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旅游休闲类网站的建设,php网站开发数据列表排重,杭州网站模板建站,广东seo网站设计营销工具这两天把经典的三个背包问题看了一下#xff0c;网上大多文章是以代码和公式为主#xff0c;因为平时没刷过算法题所以理解起来花了些时间#xff0c;固写一篇文章记录理解思路#xff0c;本文不包含代码实现#xff08;理解了思路代码实现应该是小问题#xff0c;网上一…这两天把经典的三个背包问题看了一下网上大多文章是以代码和公式为主因为平时没刷过算法题所以理解起来花了些时间固写一篇文章记录理解思路本文不包含代码实现理解了思路代码实现应该是小问题网上一搜一大把主要是思路思路思路 一、三个背包问题概述 因为三个背包问题实际上解决思路是几乎相同的所以这里把三个问题放到一起进行记录首先简单说下三个背包问题的题干 1.01背包问题即有数件物品每样物品均有不同的价值和重量先给定一个背包容量大小求背包能装下的最大价值。 2.完全背包问题在01背包问题的基础上每样物品有无限个即可重复装包求背包能装下的最大价值。 3.分组背包问题在01背包问题的基础上把数样物品改为数组物品每组物品中只能选择一件求背包能装下的最大价值。 二、动态规划及整体解题思路 个人理解动态规划简单来说就是对于当前状态是某个过去状态的迭代结果状态不断回溯存在一个初始固定状态并可以根据它推导出全部未来状态的一种模型比如比较好理解的例如阶梯问题漫画什么是动态规划 - 知乎———————————— 题目 有一座高度是 10级台阶的楼梯从下往上走每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。 比如每次走1级台阶一共走10步这是其中一种走法。我们可…https://zhuanlan.zhihu.com/p/31628866 每一层台阶n层的走法数量是n-1层和n-2层决定的即n层走法数等于n-1层的走法数加上n-2层的走法数之和然后一直反推到第1一种走法层台阶和第2两种走法层台阶两个走法数确定的状态即可推算出后续每一层台阶的走法数。 背包问题依然是使用这样的思路去解决问题但对于背包问题来说比阶梯问题多了一个维度是一个二维递归理解起来相对来说会困难一点在下文中会详细讲解图解思路这里只对大概思路做一个说明01背包中假设背包容量为10、物品中有一个物品容量占用为2价值任意的物品那么对于该物品是否放入背包的问题取决于背包装到占用为8即10-物品占用空间时除该物品外其他全部物品装包方案的最大价值加上该物品的价值与除该物品外其他全部物品装满背包时的最大值做一个比较价值总量最高的即为价值最大化方案同样对于完全背包问题只需要在01背包问题的基础上做一点点改动对于10容量的状态只需要占用为8时全部物品装包方案的最大价值加上该物品的价值与除该物品外其他全部物品装满背包时的最大值做一个比较价值总量最高的即为价值最大化方案而分组背包问题只需要在01背包的基础上在把物品换乘组物品并在每次比大小的时候循环对比组内全部物品大小即可上述理解思路只是一个便于理解的大概思路并不完全准确因为物品是一件一件放入的比较的过程也是动态的接下来将对三个背包问题逐一图解更加直观的解释解题思路。 三、01背包问题详解 首先看上图其中j轴表示背包容量大小i轴表示物品每一列都表示将每个物品依次尝试放入背包后状态的最大值很显然我们可以得出如上图所示的这些初始状态格当背包容量为10时我们需要的最大价值就是L6单元格的值现在要做的就是根据上文中的比较方案进行逐一对比就能填充完全部单元格了即对比占用为j-物品占用空间时除该物品外其他全部物品装包方案的最大价值加上该物品的价值与除该物品外其他全部物品装满背包时的最大值由于我们的表格中放入物品是线性的即有顺序的因此比较中的除该物品外其他全部物品在每一步上时指根据i轴顺序该物品放入之前放入的其他全部物品即i-1这样只需要将数据推到第6行即是每个容量时的最大价值了现在根据这个对比方式我们推一下E3单元格的值此时j轴即背包容量为3因此很容易知道我们仅仅需要去比较E2单元格的值和B2单元格的值4取较大的即可此时我们的表格变成了这样 接下来发现存在E4这种单元格它的j-物品占用空间超过了表格左象限换句话说该j轴的情况下该物品还无法放入背包因此在取最大值中直接取i-1的值即可下面我们来根据规则将全部格子的值推导出来 即最大价值为19。 总结一下每个格子的状态公式现在把每个物品的空间设为w价值设为v每个格子的值设为d那么每个格子的公式不考虑E4这种边界条件的情况下为d[i][j] max(d[i-1][j], d[i-1][j-w[i]] v[i])。 四、完全背包问题详解 我们依然以该模型为例为了让过程更容易理解我们把性价比最高的物品放到最下一行其中初始状态值很明显有所不同现在我们推一下E3单元格的值此时j轴即背包容量为3与01背包问题不同因为完全背包问题中物品可以重复拿取因此E3单元格需要比较的值变成了E2单元格的值和B3单元格的值4根据这个思路我们直接推导出全部单元格数值如下 总结一下每个格子的状态公式现在把每个物品的空间设为w价值设为v每个格子的值设为d那么每个格子的公式不考虑E4这种边界条件的情况下则为d[i][j] max(d[i-1][j], d[i][j-w[i]] v[i])与01背包差别不大。 五、分组背包问题 分组背包问题思路与01背包基本相同将i轴换乘物品组每个格子进行最大值比较时循环将该组的每一个物品都套进01背包的公式中进行一次比较从代码的角度无非是加了一层循环而已因此不再进行详细图解及公式推导。
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