网站建设步骤电脑,专业网站建设电话,一个网站可以做多少关键字,做网站一般不选用的图片格式计算图结构 分析#xff1a;
起始节点 ab 5 - 3ac 2b 3d 5b 6e 7c d^2f 2e最终输出 g 3f - o#xff08;其中 o 是另一个输入#xff09;
前向传播
前向传播按照上述顺序计算每个节点的值。
反向传播过程
反向传播的目标是计算损失函数#xff08;这里假设为…计算图结构 分析
起始节点 ab 5 - 3ac 2b 3d 5b 6e 7c d^2f 2e最终输出 g 3f - o其中 o 是另一个输入
前向传播
前向传播按照上述顺序计算每个节点的值。
反向传播过程
反向传播的目标是计算损失函数这里假设为 g对每个中间变量和输入的偏导数。从右向左进行计算
∂g/∂o -1∂g/∂f 3∂f/∂e 2∂e/∂c 7∂e/∂d 2d∂d/∂b 5∂c/∂b 2∂b/∂a -3
链式法则应用
使用链式法则计算出 g 对每个变量的全导数
dg/df ∂g/∂f 3dg/de (∂g/∂f) * (∂f/∂e) 3 * 2 6dg/dc (dg/de) * (∂e/∂c) 6 * 7 42dg/dd (dg/de) * (∂e/∂d) 6 * 2ddg/db (dg/dc) * (∂c/∂b) (dg/dd) * (∂d/∂b) 42 * 2 6 * 2d * 5 84 60ddg/da (dg/db) * (∂b/∂a) (84 60d) * (-3) -252 - 180d
最终梯度
最终得到 g 对输入 a 和 o 的梯度
dg/da -252 - 180ddg/do -1
代码实现
静态图
import mathclass Node:表示计算图中的一个节点。每个节点都可以存储一个值、梯度并且知道如何计算前向传播和反向传播。def __init__(self, valueNone):self.value value # 节点的值self.gradient 0 # 节点的梯度self.parents [] # 父节点列表self.forward_fn lambda: None # 前向传播函数self.backward_fn lambda: None # 反向传播函数def __add__(self, other):加法操作return self._create_binary_operation(other, lambda x, y: x y, lambda: (1, 1))def __mul__(self, other):乘法操作return self._create_binary_operation(other, lambda x, y: x * y, lambda: (other.value, self.value))def __sub__(self, other):减法操作return self._create_binary_operation(other, lambda x, y: x - y, lambda: (1, -1))def __pow__(self, power):幂运算result Node()result.parents [self]def forward():result.value math.pow(self.value, power)def backward():self.gradient power * math.pow(self.value, power-1) * result.gradientresult.forward_fn forwardresult.backward_fn backwardreturn resultdef _create_binary_operation(self, other, forward_op, gradient_op):创建二元操作的辅助方法。用于简化加法、乘法和减法的实现。result Node()result.parents [self, other]def forward():result.value forward_op(self.value, other.value)def backward():grads gradient_op()self.gradient grads[0] * result.gradientother.gradient grads[1] * result.gradientresult.forward_fn forwardresult.backward_fn backwardreturn resultdef topological_sort(node):对计算图进行拓扑排序。确保在前向和反向传播中按正确的顺序处理节点。visited set()topo_order []def dfs(n):if n not in visited:visited.add(n)for parent in n.parents:dfs(parent)topo_order.append(n)dfs(node)return topo_order# 构建计算图
a Node(2) # 假设a的初始值为2
o Node(1) # 假设o的初始值为1# 按照给定的数学表达式构建计算图
b Node(5) - a * Node(3)
c b * Node(2) Node(3)
d b * Node(5) Node(6)
e c * Node(7) d ** 2
f e * Node(2)
g f * Node(3) - o# 前向传播
sorted_nodes topological_sort(g)
for node in sorted_nodes:node.forward_fn()# 反向传播
g.gradient 1 # 设置输出节点的梯度为1
for node in reversed(sorted_nodes):node.backward_fn()# 打印结果
print(fg {g.value})
print(fdg/da {a.gradient})
print(fdg/do {o.gradient})# 验证手动计算的结果
d_value 5 * b.value 6
expected_dg_da -252 - 180 * d_value
print(fExpected dg/da {expected_dg_da})
print(fDifference: {abs(a.gradient - expected_dg_da)})
动态图
import mathclass Node:表示计算图中的一个节点。实现了动态计算图的核心功能包括前向计算和反向传播。def __init__(self, value, children(), op):self.value value # 节点的值self.grad 0 # 节点的梯度self._backward lambda: None # 反向传播函数默认为空操作self._prev set(children) # 前驱节点集合self._op op # 操作符用于调试def __add__(self, other):加法操作other other if isinstance(other, Node) else Node(other)result Node(self.value other.value, (self, other), )def _backward():self.grad result.gradother.grad result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef __mul__(self, other):乘法操作other other if isinstance(other, Node) else Node(other)result Node(self.value * other.value, (self, other), *)def _backward():self.grad other.value * result.gradother.grad self.value * result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef __pow__(self, other):幂运算assert isinstance(other, (int, float)), only supporting int/float powers for nowresult Node(self.value ** other, (self,), f**{other})def _backward():self.grad (other * self.value**(other-1)) * result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef __neg__(self):取反操作return self * -1def __sub__(self, other):减法操作return self (-other)def __truediv__(self, other):除法操作return self * other**-1def __radd__(self, other):反向加法return self otherdef __rmul__(self, other):反向乘法return self * otherdef __rtruediv__(self, other):反向除法return other * self**-1def tanh(self):双曲正切函数x self.valuet (math.exp(2*x) - 1)/(math.exp(2*x) 1)result Node(t, (self,), tanh)def _backward():self.grad (1 - t**2) * result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef backward(self):执行反向传播计算梯度。使用拓扑排序确保正确的反向传播顺序。topo []visited set()def build_topo(v):if v not in visited:visited.add(v)for child in v._prev:build_topo(child)topo.append(v)build_topo(self)self.grad 1 # 设置输出节点的梯度为1for node in reversed(topo):node._backward() # 对每个节点执行反向传播def main():主函数用于测试自动微分系统。构建一个计算图执行反向传播并验证结果。# 构建计算图a Node(2)o Node(1)b Node(5) - a * 3c b * 2 3d b * 5 6e c * 7 d ** 2f e * 2g f * 3 - o# 反向传播g.backward()# 打印结果print(fg {g.value})print(fdg/da {a.grad})print(fdg/do {o.grad})# 验证手动计算的结果d_value 5 * b.value 6expected_dg_da -252 - 180 * d_valueprint(fExpected dg/da {expected_dg_da})print(fDifference: {abs(a.grad - expected_dg_da)})if __name__ __main__:main()
解释:
Node 类代表计算图中的一个节点,包含值、梯度、父节点以及前向和反向传播函数。重载的数学运算符 (__add__, __mul__, __sub__, __pow__) 允许直观地构建计算图。_create_binary_operation 方法用于创建二元操作,简化了加法、乘法和减法的实现。topological_sort 函数对计算图进行拓扑排序,确保正确的计算顺序。
import mathclass Node:表示计算图中的一个节点。实现了动态计算图的核心功能包括前向计算和反向传播。def __init__(self, value, children(), op):self.value value # 节点的值self.grad 0 # 节点的梯度self._backward lambda: None # 反向传播函数默认为空操作self._prev set(children) # 前驱节点集合self._op op # 操作符用于调试def __add__(self, other):加法操作other other if isinstance(other, Node) else Node(other)result Node(self.value other.value, (self, other), )def _backward():self.grad result.gradother.grad result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef __mul__(self, other):乘法操作other other if isinstance(other, Node) else Node(other)result Node(self.value * other.value, (self, other), *)def _backward():self.grad other.value * result.gradother.grad self.value * result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef __pow__(self, other):幂运算assert isinstance(other, (int, float)), only supporting int/float powers for nowresult Node(self.value ** other, (self,), f**{other})def _backward():self.grad (other * self.value**(other-1)) * result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef __neg__(self):取反操作return self * -1def __sub__(self, other):减法操作return self (-other)def __truediv__(self, other):除法操作return self * other**-1def __radd__(self, other):反向加法return self otherdef __rmul__(self, other):反向乘法return self * otherdef __rtruediv__(self, other):反向除法return other * self**-1def tanh(self):双曲正切函数x self.valuet (math.exp(2*x) - 1)/(math.exp(2*x) 1)result Node(t, (self,), tanh)def _backward():self.grad (1 - t**2) * result.gradresult._backward _backwardreturn resultdef backward(self):执行反向传播计算梯度。使用拓扑排序确保正确的反向传播顺序。topo []visited set()def build_topo(v):if v not in visited:visited.add(v)for child in v._prev:build_topo(child)topo.append(v)build_topo(self)self.grad 1 # 设置输出节点的梯度为1for node in reversed(topo):node._backward() # 对每个节点执行反向传播def main():主函数用于测试自动微分系统。构建一个计算图执行反向传播并验证结果。# 构建计算图a Node(2)o Node(1)b Node(5) - a * 3c b * 2 3d b * 5 6e c * 7 d ** 2f e * 2g f * 3 - o# 反向传播g.backward()# 打印结果print(fg {g.value})print(fdg/da {a.grad})print(fdg/do {o.grad})# 验证手动计算的结果d_value 5 * b.value 6expected_dg_da -252 - 180 * d_valueprint(fExpected dg/da {expected_dg_da})print(fDifference: {abs(a.grad - expected_dg_da)})if __name__ __main__:main()
解释 Node 类是核心它代表计算图中的一个节点并实现了各种数学运算。 每个数学运算如 __add__, __mul__ 等都创建一个新的 Node并定义了相应的反向传播函数。 backward 方法实现了反向传播算法使用拓扑排序确保正确的计算顺序。
