当前位置： 首页 > news >正文 宜兴市的城乡建设管理局网站cf小号自助购买网站 news 2025/10/23 8:01:50 宜兴市的城乡建设管理局网站,cf小号自助购买网站,搜索引擎营销包括,wordpress 上传一、关于正定矩阵的一些补充 在此之前#xff0c;先讲一下对称矩阵中那些特征值为正数的矩阵#xff0c;这样特殊的矩阵称为正定矩阵。其更加学术的定义是#xff1a; SSS 是一个正定矩阵#xff0c;如果对于每一个非零向量xxx#xff0c;xTSx0x^TSx0xTSx0 正…一、关于正定矩阵的一些补充 在此之前先讲一下对称矩阵中那些特征值为正数的矩阵这样特殊的矩阵称为正定矩阵。其更加学术的定义是 SSS 是一个正定矩阵如果对于每一个非零向量xxxxTSx0x^TSx0xTSx0 正定矩阵的逆仍然是正定矩阵两个正定矩阵的和仍然是正定矩阵SAATSAA^TSAAT 是正定的条件是矩阵 AAA 的列是独立的 对于最后一个结论。矩阵 AAA 是一个 m×nm\times nm×n 普通的矩阵有可能为长方形那么对应的矩阵 ATAA^TAATA 一定是对称矩阵。那么这样的 ATAA^TAATA 是一个正定的吗 AATAA^T AAT 左乘xTx^TxT右乘 xxx xTATAx(Ax)T(Ax)∣Ax∣2≥0x^TA^TAx(Ax)^T(Ax)|Ax|^2\ge0 xTATAx(Ax)T(Ax)∣Ax∣2≥0 要保证它一定是正定Ax0(x≠0)Ax 0(x\ne\bold0)Ax0(x0) 需要剔除 这是我们熟悉的只要 AAA 列满秩就一定只有零解该条件自然剔除。所以结论是只要普通方阵列满秩AATAA^TAAT就一定是一个正定的对称矩阵。 二、相似矩阵 对于m×n矩阵m\times n矩阵m×n矩阵AAA 和 BBB 是相似的那么存在一些矩阵使得 BM−1AMBM^{-1}AM BM−1AM 事实上我们已经接触过一种比较特殊的相似矩阵。假设 AAA 具有线性无关的特征向量也就是存在特征矩阵 SSS使得 S−1ASΛS^{-1}AS\Lambda S−1ASΛ 用这节课的新概念来看 矩阵 AAA 与对角矩阵 Λ\LambdaΛ 相似与对角矩阵相似是一个特别简洁的情况。举个例子 A[2112]A\begin{bmatrix}21\\12\end{bmatrix} A[2112] 因为矩阵 AAA 是线性无关的所以必然存在一个逆矩阵 SSS 使得 S−1ASΛ[3001]S^{-1}AS\Lambda\begin{bmatrix}30\\01\end{bmatrix} S−1ASΛ[3001] 除了 SSS 很多其他可逆矩阵也可以使得 M−1AMBM^{-1}AMB M−1AMB 不过矩阵没有这么特殊罢了。比如 [1−401][2112][1410][−2−1516]B\begin{bmatrix}1-4\\01\end{bmatrix}\begin{bmatrix}21\\12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}14\\10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2-15\\16\end{bmatrix}B [10−41][2112][1140][−21−156]B 那么这两个矩阵 BBB 和 Λ\LambdaΛ 的共同点是什么呢它们的特征值相同相似矩阵具有相同的特征值\color{red}相似矩阵具有相同的特征值相似矩阵具有相同的特征值下面对这个结论进行证明 AxλxAx\lambda x\\\ Axλx 在 AAA 和 xxx之间插入一个 M−1MM^{-1}MM−1M有 AMM−1xλxAMM^{-1}x\lambda x AMM−1xλx 然后左右两边再乘以 M−1M^{-1}M−1有 M−1AMM−1xλM−1xM^{-1}AMM^{-1}x\lambda M^{-1} x M−1AMM−1xλM−1x 加上括号有 (M−1AM)M−1xλM−1x(M^{-1}AM)M^{-1}x\lambda M^{-1} x (M−1AM)M−1xλM−1x 因为BM−1AMBM^{-1}AMBM−1AM所以 BM−1xλM−1xBM^{-1}x\lambda M^{-1}x BM−1xλM−1x 把M−1xM^{-1}xM−1x 看成一个向量显然 λ\lambdaλ 是矩阵 BBB 的特征向量故相似矩阵相同的特征值但是特征向量却发生了改变变成了M−1xM^{-1}xM−1x 接下来看一下特征值相同的矩阵前面知识已知如果特征值相同那么这个矩阵不可以进行对角化这种情况是“不咋美丽”的情况但是我们需要对其进行讨论 假设我们的特征值 λ1λ24\lambda_1\lambda_24λ1λ24特征值相同的矩阵可以分为两个阵营 小阵营1 [4004]\begin{bmatrix}40\\04\end{bmatrix} [4004] 这个阵营的矩阵只与自己相似。 大阵营2 [4104]\begin{bmatrix}41\\04\end{bmatrix} [4014] 它是不能对角化的因为如果可以对角化那么就会相似于小阵营。上面的大阵营例子是一个若尔当标准型 Jordan Form。事实上历史的某个时期若尔当标准型还是压轴内容现在不是了最重要的一个原因就是一般的矩阵很难化简为若尔当标准型条件特征值完全相等。还可以继续列举这样的矩阵 [51−13][40174]\begin{bmatrix}51\\-13\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}40\\174\end{bmatrix} [5−113][41704] 再列举一个大一些的矩阵 [0100001000000000]\begin{bmatrix}0100\\0010\\0000\\0000\end{bmatrix} 0000100001000000 特征值全是零 λ1λ2λ3λ40\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_40λ1λ2λ3λ40特征向量有几个等于秩的个数 N(A)2N(A)2N(A)2有两个特征向量“消失了”。 [0100000000010000]\begin{bmatrix}0100\\0000\\0001\\0000\end{bmatrix} 0000100000000010 下面介绍一下若尔当块Jordan block Ji[λi100λi100λi1⋯⋯⋯⋯]J_i\begin{bmatrix} \lambda_i10\\ 0\lambda_i1\\ 00\lambda_i1\\ \cdots\cdots\cdots\cdots \end{bmatrix} Jiλi00⋯1λi0⋯1λi⋯1⋯0 对角线上都是相同的特征值 λi\lambda_iλi 特征值右侧都是1其他地方都是0。每个块都有一个特征向量我们可以通过数若尔当块确定特征向量的个数。 若尔当定理Jordan’s theorem每个方阵 AAA 都相似于一个若尔当阵矩阵 JJJ J[J1J2J3⋯]J\begin{bmatrix}J1\\J2\\J3\\\cdots\end{bmatrix} JJ1J2J3⋯ 若尔当块个数等于特征向量个数。“如果一个矩阵可以对角化那么这个矩阵相似于对角矩阵”它是若尔当矩阵的一种特殊情况。最好情况就是对角矩阵。 文章转载自： http://www.morning.kpbn.cn.gov.cn.kpbn.cn http://www.morning.fmswb.cn.gov.cn.fmswb.cn http://www.morning.pmysp.cn.gov.cn.pmysp.cn http://www.morning.qbzfp.cn.gov.cn.qbzfp.cn http://www.morning.tbzcl.cn.gov.cn.tbzcl.cn http://www.morning.qstjr.cn.gov.cn.qstjr.cn http://www.morning.reababy.com.gov.cn.reababy.com http://www.morning.nzkkh.cn.gov.cn.nzkkh.cn http://www.morning.prlgn.cn.gov.cn.prlgn.cn http://www.morning.tzlfc.cn.gov.cn.tzlfc.cn http://www.morning.ngcbd.cn.gov.cn.ngcbd.cn http://www.morning.jwbfj.cn.gov.cn.jwbfj.cn http://www.morning.rfgc.cn.gov.cn.rfgc.cn http://www.morning.zzgkk.cn.gov.cn.zzgkk.cn http://www.morning.xzkgp.cn.gov.cn.xzkgp.cn http://www.morning.klzdy.cn.gov.cn.klzdy.cn http://www.morning.wkgyz.cn.gov.cn.wkgyz.cn 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