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1 引言
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1 引言
谢老师的《经济博弈论》书中对反应函数并没有给出一般笼统的定义而是将其应用与古诺模型并给出了相关解释反应函数是指在无限策略的古诺博弈模型中博弈方的策略有无限多种因此各个博弈方的最佳对策也有无限种它们之间往往构成一种连续函数的关系把这个连续函数称为反应函数。 有趣的是百度百科对于反应函数的定义与谢老师书上的一致但是在该词条正文中还有一句话是在经济学中反应函数在博弈论古诺模型中有相应的应用在假设竞争对手产生了给定产出水平的情况下反应函数可以得出你的最佳产出水平。 这句话其实比较通俗易懂得解释了反应函数的定义就是说反应函数就是当一个企业做经营决策(如产量决策、价格决策等)时对于给定的其他竞争企业的经营决策所做出的反应,表明这一反应关系的函数。大白话就是你做了决策后我根据你的决策做出我的决策那描述“根据你的决定做出我的决定”的关系的函数称为反应函数。
2 反应函数
根据你的先手决定对我最有利的后手是反应函数最关键的地方。我们以前一篇文章的连续产量古诺模型为例 在上述两寡头古诺模型中,对厂商2的任意产量q2 ,厂商1的最佳对策产量q1是下面最大化问题的解 m a x q 1 π 1 m a x q 1 ( − q 1 2 − c q 1 − q 1 q 2 8 q 1 ) \underset{q_1}{max}π_1\underset{q_1}{max}(-q_1^2-cq_1-q_1 q_28q_1) q1maxπ1q1max(−q12−cq1−q1q28q1) 也就是给定 q 2 q_2 q2求能让厂商1得到最优利润的 q 1 q_1 q1。
令 π 1 π_1 π1对 q 1 q_1 q1求一阶导并等于0得到 − 2 q 1 − c − q 2 8 0 -2q_1-c-q_280 −2q1−c−q280 即 q 1 8 − c − q 2 2 q_1\frac{8-c-q_2}{2} q128−c−q2 令 q 1 8 − c − q 2 2 R 1 ( q 2 ) q_1\frac{8-c-q_2}{2}R_1 (q_2) q128−c−q2R1(q2) 得到的这个函数 R ( q 2 ) R(q_2) R(q2)是对于厂商2的每一个可能产量厂商1最佳产量的计算公式。这个函数称为厂商1对厂商⒉产量的“反应函数”(reaction function)。 同理,可求出厂商2对厂商1产量 q 1 q1 q1的反应函数为 q 2 8 − c − q 1 2 R 2 ( q 1 ) q_2\frac{8-c-q_1}{2}R_2 (q_1) q228−c−q1R2(q1) 显而易见 R 1 ( q 2 ) R_1 (q_2) R1(q2)、 R 2 ( q 1 ) R_2 (q_1) R2(q1)这两个反应函数都是线性函数(linear function),我们在坐标平面上用两条直线表示出来更好得进行研究。
3 图像
首先我们分别确定两个线性函数在坐标系上的两点以数对 ( q 1 , q 2 ) (q_1,q_2) (q1,q2)表示。对于 q 1 R 1 ( q 2 ) q_1R_1 (q_2) q1R1(q2)其经过 ( 8 − c 2 , 0 ) (\frac{8-c}{2},0) (28−c,0)、 ( 0 , 8 − c ) (0,8-c) (0,8−c)两点对于 q 2 R 2 ( q 1 ) q_2R_2 (q_1) q2R2(q1)其经过 ( 8 − c , 0 ) (8-c,0) (8−c,0)、 ( 0 , 8 − c 2 ) (0,\frac{8-c}{2}) (0,28−c)两点如下图所示
根据图像可以看出:
当一方产量选择为0时,另一方的最佳反应为 8 − c 2 \frac{8-c}{2} 28−c,这正是上篇文章中提到的实现市场总利益最大的产量,这时候等于一个厂商垄断市场;当一方产量达到 8 − c 8-c 8−c时,另一方被迫生产0,因为后者坚持生产无利可图.
在两个反应函数对应的两条直线上,只有交点 ( 8 − c 3 , 8 − c 3 ) (\frac{8-c}{3},\frac{8-c}{3}) (38−c,38−c)代表的产量组合,才是由相互对对方的最佳反应构成的。 需要注意的是 q 1 R 1 ( q 2 ) q_1R_1 (q_2) q1R1(q2)上其他所有点 ( q 1 , q 2 ) (q_1,q_2) (q1,q2)代表了只有 q 1 q_1 q1是对 q 2 q_2 q2的最佳反应, q 2 q_2 q2不是对 q 1 q_1 q1的最佳反应而 q 2 R 2 ( q 1 ) q_2R_2 (q_1) q2R2(q1)上其他点代表了只有 q 2 q_2 q2是对 q 1 q_1 q1的最佳反应, q 1 q_1 q1不是对 q 2 q_2 q2的最佳反应。因此根据纳什均衡的定义,当 ( q 1 , q 2 ) ( 8 − c 3 , 8 − c 3 ) (q_1,q_2)(\frac{8-c}{3},\frac{8-c}{3}) (q1,q2)(38−c,38−c)即 q 1 q_1 q1、 q 2 q_2 q2相互是对于对方的最佳反应是该博弈唯一的纳什均衡。这与上篇文章通过数理推导得到的结论一致。
4 结语
得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为“反应函数法”。
