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行列式det(A) 其实表示的只是一个值 ∣ a b c d ∣ a d − b c \begin{vmatrix} a b\\ c d\end{vmatrix} ad -bc acbd ad−bc#xff0c;其基本变化是基于这个值是不变。而矩阵表示的是一个数表。
定义 矩阵与线性变换的关系 即得 ( a 11 a 12…前言
行列式det(A) 其实表示的只是一个值 ∣ a b c d ∣ a d − b c \begin{vmatrix} a b\\ c d\end{vmatrix} ad -bc acbd ad−bc其基本变化是基于这个值是不变。而矩阵表示的是一个数表。
定义 矩阵与线性变换的关系 即得 ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) ( x 1 x 2 . . . x n ) ( y 1 y 2 . . . y n ) \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n}\\ a_{21} a_{22} ... a_{2n}\\ ... ... ... ....\\ a_{m1} a_{m2} ... a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\...\\y_n\end{pmatrix} a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amn x1x2...xn y1y2...yn 可以推矩阵乘法 即得中的 y 1 c 11 a 11 x 1 a 12 x 2 . . . a 1 n x m y_1c_{11}a_{11}x_1a_{12}x_2...a_{1n}x_m y1c11a11x1a12x2...a1nxm 矩阵乘法的提前 第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同 同理可得矩阵加法
特殊的矩阵 矩阵的初等变换 行和列的关系 ( x 1 x 2 . . . x n ) ( a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 . . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a m n ) ( y 1 y 2 . . y n ) \begin{pmatrix} x_1x_2...x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} a_{21} ... a_{m1}\\ a_{12} a_{22} ... a_{m2}\\ ... ... ... ....\\ a_{1n} a_{2n} ... a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1y_2..y_n\end{pmatrix} (x1x2...xn) a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2....amn (y1y2..yn) 初等变换与矩阵乘法的关系 E m ( i , j ) ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m 的 i 行与 j 行对调 ( 1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 1 i 行 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 j 行 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(i,j)\begin{pmatrix} 1 0 ... 0 0\\ 0 1_{i行} ... 0 0\\ ... ... ... .... ....\\ 0 0 ... 1_{j行} 0\\ 0 0 ... 0 1\end{pmatrix}_m 的 i行与j行对调 \begin{pmatrix} 1 0 ... 0 0\\ 0 0 ... 1_{i行} 0\\ ... ... ... .... ....\\ 0 1_{j行} ... 0 0\\ 0 0 ... 0 1\end{pmatrix}_m Em(i,j) 10...0001i行...00...............00....1j行000....01 m的i行与j行对调 10...0000...1j行0...............01i行....0000....01 m E m ( i ( k ) ) ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 ) m 的 i 行乘于常数 k ( 1 0 . . . 0 0 0 k i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(i(k))\begin{pmatrix} 1 0 ... 0 0\\ 0 1_{i行} ... 0 0\\ ... ... ... .... ....\\ 0 0 ... 1 0\\ 0 0 ... 0 1\end{pmatrix}_m 的 i行乘于常数k \begin{pmatrix} 1 0 ... 0 0\\ 0 k_{i行} ... 0 0\\ ... ... ... .... ....\\ 0 0 ... 1 0\\ 0 0 ... 0 1\end{pmatrix}_m Em(i(k)) 10...0001i行...00...............00....1000....01 m的i行乘于常数k 10...000ki行...00...............00....1000....01 m E m ( i j ( k ) ) ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m i 行的 k 倍加到 j 上 ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 k j 行 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(ij(k))\begin{pmatrix} 1 0 ... 0 0\\ 0 1_{i行} ... 0 0\\ ... ... ... .... ....\\ 0 0 ... 1_{j行} 0\\ 0 0 ... 0 1\end{pmatrix}_m i行的k倍加到j上 \begin{pmatrix} 1 0 ... 0 0\\ 0 1_{i行} ... 0 0\\ ... ... ... .... ....\\ 0 k_{j行} ... 1_{j行} 0\\ 0 0 ... 0 1\end{pmatrix}_m Em(ij(k)) 10...0001i行...00...............00....1j行000....01 mi行的k倍加到j上 10...0001i行...kj行0...............00....1j行000....01 m
矩阵的运算 矩阵乘法运算规律 矩阵的转置 A n ∗ m ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) 转置为 A n ∗ m T ( a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 . . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a m n ) A_{n*m} \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n}\\ a_{21} a_{22} ... a_{2n}\\ ... ... ... ....\\ a_{m1} a_{m2} ... a_{mn}\end{pmatrix} 转置为 A_{n*m}^T \begin{pmatrix} a_{11} a_{21} ... a_{m1}\\ a_{12} a_{22} ... a_{m2}\\ ... ... ... ....\\ a_{1n} a_{2n} ... a_{mn}\end{pmatrix} An∗m a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amn 转置为An∗mT a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2....amn 例如矩阵 B ( 1 2 3 4 5 6 ) B \begin{pmatrix} 1 2 3\\ 4 5 6\end{pmatrix} B(142536)的转置矩阵就是 B T ( 1 4 2 5 3 6 ) B^T \begin{pmatrix} 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6\end{pmatrix} BT 123456 反对称矩阵 方阵的行列式 伴随矩阵 根据行列式和矩阵乘法的公式刚好得出 A A ∗ ∣ A ∣ E AA^*|A|E AA∗∣A∣E
可逆矩阵(或称非奇异矩阵) 结合伴随矩阵的公式
根据 A A ∗ ∣ A ∣ E AA^*|A|E AA∗∣A∣E结合行列式公式 ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB||A||B| ∣AB∣∣A∣∣B∣得出 ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ |A||A*||A| ∣A∣∣A∗∣∣A∣得出 ∣ A ∗ ∣ 1 |A^*|1 ∣A∗∣1所以 ∣ A − 1 ∣ 1 ∣ A ∣ |A^{-1}|\cfrac{1}{|A|} ∣A−1∣∣A∣1 共轭矩阵
abia,b均为实数的数称为复数其中a称为实部b称为虚部i称为虚数单位。共轭复数两个实部相等虚部互为相反数的复数即 a-bi
举例
分块矩阵 上述指将矩阵按行或者列分块 分块矩阵的其它性质 利用初等变化转为对角矩阵方便计算 克拉默法则证明 把方程组写成矩阵方程 Ax b 这里 A ( a i j ) n ∗ n A(a_{ij})_{n*n} A(aij)n∗n为 n 阶矩阵因 |A| ≠ 0故 A − 1 A^{-1} A−1存在。令 x A − 1 b ⇒ A x A A − 1 b xA^{-1}b \Rightarrow AxAA^{-1}b xA−1b⇒AxAA−1b表明 x A − 1 b xA^{-1}b xA−1b是方程组的解向量。由于逆矩阵公式 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}\cfrac{1}{|A|}A^* A−1∣A∣1A∗,有 x 1 ∣ A ∣ A ∗ b x\cfrac{1}{|A|}A^*b x∣A∣1A∗b x j 1 ∣ A ∣ ( b 1 A 1 j b 2 A 2 j . . . b n A n j ) x_j\cfrac{1}{|A|}(b_1A_{1j} b_2A_{2j}...b_nA_{nj}) xj∣A∣1(b1A1jb2A2j...bnAnj) x j 1 ∣ A ∣ ∣ A j ∣ ( j 1 , 2 , 3 , . . . n ) x_j\cfrac{1}{|A|}|A_j| (j1,2,3,...n) xj∣A∣1∣Aj∣(j1,2,3,...n)
分块矩阵乘法证明 我们通过验证分块矩阵乘法得到的元素与通用乘法得到元素是否一致来证明分块乘法的可靠性以 c 32 c_{32} c32为例 c 32 ( a 31 a 32 a 33 ) ( b 12 b 22 b 32 ) c_{32} \begin{pmatrix} a_{31} a_{32} a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \\b_{32} \end{pmatrix} c32(a31a32a33) b12b22b32 与他对应是 C 11 A 11 B 11 A 12 B 21 C_{11}A_{11}B_{11}A_{12}B_{21} C11A11B11A12B21中的 c 32 c_{32} c32 c 32 ( a 31 a 32 ) ( b 12 b 22 ) ( a 33 ) ( b 32 ) c_{32} \begin{pmatrix} a_{31} a_{32} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{32} \end{pmatrix} c32(a31a32)(b12b22)(a33)(b32)
主要参考
《矩阵的转置》 《克拉默法则》 《共轭矩阵》 《分块矩阵的初等变换3行列式不变吗?》 《矩阵分块乘法的原理是怎么样的》 文章转载自： http://www.morning.ckbmz.cn.gov.cn.ckbmz.cn http://www.morning.yfrlk.cn.gov.cn.yfrlk.cn http://www.morning.nknt.cn.gov.cn.nknt.cn http://www.morning.pdwzr.cn.gov.cn.pdwzr.cn http://www.morning.kkysz.cn.gov.cn.kkysz.cn http://www.morning.tsgxz.cn.gov.cn.tsgxz.cn http://www.morning.rmqmc.cn.gov.cn.rmqmc.cn http://www.morning.xwlmr.cn.gov.cn.xwlmr.cn http://www.morning.hrnrx.cn.gov.cn.hrnrx.cn http://www.morning.wjjsg.cn.gov.cn.wjjsg.cn http://www.morning.rlns.cn.gov.cn.rlns.cn http://www.morning.zwtp.cn.gov.cn.zwtp.cn http://www.morning.pjxlg.cn.gov.cn.pjxlg.cn http://www.morning.nfcxq.cn.gov.cn.nfcxq.cn http://www.morning.yrjxr.cn.gov.cn.yrjxr.cn http://www.morning.lsjgh.cn.gov.cn.lsjgh.cn http://www.morning.dwzwm.cn.gov.cn.dwzwm.cn http://www.morning.plhhd.cn.gov.cn.plhhd.cn http://www.morning.xnpml.cn.gov.cn.xnpml.cn http://www.morning.kpfds.cn.gov.cn.kpfds.cn http://www.morning.yckwt.cn.gov.cn.yckwt.cn http://www.morning.nwllb.cn.gov.cn.nwllb.cn http://www.morning.prprz.cn.gov.cn.prprz.cn http://www.morning.mgwpy.cn.gov.cn.mgwpy.cn http://www.morning.pcqxr.cn.gov.cn.pcqxr.cn http://www.morning.ktmbp.cn.gov.cn.ktmbp.cn http://www.morning.kpqjr.cn.gov.cn.kpqjr.cn http://www.morning.kwxr.cn.gov.cn.kwxr.cn http://www.morning.xskbr.cn.gov.cn.xskbr.cn http://www.morning.ltpmy.cn.gov.cn.ltpmy.cn http://www.morning.nlglm.cn.gov.cn.nlglm.cn http://www.morning.nspbj.cn.gov.cn.nspbj.cn http://www.morning.smj78.cn.gov.cn.smj78.cn http://www.morning.nflpk.cn.gov.cn.nflpk.cn http://www.morning.tmbtm.cn.gov.cn.tmbtm.cn http://www.morning.twfdm.cn.gov.cn.twfdm.cn http://www.morning.zdtfr.cn.gov.cn.zdtfr.cn http://www.morning.mlpch.cn.gov.cn.mlpch.cn http://www.morning.qqtzn.cn.gov.cn.qqtzn.cn http://www.morning.fplwz.cn.gov.cn.fplwz.cn http://www.morning.pfggj.cn.gov.cn.pfggj.cn http://www.morning.jwrcz.cn.gov.cn.jwrcz.cn http://www.morning.rttxx.cn.gov.cn.rttxx.cn http://www.morning.lffbz.cn.gov.cn.lffbz.cn http://www.morning.jnbsx.cn.gov.cn.jnbsx.cn http://www.morning.fnczn.cn.gov.cn.fnczn.cn http://www.morning.rzcbk.cn.gov.cn.rzcbk.cn http://www.morning.qtzk.cn.gov.cn.qtzk.cn http://www.morning.rhfbl.cn.gov.cn.rhfbl.cn http://www.morning.drspc.cn.gov.cn.drspc.cn http://www.morning.hdscx.cn.gov.cn.hdscx.cn http://www.morning.sdecsd.cn.gov.cn.sdecsd.cn http://www.morning.mqwnp.cn.gov.cn.mqwnp.cn http://www.morning.glwyn.cn.gov.cn.glwyn.cn http://www.morning.jlnlr.cn.gov.cn.jlnlr.cn http://www.morning.jzfxk.cn.gov.cn.jzfxk.cn http://www.morning.jjnql.cn.gov.cn.jjnql.cn http://www.morning.yhljc.cn.gov.cn.yhljc.cn http://www.morning.hrypl.cn.gov.cn.hrypl.cn http://www.morning.dmhs.cn.gov.cn.dmhs.cn http://www.morning.lzdbb.cn.gov.cn.lzdbb.cn http://www.morning.fjmfq.cn.gov.cn.fjmfq.cn http://www.morning.klpwl.cn.gov.cn.klpwl.cn http://www.morning.nhzxd.cn.gov.cn.nhzxd.cn http://www.morning.xnzmc.cn.gov.cn.xnzmc.cn http://www.morning.rmdsd.cn.gov.cn.rmdsd.cn http://www.morning.bqdpy.cn.gov.cn.bqdpy.cn http://www.morning.xfxlr.cn.gov.cn.xfxlr.cn http://www.morning.msxhb.cn.gov.cn.msxhb.cn http://www.morning.tfkqc.cn.gov.cn.tfkqc.cn http://www.morning.jzgxp.cn.gov.cn.jzgxp.cn http://www.morning.ndmh.cn.gov.cn.ndmh.cn http://www.morning.sgfpn.cn.gov.cn.sgfpn.cn http://www.morning.wzwpz.cn.gov.cn.wzwpz.cn http://www.morning.jhrlk.cn.gov.cn.jhrlk.cn http://www.morning.mrgby.cn.gov.cn.mrgby.cn http://www.morning.hjrjr.cn.gov.cn.hjrjr.cn http://www.morning.qwmpn.cn.gov.cn.qwmpn.cn http://www.morning.wnrcj.cn.gov.cn.wnrcj.cn http://www.morning.hmnhp.cn.gov.cn.hmnhp.cn
