苗木企业网站建设源代码,上海网站seo设计,域名注册要求,响应式网站用什么单位文章目录特征值和特征向量例例求解方阵的特征值和特征向量#x1f388;特征多项式特征方程方阵特征值和特征向量的性质证明推论衍生特征值更一般的转置和特征值其他结论(方阵多项式的特征值与方阵本身特征值的关系)特征向量线性相关性特征值和特征向量 许多定量分析模型中,常常…
文章目录特征值和特征向量例例求解方阵的特征值和特征向量特征多项式特征方程方阵特征值和特征向量的性质证明推论衍生特征值更一般的转置和特征值其他结论(方阵多项式的特征值与方阵本身特征值的关系)特征向量线性相关性特征值和特征向量 许多定量分析模型中,常常需要寻求数λ\lambdaλ和非零向量α\alphaα,使得AαλαA\alpha\lambda\alphaAαλα 一般特征值和特征向量是成对存在的,在概念上,是不可分割且相互依赖地同时定义出来 设A是n阶方阵 如果存在数λ\lambdaλ和n维非零列向量α(α≠0)\alpha(\alpha\neq{0})α(α0),满足 Aαλα或(λα−Aα0;(λE−A)α0)A\alpha\lambda\alpha \\或(\lambda\alpha-A\alpha0;(\lambda{E}-A)\alpha0) Aαλα或(λα−Aα0;(λE−A)α0) 称λ\lambdaλ是方阵A的一个特征值 α\alphaα为方阵A的对应于λ\lambdaλ的一个特征向量 特征值问题是对方阵而言的,如果说矩阵的特征值或特征向量,那么这个矩阵默认是方阵
例
(3122)(11)(44)4(11)\begin{pmatrix} 31 \\ 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} 4\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} (3212)(11)(44)4(11) 上述等式链告诉我们,矩阵 A(3122)作用在向量α(11)上的效果和常数4作用在α上的效果在乘法上是一样的A\begin{pmatrix} 31 \\ 22 \end{pmatrix} 作用在向量\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \\上的效果和常数4作用在\alpha上的效果在乘法上是一样的 A(3212)作用在向量α(11)上的效果和常数4作用在α上的效果在乘法上是一样的 也就是说,矩阵左乘特征向量的结果和特征向量左乘特征向量的结果一样
例 设A2AA^2AA2A,证明A的特征值为0或1 AαλαA2αA(Aα)Aλαλ(Aα)λ(λα)λ2α又A2A;A2αAαλαA\alpha\lambda{\alpha} \\A^2\alphaA(A\alpha)A\lambda\alpha\lambda{(A\alpha)}\lambda(\lambda\alpha)\lambda^2\alpha \\又A^2A;A^2\alphaA\alpha\lambda\alpha AαλαA2αA(Aα)Aλαλ(Aα)λ(λα)λ2α又A2A;A2αAαλα ∴λ2αλα(λ2−λ)α0,α≠0λ2−λλ(λ−1)0λ0或1\\\therefore \lambda^2\alpha\lambda\alpha \\(\lambda^2-\lambda)\alpha\bold{0},\alpha\neq\bold0 \\\lambda^2-\lambda\lambda(\lambda-1)0 \\\lambda0或1 ∴λ2αλα(λ2−λ)α0,α0λ2−λλ(λ−1)0λ0或1 方法2: 同时对Aαλα左乘A:A2αλ(Aα)Aαλ2αλαλ2α同时对A\alpha\lambda\alpha左乘A: \\A^2\alpha\lambda(A\alpha) \\A\alpha\lambda^{2}\alpha \\\lambda\alpha\lambda^2{\alpha} 同时对Aαλα左乘A:A2αλ(Aα)Aαλ2αλαλ2α 其余和方法1一致
求解方阵的特征值和特征向量 对于方程组S (λE−A)α0;α≠0(\lambda{E}-A)\alpha\bold0;\alpha\neq{\bold0} (λE−A)α0;α0 由于α≠0由于\alpha\neq{\bold0}由于α0,所以α\alphaα是齐次线性方程组(λE−A)x0(\lambda{E}-A)x\bold0(λE−A)x0的非零解而上述齐次线性方程组有非零解,仅当其系数行列式为0即矩阵A的特征值λ\lambdaλ是方程∣λE−A∣0|\lambda{E}-A|0∣λE−A∣0的根如果A是一个n阶方阵,则A在复数范围内恰有n个特征值(包括重根) 即使矩阵A的元素全为实数,其特征值也可能是复数
特征多项式特征方程 设n阶方阵A(aij)A(a_{ij})A(aij) f(λ)∣λE−A∣∣λ−a11−a12⋯−a1n−a21λ−a22⋯−a2n⋮⋮⋮−an1−an2⋯λ−ann∣f(\lambda)|\lambda{E}-A| \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} -a_{12} \cdots-a_{1n} \\ -a_{21} \lambda-a_{22} \cdots-a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ -a_{n1} -a_{n2} \cdots\lambda-a_{nn} \\ \end{vmatrix} f(λ)∣λE−A∣λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮λ−ann −A(−a11−a12⋯−a1n−a21−a22⋯−a2n⋮⋮⋮−an1−an2⋯−ann)λE(λ0⋯00λ⋯0⋮⋮⋮00⋯λ)-A\begin{pmatrix} -a_{11} -a_{12} \cdots-a_{1n} \\ -a_{21} -a_{22} \cdots-a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ -a_{n1} -a_{n2} \cdots-a_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ \lambda{E} \begin{pmatrix} \lambda 0 \cdots0 \\ 0 \lambda \cdots0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots\lambda \\ \end{pmatrix} −A−a11−a21⋮−an1−a12−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮−annλEλ0⋮00λ⋮0⋯⋯⋯00⋮λ f(λ)f(\lambda)f(λ)是A的特征多项式 f(λ)0f(\lambda)0f(λ)0(即∣λE−A∣0|\lambda{E}-A|\bold{0}∣λE−A∣0)是A的特征方程 求解特征方程f(λ)0f(\lambda)0f(λ)0的全部根,他们就是n阶方阵A的特征值,将他们记为λi,i1,2,⋯,n\lambda_i,i1,2,\cdots,nλi,i1,2,⋯,n 对于每个λi\lambda_iλi,求解对应的齐次线性方程组(λiE−A)x0(\lambda_i{E-A})x\bold0(λiE−A)x0 不妨将方阵BiλiE−AB_i\lambda_{i}E-ABiλiE−A,便于讨论求齐次线性方程Bix0B_ix0Bix0一组基础解系:Φα1,α2,⋯,αsi\Phi\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{s_i}Φα1,α2,⋯,αsi,sin−ris_in-r_isin−ri则方阵A关于λi\lambda_iλi的全部特征向量表示为∑j1sikjαj\sum\limits_{j1}^{s_i}k_j\alpha_jj1∑sikjαj
方阵特征值和特征向量的性质 代数学基本定理任何一个非零的一元n次复系数多项式都正好有n个复数根重根视为多个根 ∑i1nλi∑i1naii,\sum\limits_{i1}^{n}\lambda_i\sum\limits_{i1}^{n}a_{ii}, i1∑nλii1∑naii, 其中∑i1naii称为矩阵的迹其中\sum_{i1}^{n}a_{ii}称为矩阵的迹其中∑i1naii称为矩阵的迹 ∏i1nλi∣A∣\prod_{i1}^{n}\lambda_{i}|A| i1∏nλi∣A∣
证明 对于n次多项式f(λ)f(\lambda)f(λ),他有n个复根,可以因式分解写成如下形式 f(λ)(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn)f(\lambda)(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)f(λ)(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn) 对于 f(λ)∣λE−A∣∣λ−a11−a12⋯−a1n−a21λ−a22⋯−a2n⋮⋮⋮−an1−an2⋯λ−ann∣不妨把这个行列式记为B,Bf(λ)f(\lambda)|\lambda{E}-A| \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} -a_{12} \cdots-a_{1n} \\ -a_{21} \lambda-a_{22} \cdots-a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ -a_{n1} -a_{n2} \cdots\lambda-a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\不妨把这个行列式记为B,Bf(\lambda) f(λ)∣λE−A∣λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮λ−ann不妨把这个行列式记为B,Bf(λ) f(λ)f(\lambda)f(λ)行列式展开后有n!项(未合化简同类项前),把它们记为θk,k1,2,⋯,n!\theta_k,k1,2,\cdots,n!θk,k1,2,⋯,n! 是一个n次多项式 因为其中有1项是由主对角线元素相乘的积),把它记为 ξθp(λ−a11)(λ−a22)⋯(λ−ann)\xi\theta_p(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn})ξθp(λ−a11)(λ−a22)⋯(λ−ann) 其余项之多含有对角线元素的n-2个元素(因为每个项的因子都取自不同行不同列) 如果θk\theta_kθk中有一个元素eije_{ij}eij不在主对角线上(i≠ji\neq{j}ij)那么以为着θk\theta_{k}θk中不可能含有bii和bjjb_{ii}和b_{jj}bii和bjj 现在,我们只对ξ\xiξ这一项感兴趣 θpλn−(a11a22⋯ann)λn−1⋯\theta_p\lambda^{n}-(a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn})\lambda^{n-1}\cdotsθpλn−(a11a22⋯ann)λn−1⋯f(λ)θp∑i,i≠pn!θif(\lambda)\theta_p\sum\limits_{i,i\neq{p}}^{n!}\theta_if(λ)θpi,ip∑n!θi (注意,展开式中n,n−1n,n-1n,n−1次项的系数是只由θp\theta_pθp提供,其余θi,i≠p\theta_i,i\neq{p}θi,ip只能够提供不超过n−2n-2n−2次项;常数项可以通过取λ0\lambda0λ0得到,即f(0)∣0E−A∣∣−A∣(−1)n∣A∣f(0)|0E-A||-A|(-1)^n|A|f(0)∣0E−A∣∣−A∣(−1)n∣A∣f(λ)λn−(a11a22⋯ann)λn−1⋯∣−A∣λ0f(\lambda)\lambda^{n}-(a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn})\lambda^{n-1}\cdots|-A|\lambda^{0}f(λ)λn−(a11a22⋯ann)λn−1⋯∣−A∣λ0 为什么是这样的,可以参考:math多项式求和式乘法代数学基本定理_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客 另一方面,设λ1,⋯,λn\lambda_1,\cdots,\lambda_nλ1,⋯,λn是f(λ)f(\lambda)f(λ)的n个特征值(根) f(λ)∏i(λ−λi)λn−(∑i1nλi)λn−1⋯∏i1n(−λi)f(\lambda)\prod_{i}(\lambda-\lambda_i) \lambda^n-(\sum_{i1}^{n}\lambda_i)\lambda^{n-1}\cdots\prod_{i1}^{n}(-\lambda_i) f(λ)i∏(λ−λi)λn−(i1∑nλi)λn−1⋯i1∏n(−λi) 对比n−1n-1n−1次项的系数∑i1naii∑i1nλi\sum_{i1}^{n}a_{ii}\sum_{i1}^{n}\lambda_{i}∑i1naii∑i1nλi 对比000此项系数∣−A∣∏i1n(−λi)|-A|\prod_{i1}^{n}(-\lambda_i)∣−A∣∏i1n(−λi),即(−1)n∣A∣(−1)n∏in(λi)(-1)^n|A|(-1)^n\prod_{i}^{n}(\lambda_i)(−1)n∣A∣(−1)n∏in(λi),∣A∣∏inλi|A|\prod_{i}^{n}\lambda_i∣A∣∏inλi
推论
方阵A可逆的条件是A的特征值不全为0
衍生特征值
设α\alphaα是矩阵A属于特征值λ0\lambda_0λ0的特征向量(记为α,A→λ\alpha,{A}\to{\lambda}α,A→λ,或者更直接的Aαλ0αA\alpha\lambda_0\alphaAαλ0α)设α,γ,A,λ0\alpha,\gamma,A,\lambda_0α,γ,A,λ0满足Aαλ0α;Aγλ0γA\alpha\lambda_{0}\alpha;A\gamma\lambda_0\gammaAαλ0α;Aγλ0γ,则: βkα\betak\alphaβkα满足Aβλ0βA\beta\lambda_0\betaAβλ0β 因为A(kα)kAαkλ0αλ0(kα)A(k\alpha)kA\alphak\lambda_0{\alpha}\lambda_{0}(k\alpha)A(kα)kAαkλ0αλ0(kα) ϕαγ\phi\alpha\gammaϕαγ满足Aϕλ0ϕA\phi\lambda_0\phiAϕλ0ϕ A(αγ)AαAγλ0αλ0γλ0(αγ)A(\alpha\gamma)A\alphaA\gamma\lambda_0\alpha\lambda_0\gamma\lambda_0(\alpha\gamma)A(αγ)AαAγλ0αλ0γλ0(αγ) 综合上述结论,可以得出:若αi,i1,2,⋯,n\alpha_i,i1,2,\cdots,nαi,i1,2,⋯,n,λ,A,λ0\lambda,A,\lambda_0λ,A,λ0满足Aαiαiλ0A\alpha_i\alpha_i\lambda_0Aαiαiλ0,则αi\alpha_iαi的任意线性组合θ∑ikiαi\theta\sum_i{k_i\alpha_i}θ∑ikiαi满足Aθθλ0A\theta\theta\lambda_0Aθθλ0
更一般的 设α,A,λ\alpha,A,\lambdaα,A,λ满足AαλαA\alpha\lambda{\alpha}Aαλα,则: 对AαλαA\alpha\lambda{\alpha}Aαλα同乘以kkk, (kA)α(kλ)α(kA)\alpha(k\lambda)\alpha(kA)α(kλ)α,A(kα)λ(kα)A(k\alpha)\lambda({k\alpha})A(kα)λ(kα) 再次乘以kkk (kA)(kα)(kλ)(kα)(kA)(k\alpha)(k\lambda){(k\alpha)}(kA)(kα)(kλ)(kα) 对AαλαA\alpha\lambda\alphaAαλα两边同时左乘AAA AAαAλαλAαλλαAA\alphaA\lambda\alpha\lambda{A\alpha}\lambda{\lambda{\alpha}}AAαAλαλAαλλαA2αλ2αA^2\alpha\lambda^2\alphaA2αλ2αA3αAλ2α,λ2Aαλ3αA^3\alphaA\lambda^2\alpha,\lambda^2A\alpha\lambda^3\alphaA3αAλ2α,λ2Aαλ3α重复m-1次得到:AmαλmαA^m\alpha\lambda^m\alphaAmαλmα 当AAA可逆时 λ−1αA−1α\lambda^{-1}\alphaA^{-1}\alphaλ−1αA−1α 对AαλαA\alpha\lambda{\alpha}Aαλα同时左乘A−1A^{-1}A−1αλA−1α\alpha\lambda A^{-1}\alphaαλA−1α,两边同乘以λ−1\lambda^{-1}λ−1λ−1αA−1α\lambda^{-1}\alphaA^{-1}\alphaλ−1αA−1α (A∗)α∣A∣λα(A^*)\alpha\frac{|A|}{\lambda}\alpha(A∗)αλ∣A∣α A−11∣A∣A∗A^{-1}\frac{1}{|A|}A^*A−1∣A∣1A∗λ−1α(1∣A∣A∗)α\lambda^{-1}\alpha(\frac{1}{|A|}A^*)\alphaλ−1α(∣A∣1A∗)α∣A∣λα(A∗)α\frac{|A|}{\lambda}\alpha(A^*)\alphaλ∣A∣α(A∗)α(A∗)α∣A∣λα(A^*)\alpha\frac{|A|}{\lambda}\alpha(A∗)αλ∣A∣α 推论: 特征向量不是被特征值所唯一确定的特征值被特征向量唯一确定(一个特征向量只能属于一个特征值) 假设对于给定的α0\alpha_0α0,λ1,λ2,A\lambda_1,\lambda_2,Aλ1,λ2,A间满足:Aα0λiα0,i1,2A\alpha_0\lambda_i\alpha_0,i1,2Aα0λiα0,i1,2 因此λ1α0λ2α0Aα0\lambda_1\alpha_0\lambda_2\alpha_0A\alpha_0λ1α0λ2α0Aα0(λ1−λ2)α00(\lambda_1-\lambda_2)\alpha_00(λ1−λ2)α00 又因为α0≠0\alpha_0\neq{0}α00,所以λ1−λ20\lambda_1-\lambda_20λ1−λ20所以λ1λ2\lambda_1\lambda_2λ1λ2 所以给定α0\alpha_0α0,A的特征值是唯一确定的
转置和特征值 方阵A的转置ATA^TAT的特征值和A的特征值相同 A:f(λ)∣λE−A∣A:f(\lambda)|\lambda{E}-A|A:f(λ)∣λE−A∣ AT:f(λ)∣λE−AT∣∣(λE)T−AT∣∣(λE−A)T∣∣λE−A∣A^T:f(\lambda)|\lambda{E}-A^T||(\lambda{E})^T-A^T||(\lambda{E}-A)^T||\lambda{E}-A|AT:f(λ)∣λE−AT∣∣(λE)T−AT∣∣(λE−A)T∣∣λE−A∣ 可见,A,ATA,A^TA,AT具有相同的特征方程,因此特征值一定像相同 但是它们的特征向量不一定相同 因为前面我们讨论过,特征值不能够唯一确定特征向量
其他结论(方阵多项式的特征值与方阵本身特征值的关系) 设p(x)∑i0maixi∑i0mam−ixm−ip(x)\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}x^i\sum\limits_{i0}^{m}a_{m-i}x^{m-i}p(x)i0∑maixii0∑mam−ixm−i λ,A,α\lambda,A,\alphaλ,A,α满足AαλαA\alpha\lambda\alphaAαλα则p(A)αp(λ)αp(A)\alphap(\lambda)\alphap(A)αp(λ)α 证明: p(A)α∑i0maiAiα∑i0maiλiα而p(λ)∑i0maiλi从而p(λ)α∑i0maiλiα因此p(A)αp(λ)αp(A)\alpha\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}A^i\alpha \sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\lambda^i\alpha \\ 而p(\lambda)\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\lambda^i \\从而p(\lambda)\alpha\sum\limits_{i0}^{m}a_{i}\lambda^i\alpha \\ 因此p(A)\alphap(\lambda)\alpha p(A)αi0∑maiAiαi0∑maiλiα而p(λ)i0∑maiλi从而p(λ)αi0∑maiλiα因此p(A)αp(λ)α
特征向量线性相关性 设n阶方阵A的特征向量为λi,i1,2,⋯,n\lambda_i,i1,2,\cdots,nλi,i1,2,⋯,n,(λi≠λj\lambda_i\neq{\lambda_{j}}\,λiλjif i≠ji\neq{j}ij) 对应的特征向量为αi,i1,2,⋯,n\alpha_i,i1,2,\cdots,nαi,i1,2,⋯,n即:Aαiλiαi,i1,2,⋯,nA\alpha_i\lambda_i\alpha_i,i1,2,\cdots,nAαiλiαi,i1,2,⋯,n那么ϕα1,⋯,αn\phi\alpha_1,\cdots,\alpha_nϕα1,⋯,αn线性无关 通过数学归纳法证明 更一般的,设ψiαi1,αi2,⋯,αisi\Large\psi_i\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{is_i}ψiαi1,αi2,⋯,αisi,αi∈{ψi}\alpha_i\in\{\psi_i\}αi∈{ψi} ψi\psi_iψi是同一个特征值λi\lambda_iλi的所有特征向量 Ψψ1,ψ2,⋯,ψn\Psi\psi_1,\psi_2,\cdots,\psi_nΨψ1,ψ2,⋯,ψn依然线性无关对于ψi\psi_iψi: 若λi\lambda_iλi是一个k重特征值那么对应于λi\lambda_iλi线性无关特征向量的个数u⩽ku\leqslant{k}u⩽k
