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冲浪时发现的有趣文章#xff0c;学习自https://zhuanlan.zhihu.com/p/718139299
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傅里叶变换之所以“怪美的嘞”#xff0c;根本在于它有一种内在的对称性#xff0c;这一点在上面的图并没有表现出来…傅里叶变换对称美
冲浪时发现的有趣文章学习自https://zhuanlan.zhihu.com/p/718139299
摘下来的内容
傅里叶变换之所以“怪美的嘞”根本在于它有一种内在的对称性这一点在上面的图并没有表现出来。
这种内在的对称性是什么呢可以理解为
频谱是时域信号在一个**希尔伯特空间中的连续正交归一基下展开的展开系数于此同时时域信号也是频谱在相同形式的希尔伯特空间中的连续正交归一基下的展开的展开系数。**
比较直观的视频https://www.youtube.com/watch?vr4c9ojz6hJgab_channelSimonXu
以前比较少关注这种对称的方式也很少有这种连续的视频图也能从一个侧面去了解傅里叶变换这篇文章主要是着重对称性这个点也算是加深一下自己的理解。写得很好。
文章二https://zhuanlan.zhihu.com/p/40396861
为了“简单”而进行“分解”为了更好的“分解”人类又发明了“正交”的概念。何谓正交呢它其实脱胎于“垂直”而又有更丰富的内涵。我们知道在垂直坐标系中三个坐标轴的相互垂直的这样的好处是各个轴向之间是独立的互不干扰的。当然这些描述都是定性的对于严谨的数学家和工程师而言这是不可接受的。于是又有一个新的概念引入了:“内积”当内积为零的时候两个量就是正交的。
整理一下我们的思路我们想要“简单”要进行“分解”想要更好的“分解”要进行“正交化”想要定量描述“正交化”规定“内积”为零为“正交”。总的逻辑是这样的简单→分解→正交→内积。
说了这么多这和傅里叶分析有什么关系现在我要告诉大家傅里叶分析就是进行“正交分解”不理解细节没关系领会到了这个概念就理解一半了。为了严谨实际上很不严谨^_^我们需要将逻辑关系反过来先从内积说起。
在三维直角坐标系里面任何一个坐标轴的方向上长度为 1 1 1 的向量称之为一个基相互垂直的基称之为正交基 1 , 0 , 0 1,0,0 1,0,0 代表 x x x 轴的基 0 , 1 , 0 0,1,0 0,1,0 代表 y y y 轴的基 0 , 0 , 1 0,0,1 0,0,1代表 z z z 轴的基。假设 x ˉ a 1 , b 1 , c 1 \bar{x}a_1,b_1,c_1 xˉa1,b1,c1, y ˉ ( a 2 , b 2 , c 2 ) \bar{y}(a_2,b_2,c_2) yˉ(a2,b2,c2) 规定内积为 y ˉ ( a 2 , b 2 , c 2 ) \bar{y}(a_2,b_2,c_2) yˉ(a2,b2,c2)
规定内积为 x ˉ , y ˉ ( a 1 , b 1 , c 1 ) , ( a 2 , b 2 , c 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 \bar{x},\bar{y}(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)a_1a_2b_1b_2c_1c_2 xˉ,yˉ(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)a1a2b1b2c1c2
一个很简单的结论 ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) 1 × 0 0 × 1 0 × 0 0 (1,0,0),(0,1,0)1\times00\times10\times00 (1,0,0),(0,1,0)1×00×10×00,说明任意两个基确实是正交的。 ( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) 1 × 1 0 × 0 0 × 0 1 (1,0,0),(1,0,0)1\times10\times00\times01 (1,0,0),(1,0,0)1×10×00×01 说明向量与自己的内积是一个常数。那如何表示任意一个向量呢比如 v 5 , 2 , 7 v5,2,7 v5,2,7在线性代数里面我们是这么做的 A v , x ( 5 , 2 , 7 ) , ( 1 , 0 , 0 ) 5 A v,x(5,2,7),(1,0,0)5 Av,x(5,2,7),(1,0,0)5 1 B v , y ( 5 , 2 , 7 ) , ( 0 , 1 , 0 ) 2 B v,y(5,2,7),(0,1,0)2 Bv,y(5,2,7),(0,1,0)2 2 C v , z ( 5 , 2 , 7 ) , ( 0 , 0 , 1 7 C v,z(5,2,7),(0,0,17 Cv,z(5,2,7),(0,0,17 3
于是 v A x B y C z vAxByCz vAxByCz 相信得出以下结论是很容易的内积相当于一种“投影”操作任意向量与基之间的内积就是该向量在基所在方向的投影内积的结果就是系数。
假如基不再是一个向量而是一个函数会有什么结果 e i ω t e^{i\omega t} eiωt 在这种内积的定义下是一族正交基更深刻的数学知识可以证明在一定条件下它不仅是正交的还是完备的也就是说只要满足一定的条件任何函数都可以用 e i ω t e^{i\omega t } eiωt 叠加出来。 f ( t ) ∑ ω − ∞ ∞ A ω e i ω t 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)\sum_{\omega-\infty}^{\infty}{A_\omega e^{i\omega t}}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega f(t)ω−∞∑∞Aωeiωt2π1∫−∞∞F(ω)eiωtdω
这个式子的含义为在一定条件下任意函数 f ( t ) f(t) f(t) 都可以由完的正交基 e i ω t e^{i\omega t} eiωt 叠加而成每个正交基对应的系数为 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 。 1 / 2 π 1/{2\pi} 1/2π 的引入是为了计算方便傅里叶变换有多种形式也有不带 1 / 2 π 1/{2\pi} 1/2π 这里采用了最通用的形式。 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 。 1 / 2 π 1/{2\pi} 1/2π 的引入是为了计算方便傅里叶变换有多种形式也有不带 1 / 2 π 1/{2\pi} 1/2π 这里采用了最通用的形式。
系数 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 可以由内积计算而来 F ( ω ) f ( t ) , e i ω t ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega) f(t),e^{i\omega t}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt F(ω)f(t),eiωt∫−∞∞f(t)e−iωtdt
因此傅里叶变换的本质可以看成是正交分解 f ( t ) f(t) f(t) 和 e i ω t e^{i\omega t} eiωt 求内积的时候 f ( t ) f(t) f(t) 中只有频率为 ω \omega ω 的分量才会有内积的结果其余分量的内积为0积分值是时间从负无穷到正无穷可以看成是 f ( t ) f(t) f(t) 整个信号在 e i ω t e^{i\omega t} eiωt 上的投影只要给定一个频率 ω \omega ω 都会对应一个系数 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 来。
这个结论倒是与之前看到的保持一致傅里叶变换的本质是正交分解。 f ( t ) f(t) f(t) 中只有频率为 ω \omega ω 的分量才会有内积的结果其余分量的内积为0积分值是时间从负无穷到正无穷可以看成是 f ( t ) f(t) f(t) 整个信号在 e i ω t e^{i\omega t} eiωt 上的投影只要给定一个频率 ω \omega ω 都会对应一个系数 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 来。 ω \omega ω 都会对应一个系数 F ( ω ) F(\omega) F(ω) 来。
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