大庆网站建设优化,山东城乡和住房建设厅官网,杭州平面设计培训,室内装修免费咨询一、引言
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一从斐波那契数列引入自底向上算法
1知识讲解 2matlap实现递归 3带有备忘录的遗传算法 4matlap实现带有备忘录的递归算法 “”是为了不显示中间的计算结果“”双等号表示判断“tic、toc”运算开始和结束的时间 5采用自低向上的算法进行求解和代码实现 二从斐波那契数列解决引入动态规划
1从斐波那契数列引入动态规划 2动态规划中的常见概念 3动态规划解题思路 4例题讲解 1使用递归解决打家劫舍问题 上述使用递归的方法会出现重叠子问题。
2使用动态规划解决打家劫舍问题 3动态规划中状态压缩的技巧 5输出盗窃房屋的编号 5动态规划中的最优子结构和无后效性 6利用调试功能窥探动态规划函数内部 二、动态规划介绍
一动态规划中的常见到的概念 这里我们还是以求解斐波那契数列来举例子尽管它不算严格的动态规划:
1)子问题和原问题 原问题就是你要求解的这个问题本身子问题是和原问题相似但规模较小的问题(原问题本身就是子问题的最复杂的情形即子问题的特例)。例如:要求F(10)那么求出F(10)就是原问题求出F(k)(k≤10)都是子问题。
2)状态 状态就是子问题中会变化的某个量可以把状态看成我们要求解的问题的自变量。 例如:我们要求的F(10)那么这里的自变量10就是一个状态。
3)状态转移方程 能够表示状态之间转移关系的方程一般利用关于状态的某个函数建立起来。例如:F(n)F(n-1) F(n-2),当n为2的整数时;当n1或2时F(n)1这种最简单的初始条件一般称为边界条件也被称为基本方程。
4)DP数组(DP就是动态规划的缩写) DP 数组也可以叫子问题数组因为 DP 数组中的每一个元素都对应一个子问题的结果DP数组的下标一般就是该子问题对应的状态。例如:使用自底向上法编程求解时我们定义的向量FF就可以看成一个DP数组数组下标从1取到n对应的元素从F(1)取到F(n)。
二动态规划建模过程
1概述 建立动态规划的模型就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法的关键在于识别问题的多阶段特征将问题分解成为可用递推关系式联系起来的若干子问题而正确建立基本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量保证各阶段的状态变量具有递推的状态转移关系.
2动态规划模型的建立 动态规划模型的构成要素阶段、状态变量、决策变量、状态转移方程以及指标函数如下图所示 3模型建立要点
1.分析题意识别问题的多阶段特性按时间或空间的先后顺序适当地划分为满足递推关系的若干阶段对非时序的静态问题要人为地赋予“时段”概念。
2.正确地选择状态变量使其具备两个必要特征
1可知性即过程演变的各阶段状态变量的取值能直接或间接地确定。
2能够确切地描述过程的演变且满足无后效性。即由第k阶段的状态sk出发的后部子过程可以看作是一个以sk为初始状态的独立过程。
3.根据状态变量与决策变量的含义正确写出状态转移方程或转移规则。
4.正确列出最优指标函数的递推关系及边界条件即基本方程。
4动态规划的求解 动态规划的求解有两种基本方法逆序解法后向动态规划方法、顺序解法前向动态规划方法。 逆序解法即寻优的方向与多阶段决策过程的实际行进方向相反从最后一段开始计算逐段前推求得全过程的最优策略。与之相反顺序解法的寻优方向与过程的行进方向相同计算时从第一段开始逐段向后递推计算后一阶段要用到前一阶段的求优结果最后一段计算的结果就是全过程的最优结果。 顺序解法与逆序解法本质上并无区别一般来说当初始状态给定时可用逆序解法当终止状态给定时可用顺序解法。若问题给定了一个初始状态与一个终止状态则两种方法均可使用。两者的不同之处主要有三点状态转移方式不同最优指标函数定义不同基本方程形式不同。
1状态转移方式不同 2指标函数的定义不同 3基本方程形式不同 5动态建模框架 三零钱兑换问题讲解动态规划例题
1零钱兑换问题分析 2编程求解 3怎样得到具体的硬币组合分析及matlap实现 4贪心算法解决生活中的找零问题 5扩展-背包问题扩展 四DP问题分类
DP 类型介绍解决问题性质解题步骤经典案例线性 DP针对单串或双串进行状态转移通常涉及到子序列、子数组的性质。子序列、子数组的优化定义状态建立递推关系填写状态表300. 最长上升子序列 br 1143. 最长公共子序列 br 120. 三角形最小路径和 br 53. 最大子序和 br 152. 乘积最大子数组 br 887. 鸡蛋掉落 br 354. 俄罗斯套娃信封问题 br 198. 打家劫舍 br 213. 打家劫舍 II br 股票系列121, 122, 123, 188, 309, 714 br 字符串匹配系列72, 44, 10区间 DP通过定义区间状态来求解问题常用于字符串和序列的性质。区间划分、优化定义区间状态转移时考虑区间内的所有可能516. 最长回文子序列 br 730. 统计不同回文子字符串 br 1039. 多边形三角剖分的最低得分 br 664. 奇怪的打印机 br 312. 戳气球背包 DP解决选择问题的背包问题通过状态转移实现选择和价值的最优化。最优选择、容量限制定义物品和背包状态转移时考虑物品的选择情况416. 分割等和子集 br 494. 目标和 br 322. 零钱兑换 br 518. 零钱兑换 II br 474. 一和零树形 DP针对树形结构进行动态规划利用树的递归性质。树的路径、子树性质深度优先遍历维护状态124. 二叉树中的最大路径和 br 1245. 树的直径 br 543. 二叉树的直径 br 333. 最大 BST 子树 br 337. 打家劫舍 III状态压缩 DP通过位运算压缩状态用于处理较大状态空间的情况。状态压缩、子集优化使用位运算表示状态维护状态转移464. 我能赢吗 br 526. 优美的排列 br 935. 骑士拨号器 br 1349. 参加考试的最大学生数数位 DP解决涉及数字的组合和计数问题通常用于约束条件下的数字组合。数字组合、计数定义数字状态考虑每位的取值和限制233. 数字 1 的个数 br 902. 最大为 N 的数字组合 br 1015. 可被 K 整除的最小整数计数型 DP通过计数方法解决路径、组合等问题结合组合数学原理。路径计数、组合计数定义路径或组合状态利用数学公式进行转移62. 不同路径 br 63. 不同路径 II br 96. 不同的二叉搜索树 br 1259. 不相交的握手递推型 DP使用递推关系通过快速幂等方法提高计算效率。递推关系、状态转移定义递推关系利用快速幂优化计算70. 爬楼梯 br 509. 斐波那契数 br 935. 骑士拨号器 br 957. N 天后的牢房 br 1137. 第 N 个泰波那契数概率型 DP用于计算概率和期望值常见于随机过程问题。概率计算、期望值定义状态转移方程利用概率性质进行推导808. 分汤 br 837. 新21点博弈型 DP涉及两方博弈的问题通过博弈论原理分析最优策略。策略优化、对抗性游戏定义状态分析最优选择通常使用极小化或极大化293. 翻转游戏 br 294. 翻转游戏 II br 292. Nim 游戏 br 877. 石子游戏 br 1140. 石子游戏 II br 348. 判定井字棋胜负 br 794. 有效的井字游戏 br 1275. 找出井字棋的获胜者记忆化搜索结合深度优先搜索和记忆化技术适用于状态转移不确定的情况。状态空间优化、DFS使用递归和哈希表存储结果避免重复计算329. 矩阵中的最长递增路径 br 576. 出界的路径数 参考力扣上的 DP 问题分类汇总 - 力扣LeetCode
三、动态规划——求解多阶段决策过程最优化问题的数学方法
一多阶段决策模型及其特点 多阶段决策过程是指这样的一类特殊的活动过程问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段在每一个阶段都要做出决策全部过程的决策是一个决策序列。
根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又互相区别的阶段。
在每一个阶段都需要做出决策从而使整个过程达到最好的效果。
各个阶段决策的选取不是任意确定的它依赖于当前面临的状态又影响以后的发展。
当各个阶段的决策确定后就组成了一个决策序列因而也就决定了整个过程的一条活动路线这样的一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策问题。
二动态规划求解案例 针对多阶段决策过程的最优化问题美国数学家Bellman等人在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理把多阶段决策问题转化为一系列单阶段最优化问题从而逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法动态规划。 对最佳路径(最佳决策过程)所经过的各个阶段其中每个阶段始点到全过程终点的路径必定是该阶段始点到全过程终点的一切可能路径中的最佳路径(最优决策)这就是Bellman提出的著名的最优化原理。即 一个最优策略的子策略必然也是最优的。 来源求解多阶段决策过程最优化问题-CSDN博客 A地到 E 地要铺设一条煤气管道其中需经过三级中间站两点之间的连线上的数字表示距离。如图所示问应该选择什么路线使总距离最短 解整个计算过程分为四个阶段从最后一个阶段开始。
第四阶段有两条路。 ①D1E5②D2E2。②最优。 第三阶段有六条路。
经过C1点——①C1D158②C1D2211。
他山之石参考借鉴
[1]利用调试功能窥探动态规划函数内部_bilibili
[2]数学建模优化类问题—动态规划_动态规划模型-CSDN博客
[3]【labuladong】动态规划核心套路详解_哔哩哔哩_bilibili 文章转载自： http://www.morning.frpm.cn.gov.cn.frpm.cn http://www.morning.pqcrz.cn.gov.cn.pqcrz.cn http://www.morning.xblrq.cn.gov.cn.xblrq.cn http://www.morning.dlgjdg.cn.gov.cn.dlgjdg.cn http://www.morning.glncb.cn.gov.cn.glncb.cn http://www.morning.hmqwn.cn.gov.cn.hmqwn.cn http://www.morning.zxhpx.cn.gov.cn.zxhpx.cn http://www.morning.mfnsn.cn.gov.cn.mfnsn.cn http://www.morning.tsmxh.cn.gov.cn.tsmxh.cn http://www.morning.rjznm.cn.gov.cn.rjznm.cn http://www.morning.lskyz.cn.gov.cn.lskyz.cn http://www.morning.mqwnz.cn.gov.cn.mqwnz.cn http://www.morning.mtrrf.cn.gov.cn.mtrrf.cn http://www.morning.mdxwz.cn.gov.cn.mdxwz.cn http://www.morning.ppbqz.cn.gov.cn.ppbqz.cn http://www.morning.fdmfn.cn.gov.cn.fdmfn.cn http://www.morning.nlqmp.cn.gov.cn.nlqmp.cn http://www.morning.rnhh.cn.gov.cn.rnhh.cn http://www.morning.skqfx.cn.gov.cn.skqfx.cn http://www.morning.qflcb.cn.gov.cn.qflcb.cn http://www.morning.zsfooo.com.gov.cn.zsfooo.com http://www.morning.grpbt.cn.gov.cn.grpbt.cn http://www.morning.zhiheliuxue.com.gov.cn.zhiheliuxue.com http://www.morning.twwts.com.gov.cn.twwts.com http://www.morning.qrwjb.cn.gov.cn.qrwjb.cn http://www.morning.sfdky.cn.gov.cn.sfdky.cn http://www.morning.bhqlj.cn.gov.cn.bhqlj.cn http://www.morning.mbzlg.cn.gov.cn.mbzlg.cn http://www.morning.tddrh.cn.gov.cn.tddrh.cn http://www.morning.ldsgm.cn.gov.cn.ldsgm.cn http://www.morning.qrlsy.cn.gov.cn.qrlsy.cn http://www.morning.ljjmr.cn.gov.cn.ljjmr.cn http://www.morning.xsetx.com.gov.cn.xsetx.com http://www.morning.c7493.cn.gov.cn.c7493.cn http://www.morning.lqrpk.cn.gov.cn.lqrpk.cn http://www.morning.pdxqk.cn.gov.cn.pdxqk.cn http://www.morning.rjnm.cn.gov.cn.rjnm.cn http://www.morning.lxfqc.cn.gov.cn.lxfqc.cn http://www.morning.snrbl.cn.gov.cn.snrbl.cn http://www.morning.lyrgp.cn.gov.cn.lyrgp.cn http://www.morning.ngdkn.cn.gov.cn.ngdkn.cn http://www.morning.gryzk.cn.gov.cn.gryzk.cn http://www.morning.hmjasw.com.gov.cn.hmjasw.com http://www.morning.jzlkq.cn.gov.cn.jzlkq.cn http://www.morning.rnytd.cn.gov.cn.rnytd.cn http://www.morning.psgbk.cn.gov.cn.psgbk.cn http://www.morning.sh-wj.com.cn.gov.cn.sh-wj.com.cn http://www.morning.nyqm.cn.gov.cn.nyqm.cn http://www.morning.mlbn.cn.gov.cn.mlbn.cn http://www.morning.hyhqd.cn.gov.cn.hyhqd.cn http://www.morning.wqtzs.cn.gov.cn.wqtzs.cn http://www.morning.dhtdl.cn.gov.cn.dhtdl.cn http://www.morning.ltcnd.cn.gov.cn.ltcnd.cn http://www.morning.wjdgx.cn.gov.cn.wjdgx.cn http://www.morning.lrwsk.cn.gov.cn.lrwsk.cn http://www.morning.rymb.cn.gov.cn.rymb.cn http://www.morning.wcjk.cn.gov.cn.wcjk.cn http://www.morning.bqnhh.cn.gov.cn.bqnhh.cn http://www.morning.ljbpk.cn.gov.cn.ljbpk.cn http://www.morning.mdmqg.cn.gov.cn.mdmqg.cn http://www.morning.gpryk.cn.gov.cn.gpryk.cn http://www.morning.srbmc.cn.gov.cn.srbmc.cn http://www.morning.qzfjl.cn.gov.cn.qzfjl.cn http://www.morning.jrqw.cn.gov.cn.jrqw.cn http://www.morning.wfjyn.cn.gov.cn.wfjyn.cn http://www.morning.yfcbf.cn.gov.cn.yfcbf.cn http://www.morning.stmkm.cn.gov.cn.stmkm.cn http://www.morning.gbljq.cn.gov.cn.gbljq.cn http://www.morning.tbnn.cn.gov.cn.tbnn.cn http://www.morning.cwqpl.cn.gov.cn.cwqpl.cn http://www.morning.wlsrd.cn.gov.cn.wlsrd.cn http://www.morning.yrycb.cn.gov.cn.yrycb.cn http://www.morning.bwqcx.cn.gov.cn.bwqcx.cn http://www.morning.fchkc.cn.gov.cn.fchkc.cn http://www.morning.cwkcq.cn.gov.cn.cwkcq.cn http://www.morning.fqyqm.cn.gov.cn.fqyqm.cn http://www.morning.drgmr.cn.gov.cn.drgmr.cn http://www.morning.tpxgm.cn.gov.cn.tpxgm.cn http://www.morning.qlkjh.cn.gov.cn.qlkjh.cn http://www.morning.wtcd.cn.gov.cn.wtcd.cn
