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一#xff0c;对角矩阵
1#xff0c;什么是对角矩阵 表示将矩阵进行伸缩#xff08;反射#xff09;变换#xff0c;仅沿坐标轴方向伸缩#xff08;反射#xff09;变换。
2#xff0c;对角矩阵可分解为多个F1矩阵#xff0c;如下#xff1a; 二对角矩阵
1什么是对角矩阵 表示将矩阵进行伸缩反射变换仅沿坐标轴方向伸缩反射变换。
2对角矩阵可分解为多个F1矩阵如下 二剪切矩阵
1什么是剪切矩阵 2剪切矩阵的几何意义 3剪切矩阵的特点
变换前后面积不变
三正交矩阵
1什么是正交矩阵 2正交矩阵的特点
1是方阵
2每个列向量都是单位矩阵
3每对列向量都正交
4正交矩阵的转置等于它的逆
3正交矩阵的几何意义
只有旋转无剪切无伸缩无反射 如下图所示矩阵A表示绕X轴旋转60°矩阵B表示绕Z轴旋转45°C表示先按X轴旋转60°再按Z轴旋转45°顺序不能颠倒。 若颠倒顺序先绕Z轴旋转再按X轴旋转则 四投影矩阵
1什么是投影矩阵
将高维的变换到低维 谱分解
作用对象是对称矩阵对称矩阵的特征向量正交。
本质将一个复杂的变换分解为旋转-伸缩-逆旋转 Q为单位特征向量组成的矩阵即e1e2e3都是单位特征向量为特征值组成的对角矩阵。
过程解释以2维为例原对称矩阵S具有2个特征向量且特征向量都正交矩阵实现了将特征基 e1e2旋转到原来的基 1001的过程然后进行伸缩变换即沿特征基的方向进行伸缩变换最后再乘Q将特征基旋转回原来的位置。
谱分解的特殊点
1对称矩阵的特征向量都正交原来的基也是正交的则仅进行正交变换旋转即可实现将特征基旋转为原来的基。
奇异值分解
奇异值分解与谱分解的区别只有谱分解是旋转---伸缩---逆旋转而奇异值分解是旋转---伸缩可能有维度消除或维度扩充---再旋转。奇异值分解的第二次旋转不是第一次旋转的逆旋转。
1图公式推导 待分解矩阵的变换如图改变换将相互正交的向量 变换到仍然相互正交的向量伸缩量为。设
则即
即
即
所以的特征向量为特征值为
同理的特征向量为特征值为 综上奇异值分解中为的特征向量为的特征向量。为或特征值的平方根。
为右奇异向量为左奇异向量。
2几何解释
