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模糊综合评价 文章目录 模糊综合评价模糊数学经典集合和模糊集合的基本概念经典集合和特征函数模糊集合和隶属函数模糊集合的分类 隶属函数的确定方法方法一 模糊…声明以下笔记中的图片均来自“数学建模学习交流”清风老师的课程ppt仅用作学习交流使用
模糊综合评价 文章目录 模糊综合评价模糊数学经典集合和模糊集合的基本概念经典集合和特征函数模糊集合和隶属函数模糊集合的分类 隶属函数的确定方法方法一 模糊统计法方法二 借助已有的客观尺度方法三 指派法最常用 应用 模糊综合评价评价问题概述一级模糊综合评价第一步 确定三个集合第二步 确定模糊综合判断矩阵第三步 综合评判例某单位对员工的年终综合评定例某露天煤矿的设计方案的选择 多级模糊综合评价二级模糊综合评价例评价学生表现并作为奖学金评判标准 三级模糊综合评价 模糊数学 1965年美国控制论专家L.A.Zadeh发表的论文“Fuzzy sets”标志模糊数学诞生。模糊数学又称Fuzzy 数学是研究和处理模糊性现象的⼀种数学理论和方法。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。 经典集合和模糊集合的基本概念
经典集合和特征函数
集合既有相同属性的事物的集体 互斥性 确定性 非此即彼 特征函数 f A : ℧ → { 0 , 1 } f_A: \mho \to \{0,1\} fA:℧→{0,1} ℧ \mho ℧: 论域 我们感兴趣的一些对象的集合 f A f_A fA表示A集合的特征函数 举例 ℧ \mho ℧为全班成绩的集合 A A A为成绩及格的集合 f A { 1 , x ∈ A ( x ≥ 60 ) 0 , x ∉ A ( x 60 ) ∀ x ∈ ℧ \begin{equation} \begin{aligned} f_A \left\{ \begin{array}{rl} 1, x\in A (x\geq 60)\\ 0, x\notin A (x60) \\ \end{array} \right. \forall x \in \mho \end{aligned} \end{equation} fA{1,0,x∈Ax∈/A(x≥60)(x60)∀x∈℧
模糊集合和隶属函数
模糊集合用来描述模糊性概念的集合 承认亦此亦彼 隶属函数 u A : ℧ → [ 0 , 1 ] u_A: \mho \to [0,1] uA:℧→[0,1] 举例 ℧ \mho ℧为一群人年龄的集合 A A A”年轻“ u A { 1 , 0 x 20 40 − x 20 , 20 ≤ x ≤ 40 0 , x 40 ∀ x ∈ ℧ \begin{equation} \begin{aligned} u_A \left\{ \begin{array}{rl} 1, 0x20\\ \frac{40-x}{20}, 20 \leq x \leq 40 \\ 0, x40 \\ \end{array} \right. \forall x \in \mho \end{aligned} \end{equation} uA⎩ ⎨ ⎧1,2040−x,0,0x2020≤x≤40x40∀x∈℧
对于 ℧ \mho ℧中的每一个元素均对应A中的一个隶属度介于 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]越大表示越属于这种集合。
模糊集合的分类
偏小型年轻 冷中间型中年 暖偏大型老年 热
隶属函数的确定方法
方法一 模糊统计法
需要设计发放问卷在实际研究中用的比较多但是数模比赛中用的少原理找多个人对同一个模糊概念进行描述用隶属频率定义隶属度。
例定义“年轻人”的隶属函数
定义人的年龄的论域 ℧ \mho ℧调查n个人让这n个人仔细考虑好“年轻”的含义后给出他们认为最合适的年龄区间对于任意一个确定的年龄例如25若这n个人中有m个人的年龄区间包含25则称 m n \frac{m}{n} nm为25岁对于“年轻”的隶属频率依次类推我们可以找出所有年龄对于“年轻”的隶属频率若n很大时隶属频率会趋于稳定此时我们可以将其视为隶属度进而得到隶属函数
方法二 借助已有的客观尺度
需要有合适的指标并能收集到数据
例如
论域模糊集隶属度设备设备完好设备完好率产品质量稳定正品率家庭小康家庭恩格尔系数
这里找的指标如果范围超过隶属函数的值域则需要归一化
方法三 指派法最常用
根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属函数主观性较强
其中最最常用的是梯形分布 例试用柯西分布确定“年轻”的隶属函数 “年轻”是偏小型对应的柯西分布为 A ( x ) { 1 , x ≤ a 1 1 α ( x − a ) β , x a \begin{equation} \begin{aligned} A(x) \left\{ \begin{array}{rl} 1, x \leq a\\ \frac{1}{1\alpha (x-a) \beta }, x a \\ \end{array} \right. \end{aligned} \end{equation} A(x){1,1α(x−a)β1,x≤axa 这里有三个未知参数 a , α , β a, \alpha, \beta a,α,β 根据生活经验或别人的研究成果我们令 a 20 , A ( 30 ) 0.5 a20, A(30)0.5 a20,A(30)0.5 β \beta β在指数部分我们一般倾向于简化模型则 β \beta β可取1或2此处我们令 β 2 \beta 2 β2可以解得 α 0.01 \alpha 0.01 α0.01
应用 模糊综合评价
评价问题概述
模糊评价问题解决以下两种问题
将论域中的一个对象指定评语集中的一个评语将方案作为评语集并选一个最终方案
模糊综合评价中引入了三个集合
因素集评价指标集 U { u 1 , u 2 , . . . , , u n } U\{u_1,u_2,...,,u_n\} U{u1,u2,...,,un} eg专业排名、课外实践、志愿服务、竞赛成绩评语集评价的结果 V { v 1 , v 2 , . . . , v m } V\{v_1,v_2,...,v_m\} V{v1,v2,...,vm} eg优、良、差权重集指标的权重 A { a 1 , a 2 , . . . , a n } A\{a_1,a_2,...,a_n\} A{a1,a2,...,an} eg0.1, 0.5, 0.2, 0.3
权重与因素一一对应有n个元素m为评语集的元素个数nm的大小没有必然联系
一级模糊综合评价
适用于指标较少的考核且指标间的独立性较强
第一步 确定三个集合
确定权重的方法无数据层次分析法有数据熵权法
第二步 确定模糊综合判断矩阵
对指标 u i u_i ui来说对各个评语的隶属度为 V V V上的模糊子集。 对指标 u i u_i ui的评判记为 R i [ r i 1 , r i 2 , . . . , r i m ] R_i[r_{i1},r_{i2},...,r_{im}] Ri[ri1,ri2,...,rim] 则各个指标的模糊综合判断矩阵为 R [ r 11 r 12 ⋯ r 1 m r 21 r 22 ⋯ r 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r n 1 r n 2 ⋯ r n m ] R \begin{bmatrix} r_{11} r_{12} \cdots r_{1m} \\ r_{21} r_{22} \cdots r_{2m} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ r_{n1} r_{n2} \cdots r_{nm} \end{bmatrix} R r11r21⋮rn1r12r22⋮rn2⋯⋯⋱⋯r1mr2m⋮rnm 这是一个从 U U U到 V V V的模糊关系矩阵
第三步 综合评判
模糊变换 T R : F ( U ) → F ( V ) T_R:F(U) \to F(V) TR:F(U)→F(V) 由此变换可得到综合评判结果 B 1 × m A 1 × n ⋅ R n × m B_{1 \times m} A_{1 \times n} \cdot R_{n \times m} B1×mA1×n⋅Rn×m 最终取数值最大的评语作为综合评判结果。
例某单位对员工的年终综合评定 例某露天煤矿的设计方案的选择 多级模糊综合评价
因素中指标较多可以对其进行归类之后简化计算。一般有二级、三级模糊评价四级及以上太复杂了基本不会出现。
二级模糊综合评价
实际上就是拆分成两个一级模糊综评的步骤进行
划分因素集 确定三集 第一级因素集 U { U 1 , U 2 , . . . , U k } U \{U_1,U_2,...,U_k\} U{U1,U2,...,Uk} 第二级因素集 U i { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , . . . , u n i ( i ) } U_i\{u^{(i)}_1,u^{(i)}_2,...,u^{(i)}_{n_i}\} Ui{u1(i),u2(i),...,uni(i)}对第二级因素集进行评判 得到第二级综合评判矩阵 R i [ r 11 ( i ) r 12 ( i ) ⋯ r 1 m ( i ) r 21 ( i ) r 22 ( i ) ⋯ r 2 m ( i ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r n i 1 ( i ) r n i 2 ( i ) ⋯ r n i m ( i ) ] R_i \begin{bmatrix} r_{11}^{(i)} r_{12}^{(i)} \cdots r_{1m}^{(i)} \\ r_{21}^{(i)} r_{22}^{(i)} \cdots r_{2m}^{(i)} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ r_{n_i1}^{(i)} r_{n_i2}^{(i)} \cdots r_{n_im}^{(i)} \end{bmatrix} Ri r11(i)r21(i)⋮rni1(i)r12(i)r22(i)⋮rni2(i)⋯⋯⋱⋯r1m(i)r2m(i)⋮rnim(i) 若对于第二级因素集 U i { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , . . . , u n i ( i ) } U_i\{u^{(i)}_1,u^{(i)}_2,...,u^{(i)}_{n_i}\} Ui{u1(i),u2(i),...,uni(i)} 的权重为 A i { A 1 ( i ) , A 2 ( i ) , . . . , A n i ( i ) } A_i\{A^{(i)}_1,A^{(i)}_2,...,A^{(i)}_{n_i}\} Ai{A1(i),A2(i),...,Ani(i)}, 则综合评判为 B i A i × R i ( i 1 , 2 , . . . , k ) B_iA_i \times R_i \ \ \ \ \ \ \ \ (i1,2,...,k) BiAi×Ri (i1,2,...,k)对第一级因素集进行评判 由上一步得到的 B i B_i Bi可得第一级综合评判矩阵 R [ B 1 B 2 ⋮ B k ] R \begin{bmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{k} \end{bmatrix} R B1B2⋮Bk 若对于第二级因素集 U { U 1 , U 2 , . . . , U k } U \{U_1,U_2,...,U_k\} U{U1,U2,...,Uk} 的权重为 A { A 1 , A 2 , . . . , A k } A \{A_1,A_2,...,A_k\} A{A1,A2,...,Ak} 则综合评判为 B A × R B A \times R BA×R按最大隶属度原则确定相应评语或等级
例评价学生表现并作为奖学金评判标准 因素集 U { 学习成绩 U 1 { 专业课成绩 u 1 ( 1 ) 非专业课成绩 u 2 ( 1 ) 竞赛成绩 U 2 { 国家级竞赛成绩 u 1 ( 2 ) 省级竞赛成绩 u 2 ( 2 ) 校级竞赛成绩 u 3 ( 2 ) 个人荣誉 U 3 { 国家级荣誉奖项 u 1 ( 3 ) 省级荣誉奖项 u 2 ( 3 ) 校级荣誉奖项 u 3 ( 3 ) 志愿服务 U 4 { 志愿服务时长 u 1 ( 4 ) 因素集U\left\{ \begin{array}{ll} 学习成绩U_1\left\{ \begin{array}{ll} 专业课成绩u^{(1)}_1 \\ 非专业课成绩u^{(1)}_2 \end{array} \right.\\\\ 竞赛成绩U_2\left\{ \begin{array}{ll} 国家级竞赛成绩 u^{(2)}_1\\ 省级竞赛成绩 u^{(2)}_2\\ 校级竞赛成绩 u^{(2)}_3 \end{array} \right.\\\\ 个人荣誉U_3\left\{ \begin{array}{ll} 国家级荣誉奖项u^{(3)}_1\\ 省级荣誉奖项u^{(3)}_2 \\ 校级荣誉奖项u^{(3)}_3 \end{array} \right.\\ \\ 志愿服务U_4\left\{ \begin{array}{ll} 志愿服务时长u^{(4)}_1 \end{array} \right.\\ \end{array} \right. 因素集U⎩ ⎨ ⎧学习成绩U1{专业课成绩u1(1)非专业课成绩u2(1)竞赛成绩U2⎩ ⎨ ⎧国家级竞赛成绩u1(2)省级竞赛成绩u2(2)校级竞赛成绩u3(2)个人荣誉U3⎩ ⎨ ⎧国家级荣誉奖项u1(3)省级荣誉奖项u2(3)校级荣誉奖项u3(3)志愿服务U4{志愿服务时长u1(4)
评语集 V { 一等奖学金 V 1 二等奖学金 V 2 无奖学金 V 3 } V\{一等奖学金V_1二等奖学金V_2无奖学金V_3\} V{一等奖学金V1二等奖学金V2无奖学金V3}
假设我们通过投票模糊统计法得到 R 1 [ 0.8 0.2 0 0.7 0.3 0 ] R_1 \begin{bmatrix} 0.8 0.2 0 \\ 0.7 0.3 0 \\ \end{bmatrix} R1[0.80.70.20.300]
又由已知 A 1 [ 0.6 0.4 ] A_1 \begin{bmatrix} 0.6 0.4 \end{bmatrix} A1[0.60.4]
可得 B 1 A 1 × R 1 [ 0.6 0.4 ] B_1A_1 \times R_1 \begin{bmatrix} 0.6 0.4 \end{bmatrix} B1A1×R1[0.60.4] 以此类推可得所有 B i B_i Bi
最终我们可以构造 R [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] [ 0.76 0.24 0 0.15 0.27 0.58 0.4 0.2 0.4 0.1 0.8 0.1 ] R \begin{bmatrix} B_1\\B_2\\B_3\\B_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.76 0.24 0\\ 0.15 0.27 0.58 \\ 0.4 0.2 0.4\\ 0.1 0.8 0.1 \end{bmatrix} R B1B2B3B4 0.760.150.40.10.240.270.20.800.580.40.1 又由于 A [ 0.4 0.3 0.2 0.1 ] A \begin{bmatrix} 0.4 0.3 0.2 0.1 \end{bmatrix} A[0.40.30.20.1] 则 R A × R [ 0.439 0.297 0.264 ] R A \times R \begin{bmatrix} 0.439 0.297 0.264 \end{bmatrix} RA×R[0.4390.2970.264] 由于0.439最大则该同学获得一等奖学金的隶属度最大所以该同学应评为一等奖学金。 若一等奖学金名额有限应该如何分配选择一等奖学金隶属度最大的三位同学。
三级模糊综合评价
一道例题
