说一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1其中 m 是行数。
一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为 C ( r 11 r 12 ⋮ r 1 n ) C\begin{pmatrix} r_{11} \\ r_{12} \\ \vdots \\ r_{1n} \end{pmatrix} C r11r12⋮r1n 其中 ci1 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。
4.矩阵的加法
矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵。具体来说如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同即都是
m×n矩阵那么它们的和 CAB也是一个 m×n 矩阵其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和即 cijaijbij。
设矩阵 AA 和 BB 分别为 A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) , B ( b 1 n b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ b m 1 b m 2 … b m n ) A\begin{pmatrix} a_{1n} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} b_{1n} b_{12} \ldots b_{1n} \\ b_{21} b_{22} \ldots b_{2n} \\ \vdots \\ b_{m1} b_{m2} \ldots b_{mn} \end{pmatrix} A a1na21am1a12a22am2……⋮…a1na2namn ,B b1nb21bm1b12b22bm2……⋮…b1nb2nbmn 如果 A 和 B 的维度相同即 A 和 B 都是 m×n 矩阵那么它们的和 CAB 也是一个 m×n 矩阵即 C ( c 1 n c 12 … c 1 n c 21 c 22 … c 2 n ⋮ c m 1 c m 2 … c m n ) C\begin{pmatrix} c_{1n} c_{12} \ldots c_{1n} \\ c_{21} c_{22} \ldots c_{2n} \\ \vdots \\ c_{m1} c_{m2} \ldots c_{mn} \end{pmatrix} C c1nc21cm1c12c22cm2……⋮…c1nc2ncmn 其中 c i j a i j b i j c_{ij}a_{ij} b_{ij} cijaijbij 矩阵加法的性质
交换律矩阵加法满足交换律即 ABBA。结合律矩阵加法满足结合律即 (AB)CA(BC)。零矩阵零矩阵 O 是矩阵加法的单位元即对于任何矩阵 A有 AOA。负矩阵对于任何矩阵 A存在一个负矩阵 −A使得 A(−A)O。
例子
考虑以下两个矩阵 A ( 1 2 3 4 ) , B ( 5 6 7 8 ) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 5 6 \\ 7 8\end{pmatrix} A(1324),B(5768) 这两个矩阵的维度相同都是 2×2 矩阵因此可以进行加法运算 A B ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 7 8 ) ( 1 5 2 6 3 7 4 8 ) ( 6 8 10 12 ) A B\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 6 \\ 7 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 5 2 6 \\ 3 7 4 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 8 \\ 10 12\end{pmatrix} AB(1324)(5768)(15372648)(610812)
5.矩阵的减法
矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减得到一个新的矩阵。具体来说如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同即都是
m×n 矩阵那么它们的差 CA−B 也是一个 m×n 矩阵其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差即 c i j a i j − b i j c_{ij}a_{ij}−b_{ij} cijaij−bij 设矩阵 AA 和 BB 分别为 A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) , B ( b 1 n b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ b m 1 b m 2 … b m n ) A\begin{pmatrix} a_{1n} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} b_{1n} b_{12} \ldots b_{1n} \\ b_{21} b_{22} \ldots b_{2n} \\ \vdots \\ b_{m1} b_{m2} \ldots b_{mn} \end{pmatrix} A a1na21am1a12a22am2……⋮…a1na2namn ,B b1nb21bm1b12b22bm2……⋮…b1nb2nbmn 如果 A和 B 的维度相同即 A 和 B都是 m×n 矩阵那么它们的差 CA−B也是一个 m×n矩阵其中 C ( c 1 n c 12 … c 1 n c 21 c 22 … c 2 n ⋮ c m 1 c m 2 … c m n ) C\begin{pmatrix} c_{1n} c_{12} \ldots c_{1n} \\ c_{21} c_{22} \ldots c_{2n} \\ \vdots \\ c_{m1} c_{m2} \ldots c_{mn} \end{pmatrix} C c1nc21cm1c12c22cm2……⋮…c1nc2ncmn 其中 c i j a i j − b i j c_{ij}a_{ij} - b_{ij} cijaij−bij 矩阵减法的性质
反交换律矩阵减法不满足交换律即 A − B ≠ B − A。结合律矩阵减法满足结合律即 (A − B) − C A − (B C)。零矩阵零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色即对于任何矩阵 A有 A − O A。
例子
1.考虑以下两个矩阵 A ( 1 2 3 4 ) , B ( 5 6 7 8 ) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 5 6 \\ 7 8\end{pmatrix} A(1324),B(5768) 这两个矩阵的维度相同都是 2×2 矩阵因此可以进行减法运算 A − B ( 1 2 3 4 ) − ( 5 6 7 8 ) ( 1 − 5 2 − 6 3 − 7 4 − 8 ) ( − 4 − 4 − 4 − 4 ) A - B\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 6 \\ 7 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 - 5 2 - 6 \\ 3 - 7 4 - 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 -4 \\ -4 -4\end{pmatrix} A−B(1324)−(5768)(1−53−72−64−8)(−4−4−4−4) 2.考虑以下两个矩阵 A ( 2 1 0 3 2 1 ) , B ( 1 5 − 1 0 4 2 ) A\begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 3 2 1\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 5 -1 \\ 0 4 2\end{pmatrix} A(231201),B(1054−12) 已知 A X B求X
解 X B − A ( 1 5 − 1 0 4 2 ) − ( 2 1 0 3 1 1 ) ( 1 − 2 5 − 1 − 1 − 0 0 − 3 4 − 2 2 − 1 ) ( − 1 4 − 1 − 3 2 1 ) X B - A \begin{pmatrix} 1 5 -1 \\ 0 4 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 3 1 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1-2 5-1 -1 - 0 \\ 0-3 4-2 2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 4 -1 \\ -3 2 1\end{pmatrix} XB−A(1054−12)−(231101)(1−20−35−14−2−1−02−1)(−1−342−11)
6.矩阵的数乘
矩阵的数乘Scalar Multiplication是指一个矩阵与一个标量即一个实数或复数相乘结果是一个新的矩阵。具体来说如果A 是
一个 m×n 的矩阵k 是一个标量那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。
设矩阵 A 为 A ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A\begin{pmatrix} a_{1n} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix} A a1na21am1a12a22am2……⋮…a1na2namn 如果 k 是一个标量那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵即 k A ( k a 1 n k a 12 … k a 1 n k a 21 k a 22 … k a 2 n ⋮ k a m 1 k a m 2 … k a m n ) kA\begin{pmatrix} ka_{1n} ka_{12} \ldots ka_{1n} \\ ka_{21} ka_{22} \ldots ka_{2n} \\ \vdots \\ ka_{m1} ka_{m2} \ldots ka_{mn} \end{pmatrix} kA ka1nka21kam1ka12ka22kam2……⋮…ka1nka2nkamn 其中 ( k A ) i j k ⋅ a i j (kA)_{ij}k⋅a_{ij} (kA)ijk⋅aij 矩阵提公因子矩阵的所有元素均有公因子k则k向外提一次。
行列式提公因子行列式的某一行有公因子k则k向外提一次。
矩阵数乘的性质
结合律矩阵数乘满足结合律即对于任何标量 k 和 l以及任何矩阵 A有 (kl)A k(lA)l(kA)。分配律矩阵数乘满足分配律即对于任何标量 k 和 l以及任何矩阵 A有 (kl)A kA lA。标量乘法与矩阵加法的分配律对于任何标量 k以及任何矩阵 A 和 B有 k(AB) kA kB。单位标量标量 1 是矩阵数乘的单位元即对于任何矩阵 A有 1AA。零标量标量 0 是矩阵数乘的零元即对于任何矩阵 A有 0AO其中 O 是零矩阵。
例子
1.考虑以下矩阵 A ( 1 2 3 4 ) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} A(1324) 这是一个 2×2 的矩阵。我们计算 2A 2 A 2 ⋅ ( 1 2 3 4 ) ( 1 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 4 ⋅ 2 ) ( 2 4 6 8 ) 2A2⋅\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1⋅2 2⋅2 \\ 3⋅2 4⋅2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 4 \\ 6 8\end{pmatrix} 2A2⋅(1324)(1⋅23⋅22⋅24⋅2)(2648) 2.有以下矩阵 A ( x 0 6 y ) , B ( 2 1 z − 3 ) , C ( 0 2 − 1 5 ) A\begin{pmatrix} x 0 \\ 6 y\end{pmatrix},B\begin{pmatrix} 2 1 \\ z -3\end{pmatrix},C\begin{pmatrix} 0 2 \\ -1 5\end{pmatrix} A(x60y),B(2z1−3),C(0−125) 已知A 2B C求x、y、z的值
解
A 2B C带入矩阵为 ( x 0 6 y ) 2 ( 1 1 z − 3 ) ( 0 2 − 1 5 ) \begin{pmatrix} x 0 \\ 6 y\end{pmatrix}2\begin{pmatrix} 1 1 \\ z -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 2 \\ -1 5\end{pmatrix} (x60y)2(1z1−3)(0−125) 即 , ( x 0 6 y ) ( 4 2 2 z − 6 ) ( 0 2 − 1 5 ) ,\\ \begin{pmatrix} x 0 \\ 6 y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 2 \\ 2z -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 2 \\ -1 5\end{pmatrix} ,(x60y)(42z2−6)(0−125) 得出方程 { x 4 0 6 2 z − 1 y − 6 5 \begin{cases}x40\\ 62z-1\\ y-65\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x4062z−1y−65 得出x -4y11z-7/2
7.矩阵的乘法
矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的条件
两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵即 m
行 n 列矩阵 B 是 n×p 的矩阵即 n 行 p 列那么它们可以相乘并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩
阵A的行数矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等取两端)。
矩阵乘法的定义
设 A 是一个 m×n 的矩阵B 是一个 n×p 的矩阵那么它们的乘积 CA×B 是一个 m×p 的矩阵其中 C 的第 i 行
第 j 列的元素 cij 定义为 c i j ∑ k 1 n a i k b k j c_{ij}\sum _{k1}^n a_{ik}b_{kj} cijk1∑naikbkj 其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。
矩阵乘法的性质
结合律对于任意三个矩阵 A、B 和 C如果它们的维度使得乘法有意义那么 (A×B)×CA×(B×C)。分配律对于任意三个矩阵 A、B 和 C如果它们的维度使得乘法有意义那么 A×(BC)A×BA×C 和 (AB)×CA×CB×C。单位矩阵对于任意矩阵 A如果存在一个单位矩阵 E维度与A 相匹配那么 A×EE×AA注意两个E的维度不一定一样。
矩阵乘法不满足的性质
交换律AXB一般不等于BXA如矩阵A维度2x2B维度2x3AxB的维度2x3BxA则不能相乘因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA则矩阵A和B是同阶的方阵并称A和B是可交换的矩阵。消去律由AXBAXC不能推导出BC由AxBO不能推出AO或BO
例子
1.假设有两个矩阵 A 和 B A ( 1 2 3 4 5 6 ) , B ( 7 8 9 10 11 12 ) A\begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 7 8 \\ 9 10\\11 12 \end{pmatrix} A(142536),B 791181012 矩阵A的维度为2X3B的维度为3X2因此它们可以相乘得到C的维度为2X2。乘积矩阵C 的元素计算如下 C 11 1 × 7 2 × 9 3 × 11 51 C 12 1 × 8 2 × 10 3 × 12 64 C 21 4 × 7 5 × 9 6 × 11 139 C 22 4 × 8 5 × 10 6 × 12 154 C_{11} 1\times7 2\times93\times1151\\ C_{12} 1\times8 2\times103\times1264\\ C_{21} 4\times7 5\times96\times11139\\ C_{22} 4\times8 5\times106\times12154\\ C111×72×93×1151C121×82×103×1264C214×75×96×11139C224×85×106×12154 因此乘积矩阵 C 为 C ( 51 64 139 154 ) C\begin{pmatrix} 51 64 \\ 139 154\end{pmatrix} C(5113964154) 2.假设有两个矩阵 A 和 B A ( 1 0 0 0 ) , B ( 0 0 2 3 ) , C ( 0 0 4 5 ) A\begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 0\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 0 \\ 2 3\end{pmatrix}, C\begin{pmatrix} 0 0 \\ 4 5\end{pmatrix} A(1000),B(0203),C(0405) 求AxB和AxC并思考是否满足消去律 A × B ( 0 0 0 0 ) A × C ( 0 0 0 0 ) A\times B\begin{pmatrix} 0 0 \\ 0 0\end{pmatrix}\\ A\times C\begin{pmatrix} 0 0 \\ 0 0\end{pmatrix} A×B(0000)A×C(0000) 从以上结果来看AxB和AxC的结果都是矩阵O但是B和C并不相等。
同时AxBO但是A和B都不等于O。
练习
1.由如下两个矩阵A和B A ( − 1 1 2 3 0 1 ) , B ( 1 2 0 3 − 1 1 ) A\begin{pmatrix} -1 1 2 \\ 3 0 1\end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 2 \\ 0 3\\-1 1 \end{pmatrix} A(−131021),B 10−1231 求AXB和BXA
解 A × B ( − 3 3 2 7 ) A\times B\begin{pmatrix} -3 3 \\ 2 7\end{pmatrix} A×B(−3237) B × A ( 5 1 4 9 0 3 4 − 1 − 1 ) B \times A\begin{pmatrix} 5 1 4 \\ 9 0 3 \\ 4 -1 -1\end{pmatrix} B×A 59410−143−1
2.计算
2ABxA?
(AB)x(AB)?
8.矩阵的幂
矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说如果 A 是一个 n×n 的方阵那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结
果。
定义
设 A 是一个 n×n 的方阵那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A k A ⋅ A ⋅ A … ⋅ A k 个 A^{k}\dfrac{A\cdot A\cdot A \ldots \cdot A}{k个} Akk个A⋅A⋅A…⋅A 其中 k 是一个正整数。
例子
假设有一个矩阵 A A ( 1 2 3 4 ) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} A(1324) 我们计算 A^2 和 A^3
计算 A^2 A 2 ( 1 2 3 4 ) × ( 1 2 3 4 ) A^{2}\begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4\end{pmatrix} A2(1324)×(1324) 计算每个元素 A 2 ( 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 2 ⋅ 4 3 ⋅ 1 4 ⋅ 3 3 ⋅ 2 4 ⋅ 4 ) ( 7 10 15 22 ) A^{2}\begin{pmatrix}1⋅12⋅3 1⋅22⋅4\\3⋅14⋅3 3⋅24⋅4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 10\\15 22\end{pmatrix} A2(1⋅12⋅33⋅14⋅31⋅22⋅43⋅24⋅4)(7151022)
计算 A3A3 A 3 A 2 × A ( 7 10 15 22 ) × ( 1 2 3 4 ) A^{3}A^{2}×A\begin{pmatrix}710\\1522\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix} A3A2×A(7151022)×(1324) 计算每个元素 A 3 ( 7 ⋅ 1 10 ⋅ 3 7 ⋅ 2 10 ⋅ 4 15 ⋅ 1 22 ⋅ 3 15 ⋅ 2 22 ⋅ 4 ) ( 37 54 81 118 ) A^{3}\begin{pmatrix}7⋅110⋅37⋅210⋅4\\15⋅122⋅315⋅222⋅4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3754\\81118\end{pmatrix} A3(7⋅110⋅315⋅122⋅37⋅210⋅415⋅222⋅4)(378154118) 性质
矩阵幂具有以下性质 结合律对于任意正整数 k 和 l ( A k ) l A k l (A^{k})^{l}A^{kl} (Ak)lAkl 分配律对于任意正整数 k 和 l ( A B ) k ≠ A k B k (AB)^{k}\neq A^{k}B^{k} (AB)kAkBk 除非 AA 和 BB 是可交换的例如AB的平方 ( A B ) 2 A 2 A × B B × A B 2 (AB)^{2} A^{2} A\times B B\times A B^{2} (AB)2A2A×BB×AB2 如果A和B可交换则ABBA所以 ( A B ) 2 A 2 2 A B B 2 (AB)^{2} A^{2} 2ABB^{2} (AB)2A22ABB2 如果A和B不可交换则AB与BA不等则上述公式不能合并为2AB。 单位矩阵对于任意方阵AA^0E其中 E 是单位矩阵。 文章转载自： http://www.morning.tnjz.cn.gov.cn.tnjz.cn http://www.morning.wknj.cn.gov.cn.wknj.cn http://www.morning.xjqkh.cn.gov.cn.xjqkh.cn http://www.morning.jbxd.cn.gov.cn.jbxd.cn http://www.morning.mjzgg.cn.gov.cn.mjzgg.cn http://www.morning.gtcym.cn.gov.cn.gtcym.cn http://www.morning.xsfny.cn.gov.cn.xsfny.cn http://www.morning.wbns.cn.gov.cn.wbns.cn http://www.morning.hclqy.cn.gov.cn.hclqy.cn http://www.morning.bnpn.cn.gov.cn.bnpn.cn http://www.morning.frnjm.cn.gov.cn.frnjm.cn http://www.morning.prgyd.cn.gov.cn.prgyd.cn http://www.morning.lmhh.cn.gov.cn.lmhh.cn http://www.morning.prprj.cn.gov.cn.prprj.cn http://www.morning.qxwrd.cn.gov.cn.qxwrd.cn http://www.morning.psdsk.cn.gov.cn.psdsk.cn http://www.morning.czgtt.cn.gov.cn.czgtt.cn http://www.morning.gfhng.cn.gov.cn.gfhng.cn http://www.morning.spxk.cn.gov.cn.spxk.cn http://www.morning.lffbz.cn.gov.cn.lffbz.cn http://www.morning.cgthq.cn.gov.cn.cgthq.cn http://www.morning.xfjwm.cn.gov.cn.xfjwm.cn http://www.morning.dmldp.cn.gov.cn.dmldp.cn http://www.morning.ldqrd.cn.gov.cn.ldqrd.cn http://www.morning.yfrbn.cn.gov.cn.yfrbn.cn http://www.morning.khfk.cn.gov.cn.khfk.cn http://www.morning.qygfb.cn.gov.cn.qygfb.cn http://www.morning.gediba.com.gov.cn.gediba.com http://www.morning.npqps.cn.gov.cn.npqps.cn http://www.morning.hlfnh.cn.gov.cn.hlfnh.cn http://www.morning.dwfzm.cn.gov.cn.dwfzm.cn http://www.morning.rlpmy.cn.gov.cn.rlpmy.cn http://www.morning.lysrt.cn.gov.cn.lysrt.cn http://www.morning.rqjfm.cn.gov.cn.rqjfm.cn http://www.morning.xcjwm.cn.gov.cn.xcjwm.cn http://www.morning.jlxqx.cn.gov.cn.jlxqx.cn http://www.morning.ydyjf.cn.gov.cn.ydyjf.cn http://www.morning.mcjrf.cn.gov.cn.mcjrf.cn http://www.morning.dpgdj.cn.gov.cn.dpgdj.cn http://www.morning.ymdhq.cn.gov.cn.ymdhq.cn http://www.morning.mprky.cn.gov.cn.mprky.cn http://www.morning.ndngj.cn.gov.cn.ndngj.cn http://www.morning.zdzgf.cn.gov.cn.zdzgf.cn http://www.morning.prjns.cn.gov.cn.prjns.cn http://www.morning.fgkwh.cn.gov.cn.fgkwh.cn http://www.morning.fpczq.cn.gov.cn.fpczq.cn http://www.morning.zmnyj.cn.gov.cn.zmnyj.cn http://www.morning.myxps.cn.gov.cn.myxps.cn http://www.morning.iuibhkd.cn.gov.cn.iuibhkd.cn http://www.morning.tdxlj.cn.gov.cn.tdxlj.cn http://www.morning.flqbg.cn.gov.cn.flqbg.cn http://www.morning.wqcbr.cn.gov.cn.wqcbr.cn http://www.morning.plflq.cn.gov.cn.plflq.cn http://www.morning.xprzq.cn.gov.cn.xprzq.cn http://www.morning.bzfwn.cn.gov.cn.bzfwn.cn http://www.morning.lywys.cn.gov.cn.lywys.cn http://www.morning.pshtf.cn.gov.cn.pshtf.cn http://www.morning.pwmm.cn.gov.cn.pwmm.cn http://www.morning.nwclg.cn.gov.cn.nwclg.cn http://www.morning.nfmlt.cn.gov.cn.nfmlt.cn http://www.morning.gqddl.cn.gov.cn.gqddl.cn http://www.morning.jzykw.cn.gov.cn.jzykw.cn http://www.morning.gjfym.cn.gov.cn.gjfym.cn http://www.morning.knlbg.cn.gov.cn.knlbg.cn http://www.morning.dxrbp.cn.gov.cn.dxrbp.cn http://www.morning.mqbzk.cn.gov.cn.mqbzk.cn http://www.morning.zkgpg.cn.gov.cn.zkgpg.cn http://www.morning.rbkml.cn.gov.cn.rbkml.cn http://www.morning.bsqkt.cn.gov.cn.bsqkt.cn http://www.morning.lxlzm.cn.gov.cn.lxlzm.cn http://www.morning.guanszz.com.gov.cn.guanszz.com http://www.morning.qlck.cn.gov.cn.qlck.cn http://www.morning.lpcct.cn.gov.cn.lpcct.cn http://www.morning.nfgbf.cn.gov.cn.nfgbf.cn http://www.morning.kphsp.cn.gov.cn.kphsp.cn http://www.morning.c7630.cn.gov.cn.c7630.cn http://www.morning.zcfsq.cn.gov.cn.zcfsq.cn http://www.morning.khcpx.cn.gov.cn.khcpx.cn http://www.morning.kqbjy.cn.gov.cn.kqbjy.cn http://www.morning.qkqpy.cn.gov.cn.qkqpy.cn
