佛山网站搭建,个人网站介绍怎么写,wordpress 主题笔记,昆山住房与城乡建设局网站Kronecker分解#xff08;K-FAC#xff09;#xff1a;让自然梯度在深度学习中飞起来
在深度学习的优化中#xff0c;自然梯度下降#xff08;Natural Gradient Descent#xff09;是一个强大的工具#xff0c;它利用Fisher信息矩阵#xff08;FIM#xff09;调整梯度…Kronecker分解K-FAC让自然梯度在深度学习中飞起来
在深度学习的优化中自然梯度下降Natural Gradient Descent是一个强大的工具它利用Fisher信息矩阵FIM调整梯度方向让参数更新更高效。然而Fisher信息矩阵的计算复杂度是个大难题——对于参数量巨大的神经网络直接计算和求逆几乎是不可能的。这时Kronecker分解Kronecker-Factored Approximate Curvature简称K-FAC登场了。它通过巧妙的近似让自然梯度在深度学习中变得实用。今天我们就来聊聊K-FAC的原理、优势以及参数正交性如何给它加分。 Fisher信息矩阵的挑战
Fisher信息矩阵 ( I ( θ ) I(\theta) I(θ) ) 衡量了模型输出对参数 ( θ \theta θ ) 的敏感度在自然梯度下降中的更新公式是 θ t 1 θ t − η I ( θ ) − 1 ∂ L ∂ θ \theta_{t1} \theta_t - \eta I(\theta)^{-1} \frac{\partial L}{\partial \theta} θt1θt−ηI(θ)−1∂θ∂L
这里( I ( θ ) − 1 I(\theta)^{-1} I(θ)−1 ) 是Fisher信息矩阵的逆起到“校正”梯度的作用。但问题来了
存储复杂度如果模型有 ( n n n ) 个参数( I ( θ ) I(\theta) I(θ) ) 是一个 ( n × n n \times n n×n ) 的矩阵需要 ( O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) ) 的存储空间。计算复杂度求逆需要 ( O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)) 的时间复杂度。
对于一个有百万参数的神经网络( n 2 n^2 n2 ) 和 ( n 3 n^3 n3 ) 是天文数字直接计算完全不现实。K-FAC的出现就是要解决这个“卡脖子”的问题。 什么是Kronecker分解K-FAC
K-FAC是一种近似方法全称是“Kronecker-Factored Approximate Curvature”。它的核心思想是利用神经网络的层级结构将Fisher信息矩阵分解成小块矩阵然后用Kronecker乘积一种特殊的矩阵乘法来近似表示。这样既降低了计算成本又保留了自然梯度的大部分优势。
通俗比喻
想象你在整理一个巨大的仓库Fisher信息矩阵里面堆满了杂乱的货物参数间的关系。直接搬运整个仓库太费力而K-FAC就像把仓库分成几个小隔间每一层网络一个每个隔间用两个简单清单小矩阵描述货物分布。这样你不用搬整个仓库只需处理小隔间就能大致知道货物的布局。 K-FAC的原理
1. 分层近似
神经网络通常是分层的每一层有自己的权重例如 ( W l W_l Wl )。K-FAC假设Fisher信息矩阵 ( I ( θ ) I(\theta) I(θ) ) 对不同层之间的参数交叉项近似为零只关注每层内部的参数关系。这样( I ( θ ) I(\theta) I(θ) ) 变成一个块对角矩阵block-diagonal matrix每个块对应一层 I ( θ ) ≈ diag ( I 1 , I 2 , … , I L ) I(\theta) \approx \text{diag}(I_1, I_2, \dots, I_L) I(θ)≈diag(I1,I2,…,IL)
其中 ( I l I_l Il ) 是第 ( l l l ) 层的Fisher信息矩阵。
2. Kronecker分解
对于每一层 ( l l l )权重 ( W l W_l Wl ) 是一个矩阵比如 ( m × n m \times n m×n )。对应的Fisher信息矩阵 ( I l I_l Il ) 本来是一个 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 的大矩阵直接计算很麻烦。K-FAC观察到神经网络的梯度可以分解为输入和输出的贡献于是近似为 I l ≈ A l ⊗ G l I_l \approx A_l \otimes G_l Il≈Al⊗Gl
( A l A_l Al )输入激活的协方差矩阵大小 ( m × m m \times m m×m )表示前一层输出的统计特性。( G l G_l Gl )梯度相对于输出的协方差矩阵大小 ( n × n n \times n n×n )表示当前层输出的统计特性。( ⊗ \otimes ⊗ )Kronecker乘积将两个小矩阵“组合”成一个大矩阵。后文有解释。
3. 高效求逆
Kronecker乘积有个妙处如果 ( I l A l ⊗ G l I_l A_l \otimes G_l IlAl⊗Gl )其逆可以通过小矩阵的逆计算 I l − 1 A l − 1 ⊗ G l − 1 I_l^{-1} A_l^{-1} \otimes G_l^{-1} Il−1Al−1⊗Gl−1
( A l A_l Al ) 是 ( m × m m \times m m×m )求逆是 ( O ( m 3 ) O(m^3) O(m3) )。( G l G_l Gl ) 是 ( n × n n \times n n×n )求逆是 ( O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) )。
相比直接求 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 矩阵的 ( O ( ( m n ) 3 ) O((mn)^3) O((mn)3) )K-FAC把复杂度降到了 ( O ( m 3 n 3 ) O(m^3 n^3) O(m3n3) )通常 ( m m m ) 和 ( n n n ) 远小于 ( m ⋅ n m \cdot n m⋅n )节省巨大。 K-FAC的数学细节
假设第 ( l l l ) 层的输出为 ( a l W l h l − 1 a_l W_l h_{l-1} alWlhl−1 )( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 是前一层激活损失为 ( L L L )。Fisher信息矩阵的精确定义是 I l E [ vec ( ∂ L ∂ a l h l − 1 T ) vec ( ∂ L ∂ a l h l − 1 T ) T ] I_l E\left[ \text{vec}\left( \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T \right) \text{vec}\left( \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T \right)^T \right] IlE[vec(∂al∂Lhl−1T)vec(∂al∂Lhl−1T)T]
K-FAC近似为 I l ≈ E [ h l − 1 h l − 1 T ] ⊗ E [ ∂ L ∂ a l ∂ L ∂ a l T ] A l ⊗ G l I_l \approx E\left[ h_{l-1} h_{l-1}^T \right] \otimes E\left[ \frac{\partial L}{\partial a_l} \frac{\partial L}{\partial a_l}^T \right] A_l \otimes G_l Il≈E[hl−1hl−1T]⊗E[∂al∂L∂al∂LT]Al⊗Gl
( A l E [ h l − 1 h l − 1 T ] A_l E[h_{l-1} h_{l-1}^T] AlE[hl−1hl−1T] )输入协方差。( G l E [ ∂ L ∂ a l ∂ L ∂ a l T ] G_l E\left[ \frac{\partial L}{\partial a_l} \frac{\partial L}{\partial a_l}^T \right] GlE[∂al∂L∂al∂LT] )输出梯度协方差。
自然梯度更新变成 vec ( Δ W l ) ( A l − 1 ⊗ G l − 1 ) vec ( ∂ L ∂ W l ) \text{vec}(\Delta W_l) (A_l^{-1} \otimes G_l^{-1}) \text{vec}\left( \frac{\partial L}{\partial W_l} \right) vec(ΔWl)(Al−1⊗Gl−1)vec(∂Wl∂L)
实际中( A l A_l Al ) 和 ( G l G_l Gl ) 通过小批量数据的平均值估计动态更新。 K-FAC的优势
1. 计算效率
从 ( O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) ) 降到 ( O ( m 3 n 3 ) O(m^3 n^3) O(m3n3) )K-FAC让自然梯度在大型网络中可行。例如一个隐藏层有 1000 个神经元普通方法需要处理百万级矩阵而K-FAC只需处理千级矩阵。
2. 保留曲率信息
虽然是近似K-FAC依然捕捉了每层参数的局部曲率帮助模型更快收敛尤其在损失函数表面复杂时。
3. 并行性
每一层的 ( A l A_l Al ) 和 ( G l G_l Gl ) 可以独立计算非常适合GPU并行加速。 参数正交性如何助力K-FAC
参数正交性是指Fisher信息矩阵的非对角元素 ( I i j 0 I_{ij} 0 Iij0 )( i ≠ j i \neq j ij )意味着参数间信息独立。K-FAC天然假设层间正交块对角结构但层内参数的正交性也能进一步简化计算。
1. 更接近对角形式
如果模型设计时让权重尽量正交比如通过正交初始化( W l W l T I W_l W_l^T I WlWlTI )( A l A_l Al ) 和 ( G l G_l Gl ) 的非对角元素会减小( I l I_l Il ) 更接近对角矩阵。求逆时计算量进一步降低甚至可以用简单的逐元素除法近似。
2. 提高稳定性
正交参数减少梯度方向的耦合自然梯度更新更稳定避免震荡。例如卷积网络中正交卷积核可以增强K-FAC的效果。
3. 实际应用
在RNN或Transformer中正交初始化如Hennig的正交矩阵结合K-FAC能显著提升训练速度和性能。 K-FAC的应用场景
深度神经网络K-FAC在DNN优化中加速收敛常用于图像分类任务。强化学习如ACKTR算法结合K-FAC改进策略优化。生成模型变分自编码器VAE中K-FAC优化变分参数。 总结
Kronecker分解K-FAC通过分层和Kronecker乘积将Fisher信息矩阵的计算复杂度从“天文数字”降到可接受范围让自然梯度下降在深度学习中大放异彩。它不仅高效还保留了曲率信息适合现代大规模模型。参数正交性则是它的好帮手通过减少参数间干扰让K-FAC更简单、更稳定。下次训练网络时不妨试试K-FAC也许会带来惊喜
补充解释Kronecker乘积
详细解释Kronecker乘积Kronecker Product的含义以及为什么K-FAC观察到神经网络的梯度可以分解为输入和输出的贡献从而将其近似为 ( I l ≈ A l ⊗ G l I_l \approx A_l \otimes G_l Il≈Al⊗Gl )。 什么是Kronecker乘积
Kronecker乘积是一种特殊的矩阵运算用符号 ( ⊗ \otimes ⊗ ) 表示。它可以将两个较小的矩阵“组合”成一个更大的矩阵。具体来说假设有两个矩阵
( A A A ) 是 ( m × m m \times m m×m ) 的矩阵。( G G G ) 是 ( n × n n \times n n×n ) 的矩阵。
它们的Kronecker乘积 ( A ⊗ G A \otimes G A⊗G ) 是一个 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 的矩阵定义为 A ⊗ G [ a 11 G a 12 G ⋯ a 1 m G a 21 G a 22 G ⋯ a 2 m G ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 G a m 2 G ⋯ a m m G ] A \otimes G \begin{bmatrix} a_{11} G a_{12} G \cdots a_{1m} G \\ a_{21} G a_{22} G \cdots a_{2m} G \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{m1} G a_{m2} G \cdots a_{mm} G \end{bmatrix} A⊗G a11Ga21G⋮am1Ga12Ga22G⋮am2G⋯⋯⋱⋯a1mGa2mG⋮ammG
其中( a i j a_{ij} aij ) 是 ( A A A ) 的第 ( i i i ) 行第 ( j j j ) 列元素( G G G ) 是整个 ( n × n n \times n n×n ) 矩阵。也就是说( A A A ) 的每个元素 ( a i j a_{ij} aij ) 都被放大为一个 ( n × n n \times n n×n ) 的块矩阵 ( a i j G a_{ij} G aijG )。
通俗解释
想象你在做一个拼图( A A A ) 是一个 ( m × m m \times m m×m ) 的模板告诉你每个位置的重要性比如协方差( G G G ) 是一个 ( n × n n \times n n×n ) 的小图案。Kronecker乘积就像把 ( G G G ) 这个图案按照 ( A A A ) 的模板放大排列形成一个更大的拼图最终大小是 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) )。
例子
假设 ( A [ 1 2 3 4 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 3 4 \end{bmatrix} A[1324] )2×2( G [ 0 1 1 0 ] G \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} G[0110] )2×2则 A ⊗ G [ 1 ⋅ [ 0 1 1 0 ] 2 ⋅ [ 0 1 1 0 ] 3 ⋅ [ 0 1 1 0 ] 4 ⋅ [ 0 1 1 0 ] ] A \otimes G \begin{bmatrix} 1 \cdot \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} \\ 3 \cdot \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} 4 \cdot \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} A⊗G 1⋅[0110]3⋅[0110]2⋅[0110]4⋅[0110] [ 0 1 0 2 1 0 2 0 0 3 0 4 3 0 4 0 ] \begin{bmatrix} 0 1 0 2 \\ 1 0 2 0 \\ 0 3 0 4 \\ 3 0 4 0 \end{bmatrix} 0103103002042040
结果是一个 4×4 矩阵( 2 ⋅ 2 × 2 ⋅ 2 2 \cdot 2 \times 2 \cdot 2 2⋅2×2⋅2 )。 K-FAC为何用Kronecker乘积近似
现在我们来看K-FAC为什么观察到神经网络的梯度可以分解为输入和输出的贡献并用 ( I l ≈ A l ⊗ G l I_l \approx A_l \otimes G_l Il≈Al⊗Gl ) 来近似Fisher信息矩阵。
背景Fisher信息矩阵的定义
对于第 ( l l l ) 层的权重 ( W l W_l Wl )一个 ( m × n m \times n m×n ) 矩阵Fisher信息矩阵 ( I l I_l Il ) 是关于 ( W l W_l Wl ) 的二阶统计量。假设输出为 ( a l W l h l − 1 a_l W_l h_{l-1} alWlhl−1 )( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 是前一层激活损失为 ( L L L )精确的Fisher信息矩阵是 I l E [ vec ( ∂ L ∂ a l h l − 1 T ) vec ( ∂ L ∂ a l h l − 1 T ) T ] I_l E\left[ \text{vec}\left( \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T \right) \text{vec}\left( \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T \right)^T \right] IlE[vec(∂al∂Lhl−1T)vec(∂al∂Lhl−1T)T]
这里
( ∂ L ∂ a l \frac{\partial L}{\partial a_l} ∂al∂L ) 是损失对输出的梯度大小为 ( n × 1 n \times 1 n×1 )。( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 是输入激活大小为 ( m × 1 m \times 1 m×1 )。( ∂ L ∂ a l h l − 1 T \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T ∂al∂Lhl−1T ) 是 ( W l W_l Wl ) 的梯度( m × n m \times n m×n ) 矩阵。( vec ( ⋅ ) \text{vec}(\cdot) vec(⋅) ) 将矩阵拉成向量( I l I_l Il ) 是 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 的。
直接计算这个期望需要存储和操作一个巨大矩阵复杂度为 ( O ( ( m n ) 2 ) O((mn)^2) O((mn)2) )。
K-FAC的观察梯度分解
K-FAC注意到神经网络的梯度 ( ∂ L ∂ W l ∂ L ∂ a l h l − 1 T \frac{\partial L}{\partial W_l} \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T ∂Wl∂L∂al∂Lhl−1T ) 天然具有“输入”和“输出”的分离结构
输入贡献( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 是前一层的激活决定了梯度的“空间结构”。输出贡献( ∂ L ∂ a l \frac{\partial L}{\partial a_l} ∂al∂L ) 是当前层的输出梯度决定了梯度的“强度”。
这两个部分是外积outer product的形式提示我们可以分别统计它们的特性而不是直接算整个大矩阵的协方差。
分解为输入和输出的协方差
K-FAC假设梯度的期望可以近似分解为输入和输出的独立统计量 I l ≈ E [ h l − 1 h l − 1 T ] ⊗ E [ ∂ L ∂ a l ∂ L ∂ a l T ] I_l \approx E\left[ h_{l-1} h_{l-1}^T \right] \otimes E\left[ \frac{\partial L}{\partial a_l} \frac{\partial L}{\partial a_l}^T \right] Il≈E[hl−1hl−1T]⊗E[∂al∂L∂al∂LT]
( A l E [ h l − 1 h l − 1 T ] A_l E[h_{l-1} h_{l-1}^T] AlE[hl−1hl−1T] )输入激活的协方差矩阵( m × m m \times m m×m )捕捉了 ( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 的统计特性。( G l E [ ∂ L ∂ a l ∂ L ∂ a l T ] G_l E\left[ \frac{\partial L}{\partial a_l} \frac{\partial L}{\partial a_l}^T \right] GlE[∂al∂L∂al∂LT] )输出梯度的协方差矩阵( n × n n \times n n×n )捕捉了后续层反馈的统计特性。
为什么用Kronecker乘积 ( ⊗ \otimes ⊗ )因为梯度 ( ∂ L ∂ W l \frac{\partial L}{\partial W_l} ∂Wl∂L ) 是一个矩阵其向量化形式 ( vec ( ∂ L ∂ W l ) \text{vec}(\frac{\partial L}{\partial W_l}) vec(∂Wl∂L) ) 的协方差天然可以用输入和输出的外积结构表示。Kronecker乘积正好能将 ( A l A_l Al ) 和 ( G l G_l Gl ) “组合”成一个 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 的矩阵与 ( I l I_l Il ) 的维度一致。
为什么这个近似合理 结构假设 神经网络的分层设计让输入 ( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 和输出梯度 ( ∂ L ∂ a l \frac{\partial L}{\partial a_l} ∂al∂L ) 在统计上相对独立。这种分解假设 ( h l − 1 h_{l-1} hl−1 ) 和 ( ∂ L ∂ a l \frac{\partial L}{\partial a_l} ∂al∂L ) 的相关性主要通过外积体现忽略了更高阶的交叉项。 维度匹配 ( A l ⊗ G l A_l \otimes G_l Al⊗Gl ) 生成一个 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 矩阵与 ( I l I_l Il ) 的维度一致。它保留了输入和输出的主要统计信息同时简化了计算。 经验验证 实验表明这种近似在实践中效果很好尤其在全连接层和卷积层中能捕捉梯度曲率的主要特征。 为什么分解为输入和输出的贡献
回到K-FAC的观察神经网络的梯度 ( ∂ L ∂ W l ∂ L ∂ a l h l − 1 T \frac{\partial L}{\partial W_l} \frac{\partial L}{\partial a_l} h_{l-1}^T ∂Wl∂L∂al∂Lhl−1T ) 是一个外积形式这种结构启发我们分开考虑
输入端( h l − 1 h_{l-1} hl−1 )它来自前一层反映了数据的空间分布如激活的协方差。输出端( ∂ L ∂ a l \frac{\partial L}{\partial a_l} ∂al∂L )它来自后续层反映了损失对当前输出的敏感度。
在神经网络中梯度本质上是“输入”和“输出”交互的结果。K-FAC利用这一点将Fisher信息矩阵分解为两部分的乘积而不是直接处理整个权重矩阵的复杂关系。这种分解不仅符合直觉网络是层层传递的也大大降低了计算负担。 总结
Kronecker乘积 ( ⊗ \otimes ⊗ ) 是K-FAC的核心工具它将输入协方差 ( A l A_l Al ) 和输出梯度协方差 ( G l G_l Gl ) 组合成一个大矩阵近似表示Fisher信息矩阵 ( I l I_l Il )。这种近似的依据是神经网络梯度的外积结构——输入和输出的贡献可以分开统计。K-FAC通过这种方式把原本难以计算的 ( ( m ⋅ n ) × ( m ⋅ n ) (m \cdot n) \times (m \cdot n) (m⋅n)×(m⋅n) ) 矩阵问题简化成了两个小矩阵的操作既高效又实用。
后记
2025年2月24日22点48分于上海在Grok3大模型辅助下完成。
