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二叉树是一种树形结构每个节点最多有两个子节点分别称为左子节点和右子节点。二叉树具有以下定义和特点
1. 节点二叉树是由节点构成的集合。每个节点包含三个基本信息 - 数据元素或称为节点值。 - 指向左子节点的指针/引用。 - 指向右子节点的指针/引用。
2. 根节点 二叉树中的一个节点被称为根节点它是整个树的起始节点。一棵二叉树只有一个根节点。
3. 叶子节点没有子节点的节点被称为叶子节点或叶节点。
4. 父节点和子节点 每个节点都有一个父节点除了根节点。父节点指向它的子节点。
5. 深度一个节点的深度是从根节点到该节点的唯一路径的边的数量。根节点的深度为0。
6. 高度/深度 一棵二叉树的高度或深度是树中任意节点的最大深度。
7. 子树二叉树中的任意节点和它的所有子孙节点组成的集合被称为子树。
8. 二叉搜索树BST在二叉搜索树中每个节点的左子树中的节点值都小于该节点的值而右子树中的节点值都大于该节点的值。
9. 满二叉树如果一棵深度为k且有2^k - 1个节点的二叉树被称为满二叉树。
10. 完全二叉树对于一棵深度为k的二叉树除了最后一层外其它各层的节点数都达到最大值且最后一层的节点都集中在左边被称为完全二叉树。
二叉树的定义为
struct TreeNode {int val; // 节点值TreeNode *left; // 左子节点指针TreeNode *right; // 右子节点指针TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};上述定义为C中使用类实现的二叉树节点定义包含节点值、左子节点指针和右子节点指针。
二叉树算法性质
你提到的这些性质描述了二叉搜索树Binary Search TreeBST的一些重要特征。让我们逐一解释这些性质
1. 将任何一个点看作Root节点则这个点的左子树也是 Binary Search Tree这表示二叉搜索树中每个节点的左子树都满足二叉搜索树的性质即左子树上的节点值小于当前节点的值。
2. 将任何一个点看作Root节点则这个点的右子树也是 Binary Search Tree类似地这表明每个节点的右子树都是一个二叉搜索树右子树上的节点值大于当前节点的值。
3. Binary Search Tree中的最小节点一定是整棵树中最左下的叶子节点这是因为最小节点不会有左子节点只能一直沿着左子树往下走直到叶子节点。
4. Binary Search Tree中的最大节点一定是整棵树中最右下的叶子节点同样最大节点不会有右子节点只能一直沿着右子树往下走直到叶子节点。
这些性质是二叉搜索树在节点排列和结构上的特点它们使得在二叉搜索树上执行搜索、插入和删除等操作更加高效。通过遵循这些性质可以确保在整个树结构中维持有序性使得二叉搜索树成为一种常用的数据结构。
二、算法实现完整代码 通过二叉树实现A、B、C、D的简单应用 #includeiostream
using namespace std;
typedef char DataType;
struct BiNode
{DataType data;BiNode *lchild,*rchild;
};
//1假设二叉树采用链接存储方式存储分别编写一个二叉树先序遍历的递归
//算法和非递归算法。
class BiTree
{public:BiTree(){rootCreate(root);}//构造函数建立一颗二叉树~BiTree(){Release(root);}//析构函数释放各个节点的存储空间void Preorder(){Preorder(root);}//前序遍历二叉树void Inorder(){Inorder(root);}//中序遍历二叉树void Postorder(){Postorder(root);}//后序遍历二叉树void Levelorder(){Levelorder(root);};//层序遍历二叉树private:BiNode *root;//指向根节点的头指针BiNode *Create(BiNode *bt);//构造函数调用void Release(BiNode *bt);//析构函数调用void Preorder(BiNode *bt);//前序遍历函数调用void Inorder(BiNode *bt);//中序遍历函数调用void Postorder(BiNode *bt);//后序遍历函数调用void Levelorder(BiNode *bt);//层序遍历函数调用
};
//前序遍历
void BiTree::Preorder(BiNode *bt)
{if(btNULL)return;//递归调用的结束条件else{coutbt-data ;//访问根节点bt的数据域Preorder(bt-lchild);//前序递归遍历bt的左子树Preorder(bt-rchild);//前序递归遍历bt的右子树}
}
//中序遍历
void BiTree::Inorder(BiNode *bt)
{if(btNULL)return;//递归调用的结束条件else{Inorder(bt-lchild);//中序递归遍历bt的左子树coutbt-data ;//访问根节点的数据域Inorder(bt-rchild);//中序递归遍历bt的右子树}
}
//后序遍历
void BiTree::Postorder(BiNode *bt)
{if(btNULL)return;//递归调用的结束条件else{Postorder(bt-lchild);//后序递归遍历bt的左子树Postorder(bt-rchild);//后序递归遍历bt的右子树coutbt-data ;//访问根节点bt的数据域}
}
//层序遍历
void BiTree::Levelorder(BiNode *bt){BiNode *Q[100],*qNULL;int front-1,rear-1;//队列初始化 if(root NULL) return;//二叉树为空算法结束Q[rear]root;//根指针入队while(front!rear){//当队列非空时 qQ[front];//出队coutq-data ;if(q-lchild!NULL) Q[rear]q-lchild;if(q-rchild!NULL) Q[rear]q-rchild; }
}
//创建二叉树
BiNode *BiTree::Create(BiNode *bt)
{static int i0;char ch;string strAB#D##C##;chstr[i];if(ch#)btNULL;//建立一棵空树 else {btnew BiNode;bt-datach;//生成一个结点数据域为chbt-lchildCreate(bt-lchild);//递归建立左子树bt-rchildCreate(bt-rchild);//递归建立右子树}return bt;
}
//销毁二叉树
void BiTree::Release(BiNode *bt)
{if(bt!NULL){Release(bt-lchild);Release(bt-rchild);delete bt;}
}
int main()
{cout创建一棵二叉树endl;BiTree T;//创建一颗二叉树cout---层序遍历---endl;//A B C D T.Levelorder();coutendl;cout---前序遍历---endl;//A B D CT.Preorder();coutendl;cout---中序遍历---endl;//B D A CT.Inorder();coutendl;cout---后序遍历---endl;//D B C AT.Postorder();coutendl;return 0;
}
执行结果 序存储的完全二叉树递归先序遍历算法描述C如下 //完全二叉树的顺序存储结构
#include iostream
#include string.h
#define MaxSize 100
using namespace std;
typedef char DataType;
class Tree{public:Tree(string str);//构造函数void createTree();//创建二叉树 void seqPreorder(int i);//先序遍历二叉树 void seqInorder(int i);//中序遍历二叉树 void seqPostorder(int i);//后序遍历二叉树 private: DataType node[MaxSize];//结点中的数据元素int num0;//二叉树结点个数 string str;
};Tree::Tree(string str){this-str str;
} void Tree::createTree(){for(int i 1;i str.length()1 ;i){node[i]str[i-1];num;}node[0] (char)num;
}//顺序存储的完全二叉树递归先序遍历算法描述C如下
void Tree::seqPreorder(int i){if(i0)//递归调用的结束条件return;else{cout (char)node[i];//输出根结点if(2*i(char)node[0])seqPreorder(2*i);//先序遍历i的左子树elseseqPreorder(0);if(2*i1(char)node[0])seqPreorder(2*i1);//先序遍历i的右子树elseseqPreorder(0); }
} //顺序存储的完全二叉树递归中序遍历算法描述C如下
void Tree::seqInorder(int i){if(i0)//递归调用的结束条件return;else{if(2*i(char)node[0])seqInorder(2*i);//中序遍历i的左子树elseseqInorder(0);cout (char)node[i];//输出根结点if(2*i1(char)node[0])seqInorder(2*i1);//中序遍历i的右子树elseseqInorder(0); }
} //顺序存储的完全二叉树递归后序遍历算法描述C如下
void Tree::seqPostorder(int i){if(i0)//递归调用的结束条件return;else{if(2*i(char)node[0])seqPostorder(2*i);//后序遍历i的左子树elseseqPostorder(0);if(2*i1(char)node[0])seqPostorder(2*i1);//后序遍历i的右子树elseseqPostorder(0); cout (char)node[i];//输出根结点}
} // 2一棵完全二叉树以顺序方式存储设计一个递归算法对该完全二叉树进
//行中序遍历。
int main(){string str ABCDEFGHIJ;Tree T(str);//定义对象变量buscout按层序编号的顺序存储所有结点:strendl;T.createTree();cout顺序存储的完全二叉树递归前序递归遍历:endl; T.seqPreorder(1);coutendl; cout顺序存储的完全二叉树递归中序递归遍历:endl; T.seqInorder(1);coutendl; cout顺序存储的完全二叉树递归后序递归遍历:endl; T.seqPostorder(1);coutendl; return 0;
}三、算法总结
二叉树的优点
1. 快速查找 在二叉搜索树BST中查找某个元素的时间复杂度是O(log n)这使得二叉树在查找操作上非常高效。
2. 有序性BST保持元素的有序性对于某些应用场景如快速查找最小值、最大值或在某一范围内的值二叉树非常有用。
3. 容易插入和删除在BST中插入和删除操作相对容易不需要像其他数据结构一样频繁地移动元素。
4. 中序遍历通过中序遍历二叉搜索树可以得到有序的元素序列这对于某些应用如构建有序列表很方便。 二叉树的缺点
1. 平衡性如果不平衡二叉搜索树的性能可能下降为线性级别而不再是对数级别。因此需要采取额外的措施来保持树的平衡如 AVL 树或红黑树。
2. 对数据分布敏感 对于某些特定的数据分布比如按顺序插入的数据可能导致二叉搜索树退化成链表性能下降。
二叉树的应用
1. 数据库索引在数据库中二叉搜索树被广泛应用于构建索引结构以加速数据的检索。
2. 表达式解析二叉树可用于构建表达式树用于解析和求解数学表达式。
3. 哈夫曼编码二叉树用于构建哈夫曼树实现有效的数据压缩算法。
4. 文件系统在文件系统的目录结构中可以使用二叉树来组织和管理文件。
5. 网络路由用于构建路由表支持快速而有效的网络数据包路由。
6. 编译器设计 语法分析阶段通常使用二叉树来构建语法树以便后续的编译步骤。
7. 游戏开发在游戏开发中二叉树可以用于实现场景图、动画系统等。
8. 排序算法一些排序算法如快速排序就是通过构建和操作二叉树来实现的。
总体而言二叉树在计算机科学领域的应用非常广泛它的特性使得它适用于多种数据管理和搜索场景。在实际应用中需要根据具体情况选择合适的二叉树变体以及适当的平衡策略。 大家点赞、收藏、关注、评论啦 谢谢哦如果不懂欢迎大家下方讨论学习哦。
