坂田杨美企业网站建设,中色十二冶金建设有限公司网站,建网站与建网页的区别,汉字叔叔花了多少钱做网站本节课程视频地址#xff1a;https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744/?p4
补充上一节课的一个内容#xff0c;旋转矩阵的逆矩阵是它的转置#xff0c;也就是说有R−θRθ−1RθTR_{-\theta} R_\theta^{-1}R_\theta^TR−θRθ−1RθT
上节课讲了#xff0c;…本节课程视频地址https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744/?p4
补充上一节课的一个内容旋转矩阵的逆矩阵是它的转置也就是说有R−θRθ−1RθTR_{-\theta} R_\theta^{-1}R_\theta^TR−θRθ−1RθT
上节课讲了二维变换中的绕原点的旋转、缩放、切变以及齐次坐标还有通过简单变换组合成复杂变换。
这节课先讲三维变换然后讲困难且重要的观测变换Viewing Transformation 文章目录三维变换3D Transformation缩放平移旋转Rodrigues 旋转公式观测变换 (Viewing transformation)视图变换 (View transformation)投影变换Perspective Projection正交投影透视投影三维变换3D Transformation
三维的齐次坐标
点(x,y,z,1)T(x,y,z,1)^T(x,y,z,1)T向量(x,y,z,0)T(x,y,z,0)^T(x,y,z,0)T
注(x,y,z,w)其中w!0 表示的是点(x/w,y/w,z/w)
齐次坐标使用4维矩阵来表示仿射变换 [x′y′z′1][abctxdeftyghitz0001]⋅[xyz1]\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} abct_x\\ deft_y\\ ghit_z \\ 0001 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix} x′y′z′1adg0beh0cfi0txtytz1⋅xyz1 注仿射变换中是先线性变换也就是绕原点所作的变换再平移变换。
缩放
[x′y′z′1][sx0000sy0000sz00001]⋅[xyz1]\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x000\\ 0s_y00\\ 00s_z0\\ 0001 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix} x′y′z′1sx0000sy0000sz00001⋅xyz1
平移
[x′y′z′1][100tx010ty001tz0001]⋅[xyz1]\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 100t_x\\ 010t_y\\ 001t_z\\ 0001 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix} x′y′z′1100001000010txtytz1⋅xyz1
旋转
三维的旋转分为绕x轴旋转、绕y轴旋转和绕z轴旋转。
Rx(α)[10000cosα−sinα00sinαcosα00001]R_x(\alpha) \begin{bmatrix} 1000\\ 0cos\alpha-sin\alpha0\\ 0sin\alphacos\alpha0\\ 0001 \end{bmatrix}\\ Rx(α)10000cosαsinα00−sinαcosα00001 Ry(α)[cosα0sinα00100−sinα0cosα00001]R_y(\alpha) \begin{bmatrix} cos\alpha0sin\alpha0\\ 0100\\ -sin\alpha0cos\alpha0\\ 0001 \end{bmatrix} Ry(α)cosα0−sinα00100sinα0cosα00001 Rz(α)[cosα−sinα00−sinαcosα0000100001]R_z(\alpha) \begin{bmatrix} cos\alpha-sin\alpha00\\ -sin\alphacos\alpha00\\ 0010\\ 0001 \end{bmatrix} Rz(α)cosα−sinα00−sinαcosα0000100001
注意旋转矩阵Ry(α)R_y(\alpha)Ry(α)的sinαsin\alphasinα的正负号是和另外两个相反的。其实没有反因为这是一个右手系的坐标轴绕x轴逆时针旋转的方向是在y0z平面中y轴旋转到z轴的方向绕z轴旋转的方向是在x0y平面中x轴旋转到y轴的方向而绕y轴旋转的方向在z0x平面中是从z轴旋转到x轴的方向。以x0y平面的旋转为例x′xcosα−ysinαx xcos\alpha - ysin\alphax′xcosα−ysinα即要得到x′xx′需要乘上y轴原始坐标的−sinα-sin\alpha−sinα。所以在z0x平面内要得到z轴所在坐标z′zcosα−xsinαz zcos\alpha - xsin\alphaz′zcosα−xsinα。清晰的记忆方法以绕x轴旋转为例绕x轴旋转在y0z平面内是从y轴到z轴的方向y′ycosα−zsinαy y\cos\alpha - z\sin\alphay′ycosα−zsinα即转离y轴的方向就减$z’ z\cos\alpha y\sin\alpha $ 即朝z轴转的方向就加。
Rodrigues 旋转公式
绕旋转轴 n⃗\vec{n}n 旋转角度 α\alphaα
形式一 R(n⃗,α)cos(α)I(1−cos(α))n⃗⋅n⃗Tsinα⋅[0−nznynz0−nx−nynx0]R(\vec{n},\alpha)cos(\alpha) I (1-cos(\alpha)) \vec{n}\cdot \vec{n}^T \sin\alpha\cdot \begin{bmatrix} 0 -n_z n_y \\ n_z 0 -n_x \\ -n_y n_x 0 \\ \end{bmatrix} R(n,α)cos(α)I(1−cos(α))n⋅nTsinα⋅0nz−ny−nz0nxny−nx0 形式二 R(n⃗,α)Isinα⋅[0−nznynz0−nx−nynx0](1−cos(α))⋅[0−nznynz0−nx−nynx0]2R(\vec{n},\alpha) I \sin\alpha\cdot \begin{bmatrix} 0 -n_z n_y \\ n_z 0 -n_x \\ -n_y n_x 0 \\ \end{bmatrix} (1-cos(\alpha))\cdot{\begin{bmatrix} 0 -n_z n_y \\ n_z 0 -n_x \\ -n_y n_x 0 \\ \end{bmatrix}}^2 R(n,α)Isinα⋅0nz−ny−nz0nxny−nx0(1−cos(α))⋅0nz−ny−nz0nxny−nx02
证明
https://www.cnblogs.com/wtyuan/p/12324495.html
观测变换 (Viewing transformation)
视图变换 (View transformation)
什么是视图变换
想象一下拍照
首先要找一个好的背景把人的位置和人与背景的相对位置安排好模型变换然后要找一个好的角度视图变换最后按快门投影变换。
定义相机
位置向量 Postion: e⃗\vec{e}e朝向 Look-at direction: g⃗\vec{g}g相机向上的方向 Up direction (垂直于朝向) : t⃗\vec{t}t 约定相机永远放在原点相机永远以y为向上方向相机永远朝-z方向看。 也就是进行视图变换时要将所有对象和相机一起做变换直到相机在原点朝向-z以y为正方向。
如何将相机从它原来的位置移到约定位置
平移 e⃗\vec{e}e到原点旋转 g⃗\vec{g}g 到 -z 方向旋转 t⃗\vec{t}t 到 y 方向旋转 g⃗×t⃗\vec{g} \times \vec{t}g×t 到 x 方向
如何求出将相机旋转到约定位置的旋转矩阵
先平移到原点: Tview[100−xe010−ye001−ze0001]T_{view} \begin{bmatrix} 1 0 0 -x_e \\ 0 1 0 -y_e \\ 0 0 1 -z_e \\ 0 0 0 1 \end{bmatrix} Tview100001000010−xe−ye−ze1
再考虑它的逆旋转找到三个特殊向量的旋转即 x^\hat{x}x^ 到 g^×t^\hat{g} \times \hat{t}g^×t^, y^\hat{y}y^ 到 t^\hat {t}t^z^\hat{z}z^ 到 −g^-\hat{g}−g^就能找到这个逆旋转的旋转矩阵
Rreview−1[xg^×t^xt^x−g^0yg^×t^yt^y−g^0zg^×t^zt^z−g^00001]R_{review}^{-1} \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} x_{\hat{t}} x_{-\hat{g}} 0\\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} y_{\hat{t}} y_{-\hat{g}} 0\\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} z_{\hat{t}} z_{-\hat{g}} 0\\ 0 0 0 1 \end{bmatrix} Rreview−1xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xt^yt^zt^0x−g^y−g^z−g^00001 旋转矩阵是正交矩阵上面这个矩阵显然符合旋转矩阵的逆矩阵就是它的转置 Rreview[xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xt^yt^zt^0x−g^y−g^z−g^00001]R_{review} \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} y_{\hat{g}\times\hat{t}} z_{\hat{g}\times\hat{t}} 0 \\ x_{\hat{t}} y_{\hat{t}} z_{\hat{t}} 0 \\ x_{-\hat{g}} y_{-\hat{g}} z_{-\hat{g}} 0 \\ 0 0 0 1 \end{bmatrix} Rreviewxg^×t^xt^x−g^0yg^×t^yt^y−g^0zg^×t^zt^z−g^00001
总结将所有对象和相机一起做变换直到相机在原点朝向-z以y为正方向。
这就是视图变换。
投影变换Perspective Projection
正交投影Orthographic projection
透视投影Perspective projection
区别正交投影没有近大远小而透视投影有。 正交投影
做法一
假设已经进行了视图变换即相机在原点朝向-z以y为向上方向
第一步把所有点的z坐标变为0
第二步将得到的二维平面坐标做平移和缩放让它们装在[−1,−1]2[-1,-1]^2[−1,−1]2 这个正方形里。至于为什么要进行这一步操作这是一个约定俗成的办法可以方便之后的操作
做法二(正规做法
实际的计算机图形学操作中还有一个比简单地把z扔掉更方便的做法
同样假设已经进行了视图变换即相机在原点朝向-z以y为向上方向
假设此时所有物体装在一个 [l,r]×[b,t]×[f,n][l, r]\times[b,t] \times [f, n][l,r]×[b,t]×[f,n] 的长方体内将这个长方体映射到 [−1,1]3[-1, 1]^3[−1,1]3 的正方体 先平移再缩放 Mortho[2r−l00002t−b00002n−f00001][100−rl2010−tb2001−nf20001]M_{ortho} \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} 0 0 0 \\ 0 \frac{2}{t-b} 0 0 \\ 0 0 \frac{2}{n-f} 0 \\ 0 0 0 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 0 0 -\frac{rl}{2}\\ 0 1 0 -\frac{tb}{2}\\ 0 0 1 -\frac{nf}{2}\\ 0 0 0 1 \end{bmatrix} Morthor−l20000t−b20000n−f200001100001000010−2rl−2tb−2nf1
透视投影
回顾齐次坐标的一个重要性质
(x,y,z,1)(x,y,z,1)(x,y,z,1)表示一个点
(kx,ky,kz,k!0)(kx,ky,kz,k!0)(kx,ky,kz,k!0)也表示该点
(xz,yz,z2,z!0)(xz,yz,z^2,z!0)(xz,yz,z2,z!0)也表示该点。
做法
将一个截头锥体“挤压”到一个长方体 如何“挤压”呢 提前告诉你这个“挤压”可以用一个矩阵表示一般叫投影变换矩阵那么这个矩阵怎么求呢
观察该“挤压”的特点 x坐标和 y坐标很明显有相似关系 y′nzy,x′nzxy \frac{n}{z}y,\ \ \ x \frac{n}{z}xy′zny, x′znx z坐标怎么变目前还不知道用齐次坐标表示 [xyz1]→[nx/zny/zunknown1][nxnyunknownz]\begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} nx/z\\ny/z\\unknown\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{bmatrix} xyz1→nx/zny/zunknown1nxnyunknownz 这样已经可以得到这个变换矩阵的一大部分了 Mpersp→ortho[n0000n00????00n0]M_{persp\rightarrow ortho} \begin{bmatrix} n 0 0 0\\ 0 n 0 0\\ ? ? ? ?\\ 0 0 n 0 \end{bmatrix} Mpersp→orthon0?00n?000?n00?0
那么该矩阵的第三行怎么求
利用两点 近平面上的点不会发生改变 [xyn1]→[xyn1][nxnyn2n]\begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n^2\\ n \end{bmatrix} xyn1→xyn1nxnyn2n 因为n2n^2n2与xxx无关所以第三行的第一个和第二个元素是0也就是说对于透视投影矩阵的第三行有 [00AB][xyn1]n2\begin{bmatrix} 00AB \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\n\\1 \end{bmatrix}n^2 [00AB]xyn1n2 远平面上与z轴相交的点不会改变 [00f1]→[00f1][00f2f]\begin{bmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{bmatrix} 00f1→00f100f2f 也就是 [00AB][00f2f]f2\begin{bmatrix} 0 0 A B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{bmatrix} f^2 [00AB]00f2ff2
可以建立方程组求解A和B了 AnBn2AfBf2AnBn^2\\ AfBf^2 AnBn2AfBf2 解得 Anf,B−nfA nf,\ \ \ B -nf Anf, B−nf
得到该矩阵为 Mpersp→ortho[n0000n0000nf−nf00n0]M_{persp\rightarrow ortho} \begin{bmatrix} n 0 0 0\\ 0 n 0 0\\ 0 0 nf -nf\\ 0 0 n 0 \end{bmatrix} Mpersp→orthon0000n0000nfn00−nf0
最后 MperspMorthoMpersp→orthoM_{persp} M_{ortho}M_{persp\rightarrow ortho} MperspMorthoMpersp→ortho
问题对于截头锥体中间的点它的z坐标怎么变
[n0000n0000nf−nf00n0][xyz1][nxnynzfz−nfz]\begin{bmatrix} n 0 0 0\\ 0 n 0 0\\ 0 0 nf -nf\\ 0 0 n 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} nx\\ny\\nzfz-nf\\z \end{bmatrix} n0000n0000nfn00−nf0xyz1nxnynzfz−nfz
记 f(z)nzfz−nfz−z1z[−z2(nf)z−nf]f(z) \frac{nzfz-nf}{z}-z \frac{1}{z}[-z^2(nf)z -nf] f(z)znzfz−nf−zz1[−z2(nf)z−nf] 对于中括号中的二次函数开口向下且两个零点为zf和zn所以中括号中的二次函数在fnz这个区间里大于0又z0所以f(z)小于0即z的坐标会变小(朝远平面方向变。
