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1、树的基本概念

1.1树的定义

树是n个结点的有限集。

若n=0,称为空树;若n>0称为非空树,非空树有且仅有一个称之为根的结点。

除根结点以外的其余结点可分成m个互不相交的有限集T1,T2,......Tm,每个有限集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

我们可以根据下面这张图来理解。

根结点:非空树中无前驱结点的结点。图中A就是根结点

结点的度:结点拥有的子树。例如A结点拥有三棵子树,所以它的度为3

深度:树种结点的最大层次,图中的树深度为4

接下来我们介绍各个结点之间的关系:

叶子:也是终端结点,即没有子树的结点

孩子与双亲:一个结点伸出的子树之间的关系

堂/兄弟:同一层次结点的关系

(树的概念可以类比族谱,这样更容易理解)

1.2树的基本术语

树可以分成有序树和无序树:

有序树指的是结点各子树从左至右有序不能互换(例如:二叉树)

无序树中各结点子树可以互换位置。

学习了树的基本知识,下面就引出森林的概念:

如图所示,这是一个再正常不过的树,A是根结点,T1,T2,T3是它的子树。这时如果我们把A结点和B,C,D结点的连接断开,变成下面这个样子,就称为森林:

此时,B,C,D是三棵相互独立的树。

这就是森林,即m棵互不相交的树的集合。

1.3树的其他表示方式

树所包含的逻辑结构还可以用广义表,嵌套集合等形式表示,大家根据图片就可理解。

2、二叉树的基本知识

2.1二叉树的概念

二叉树是一种特殊的树,它只有左子树和右子树。其基本特点如下:

1、结点的度小于等于2

2、是有序树(子树有序,不能颠倒)

我们来看一个例子:具有三个结点的二叉树可能有几种不同形态,普通树呢?

二叉树由于子树有序不能颠倒,所以共有5种形态:

而普通的树是无序的,只用考虑层次,顾只有两种:

 

 2.2二叉树的性质

我们首先介绍两种特殊的二叉树

1、满二叉树:

如图就是一个满二叉树,它具有以下特点:

每层结点数都是最大结点数(每层都满)

叶子结点全部在最底层

每一结点位置都有元素

综上,我们可以很轻松地给出结论,一棵深度为k的满二叉树,它的共有2^k-1个结点。

2、完全二叉树:

我们设完全二叉树有k层,当k-1层是满二叉树,只有最后一层叶子不满,且全部集中在左边时即称为完全二叉树,如图所示:

那么我们再来辨析以下下面呢几棵树哪个是完全二叉树:

我们给出结果,图1是满二叉树,图三是完全二叉树,其余的都不是。

下面我们介绍二叉树最重要的4条性质:

性质1:在二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点

我们可以这样理解:

第一层的结点是根结点,只有一个,所以2^{1-1}= 1。
第二层有两个结点,所以2^{2-1}=2。
第三层有四个结点,所以2^{3-1}=4。

性质2:深度为k的二叉树至多有 2^k-1个结点

同样,这是一个等比数列求和的问题,第一行为2^{0},第二行2^{1},如此类推,最终求和结果就是 2^k-1

性质3:对任意一棵二叉树,如果终端结点数(叶子结点)为0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

性质4:具有n个节点的完全二叉树深度为⌈log2(n+1)⌉或⌊log2n⌋+1

也可以这样理解2^{i-1}-1<n<2^{i}-1

http://www.tj-hxxt.cn/news/19313.html

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