医疗网站建设信息,做购物网站安全吗,wordpress外链图床,大型网站改版第三章 向量空间(Vector Spaces)
fmmer mit den einfachsten Beispielen anfangen.
(始终从最简单的例子开始。) ------------------------------David Hilbert 3.1 (R^n)的子空间 我们的向量空间的基础模型(本章主题)是n 维实向量空间 的子空间。我们将在本节讨论它。… 第三章 向量空间(Vector Spaces)
fmmer mit den einfachsten Beispielen anfangen.
(始终从最简单的例子开始。) ------------------------------David Hilbert 3.1 (R^n)的子空间 我们的向量空间的基础模型(本章主题)是n 维实向量空间 的子空间。我们将在本节讨论它。向量空间的定义将在3.3节中给出。尽管行向量占据更少的空间但矩阵乘法的定义使得使用列向量更为便捷因此我们通常使用列向量。有时候为了节省空间我们使用矩阵的转置(transpose)形式 来书写列向量。如在第1章中所述我们不区分列向量和具有相同坐标的 的点。通常用小写字母来表示列向量例如v 或w 且若 我们称 为 v 的坐标向量(coordinate vector)。
我们考虑向量上的2种运算 向量加法(vector addition) 和
(3.1.1) 标量乘法(scalar multiplication) 。
这些运算使得 成为向量空间。
对于
(3.1.1)的一个子集如果它满足随后所列出的这些属性则称其为一个子空间(a subspace)。这些属性为
(3.1.2)
(a) 若 w 和 w’ 在 W 中则其和 w w’ 在 W 中 。
(b) 若 w 在 W 中且 c在ℝ 中则 cw 在W 中。
(c) 0 向量在 W 中。
还有另一种方式可表述子空间的条件
(3.1.3) 若 W 非空且若 是 W 的元素而 是标量则其线性组合 也在W 中。
齐次(homogeneous) 线性方程组(system)提供了子空间的例子。已知一个m × n 矩阵 A 及其位于 ℝ 中的系数位于 中且其坐标向量可作为齐次线性方程组 AX 0 的解的向量集构成一个子空间并称其为A的零空间(nullspace)。尽这这个例子很简单我们还是验证一下它作为子空间所应满足的条件 AX 0 且 AY 0 意味着 A( X Y ) 0 若X和Y是方程的解则 X Y 也是方程的解。 AX 0意味着 AcX 0:当X是方程的解时cX也是方程的解。 AX 0 零向量是方程的一个解。
零空间 W 0 和 全空间 都是子空间。如果一个子空间不是前面二者之一则称其为真子空间(proper subspace)。下一个命题描述了 的真子空间。
命题 3.1.4 令 W 为 的真子空间令 w 为 W 中的一个非零向量。则 W 由 w 的标量乘组成。不同的真子空间仅有的共同向量是零向量。 一个已知非零向量 w的标量乘cw构成的子空间被称为w所张成的(spanned)(译注:“span”译为“生成”或“张成”在下文中我们采用“张成”这个译名)子空间。在几何上它是位于平面 R2 上穿过原点的一条直线。
证明 我们首先注意到被一个非零向量w所张成的子空间W同时也被其所含的另一个非零向量w’ 所张成。这个事实是显然的因为若 w’ cw 且 c ≠ 0 则任意倍数 aw 都可以写为 的形式。因此(Consequently)若被 和 所张成的子空间 和 具有一个公共的非零元素 v则它们相等。
其次 的一个非零子空间 W 含有一个非零元素 。因为 W 是一个子空间它包含由 所张成的子空间 若 则 W 由一个非零向量的标量乘构成。我们证明若 W 不等于 则它是整个空间 。令 为一个W 的不在 中的元素并令 为由 所张成的子空间。因为 这些子空间仅有 0 交集。因此这两个元素 和 都不是对方的倍数。则 的坐标向量( 称其为 )不是成比率关系的而由这些向量作为列向量的 2×2 块矩阵 具有一个非零矩阵。那样话我们可以解出一个任意向量v的坐标向量B的方程 AX B 从而获得线性组合 。这就证明了 W 是整个空间 。
在几何上根据向量加的平行四边行法则(parallelogram law)也可以观察到每一个向量都是一个线性组合 。 我们已经给出的 子空间的描述将在3.4节通过维度的概念加以阐明。 3.2 域(FIELDS)
正如第一章的开头所述基本上我们提到的所有关于矩阵的运算对于复数矩阵和实数矩阵同样适用。对于很多其它的数值系统同样适配良好。为了便于描述这些数值系统我们列出所需的“标量”属性并导出域的概念。在转向向量空间学习之前我们在这里引入域的概念这是本章学习的主旨。
复数域 ℂ 的子域是所描述的最简单的域。一个 ℂ 的子域(subfield)是一个子集它在加减乘和除四种运算下闭合且包含元素1 。换句话说如果 F 是ℂ的一个子域它一定满足如下属性(译注所谓“闭合(closed)”, 即在某种运算下其结果仍然在这个集合中)
(3.2.1) (, - ,×, ÷ ) 若 a 和 b 在 F 中则 a b也在 F 中。 若 a 在 F 中则 - a 也在 F 中。 若 a 和 b 在 F 中则 a b也在 F 中。 若 a 在 F 中且 a ≠ 0 则 在 F 中。 1 在F 中。
这些公理意味着 1 – 1 也在 F 中。换一种表述即F 是加法群 的一个子群且F的非零元素构成一个乘法群 的子群。 ℂ 的子域的一些例子
(a) 实数域 ℝ
(b) 比率数(整数构成的分数,即分子分母均为整数的分数)域ℚ
(c) 形如 且 a 和 b 为比率数的所有复数的域 。
抽象域(abstract field)的概念仅比子域的概念稍难理解并且它包含重要的新域类包括有限域。 定义 3.3.2 一个域F是一个集合与两个合成律 ( 称为加a b ⇝ a b)
和 ( 称为乘a b ⇝ ab)
的结合体。并且这两个合成律满足如下公理
( i ) 这个加法合成律使用 F 成为一个Abel群 它的玄元元素用0表示。
( ii ) 这个乘法合成律是可交换的并使得F的非零元素集合成为一个Abel群 其玄元元素用1表示。
( iii ) 满足分配律对于F中的任意a b和 c 都有 a( b c ) ab ac 。 前两个公理分别描述了加法和乘法这两个合顾律的性质。第三个公理即分配律将这两个定律联系起来。 您会熟悉实数满足这些公理的事实但只有在经过一些经验后才能理解这个事实——实数是常规代数运算唯一的需要。 下面的引理解释了0元素如何相乘。
引理 3.2.3 令 F 为一个域。
(a) F 的元素 0 和元素 1 是不同的。
(b) 对于 F 中的任意a有 a0 0 且 0a 0 。
(c) F 中的乘法是可结合的且 1 是玄元元素。
证明 (a) 上面的公理 ( ii ) 意味着 1 不等于 0 。 (b) 对于加法而言0 是玄元0 0 0 。则 a0 a0 a( 0 0 ) a0 。因为 是一个群我们可以消去 a0 从而得到 a0 0 以及 0a 0 。 (c) 因为 F – {0}是一个Abel群当严格限定在这个子集内的时候乘法是可结合的。当元素中至少有一个为零时我们需要证明 a(bc) (ab)c。在这种情况下(b) 证明了问题中的乘积等于0 。最后元素1 是 F – {0} 上的玄元。在 (b) 中设 a 1 便证明了1是所有F 的玄元。
除了复数的子域之外域的最简单例子是某些称为素域(prime field)的有限域我们接下来将对其进行描述。我们在前一章中看到以整数 n 为模的同余类集合 ℤ/nℤ 具有从整数的加法和乘法导出的加法律和乘法律。除了乘法要求逆元存在之外域的公理对于所有整数成立。正如第 2.9 节所述此类公理适用于同余类的加法和乘法。但在整数除法下并不闭合因此没有理由假设同余类具有乘法逆元。事实上他们不需要。例如2类没有模 6 的乘法逆元。令人有些惊讶的是当 p 是素数时所有模 p 的非零同余类都有逆元因此集合 ℤ/nℤ 是一个域。这个域称为素域(prime field),并使用符号 表示。
使用上划线记法并选取 p 同余类的常规表示元素记为
(3.2.4) 。 定理 3.2.5 令 p 为一个素数。每一个模 p 非零同余类都有一个乘法逆元因此 是一个 p 阶域。 在给出其证明之前我们先讨论定理。 若 a 和b是整数则 意味着 p 不整除a 且 意味着 ab ≡ 1 modulo p 。如果 p 很小则可以通过试错法求得一个同余类 模p 的逆元。若 p 13 且 则 且 。我们是幸运的 的阶为3因为 。在另一方面6的幂贯穿每一个非零模13同余类。计算幂可能不是求得 逆元的最快方式。但是这个定理告诉我们构成一个群的非零同余类的集合 。因此 的每一个元素 都具有限阶并且若 有阶 r ,则其逆元将是 。
为了使用这个推理来证明这个定理我们还需要下面的消去律
命题 3.2.7 消去律(Cancelation Law)令p为一个素数并令 , 和 为 的元素。
(a) 若 则 或 。
(b) 若 且若 ,则 。
证明 (a) 我们用整数 a 和 b 来表示同余类 和 并转化为同余。要证明的知论断是若p整除 ab 则 p整除 a 或 p整除 b 。这是推论 2.3.7 因此得证。 (b) 从(a)可以推导出若 且 则 。
定理 (3.2.5)的证明 令 为 的一个非零元素。我们考虑幂 因为存在无限多个指数且仅有有限多个元素在 中则一定有两个幂是相等的比如说 , 其中m n 我们在等式两侧消去 。则 便是 的逆元。
在接下来的内容中将字母上的上划线删去会更方便相信我们自己能记住我们正在使用整数还是同余类并记住规则(2.9.8) 若 a 和 b是整数则在 中 a b 指的是 a ≡ b modulo p 。 与通常的同余一样除了不能在整数中进行除法之外域 中的计算可以通过使用整数来完成。可以使用其列值(entries)位于域中的矩阵 A 进行操作并且可以重复第一章的讨论而无需进行本质的更改。 假设我们要求素数域 中 n 个未知数的 n 阶线性方程组的解。我们用整数系统表示方程组选择同余类的代表例如 AX B其中 A 是 n × n 整数矩阵B 是整数列向量。为了解这个 内的方程组我们对矩阵 A 模 p 求逆公式 (其中 (定理1.6.9))对整数矩阵是有效的因此矩阵的列值被它们的同余类替换之后在 中仍然成立。若δ 的同余类不为零同我们可以通过计算 求得 中A的逆矩阵。
推论 3.2.8 令 AX B 为一个有 n 个未知数的n 阶线性方程组其中A 和B 的列值在 中并令 δ det A 。如果 δ 不为零则这个方程组在 中具有唯一解。
例如考虑方程组 AX B 其中 和 。
方程组的系数是整数因此AX B 在 中对任意素数 p 定义了一个方程组。A的行列式是 42 因此方程组在 中对于任意不能整除42的p (即所有不同于23和 7的p )具有唯一解。例如当计算模13的时候det A 3 。因为在 中 和 。
(译注以上疑似有误应该是 因此 。
因为 应该等于单位矩阵 修改后恰好满足这一条件。)
这个方程组在 和 中没有解。碰巧在 中有解尽管 。 具有列值在素数域 中的可逆矩阵提供了有限群的新示例即有限域上的一般线性群 {具有列值在素数域 中的可逆矩阵n × n}, {具有列值在素数域 中且具有行列式1的可逆矩阵n × n}。
例如列值位于 中的可逆 2 × 2 群含有6个元素
(3.2.9) 。
这个群与对称群众 是同构的。以上矩阵元素的列出阶序与 的元素的常规列表 一致。 素数域 的一个将其与 ℂ的子域区分开来的属性是循环将1加到其自身达一定的次数(事实上是p次)之后就给出了 0 的结果。作为加法群 的一个元素一个域F 的特征(characteristic)便是1 的阶数(假设阶数有限)。它是使得 1 的 m 个副本的总和 1 ... 1 的计算结果为零的最小的正整数。若1的阶数是有无限的即1 ... 1 在 永不为0 ,则称这个域具有特征0 (characteristic zero)这在某种程度上似乎有悖常理。因此ℂ 的子域有特征 0而素域 有特征 p。 引理 3.2.10 任意域 F 的特征要么是0要么是一个素数。
证明 为了避免引起混淆我们分别令 和 来表示域F中的加法玄元和乘法玄元。且若 是k一个正整数我们令 为 复制 k 次后相加的和。假设特征 m 不为 0。则 产生一个 的 m 阶循环子群H且 。则由 产生的循环子群 H 的不同元素 ( k 0,1,...,m - 1)(命题 2.4.2)。假设 m 不是素数比如说m rs 且 1 r ,s m 。则 和 在乘法群 中但是乘积 (等于 ) 不在 中。这与 是群的事实相矛盾。 素域 还具有另一个显著的属性
定理 3.2.11 乘法群的结构令 p 为素数。则素域的乘法群 是一个 p – 1 阶的乘法群。
我们将这个定理的证明推迟到第15章中进行在那里我们将证明每一个有限域的乘法群都是循环群(定理15.7.3)。 循环群 的一个生成元(generator)被称为模p原根(primitive root)。
存在两个模p原根即3 和 5以及四个模11原根。去掉上划线3 模 7 的原根的幂 , , ,... 按下列的次序列出了 的非零元素
(3.2.12) 。因此有两种方式可以用于列出 的非零元素即按加法和按乘法。若α 是模 p原根则
(3.2.13) 。 3.3 向量空间(VECTOR SPACES) 有了域的一些概念和例子之后我们继续进行向量空间的定义。
定义 3.3.1 一个域F上的一个向量公间V是一个集合与两个随后所述的合成律的结合体。这两个合成律为
(a) 加法V × V ⟶ V 对于 V 中的 v 和 w记为 v w ⇝ v w 。
(b) 按域的元素的标量乘F × V ⟶ V 对于 F 中的 c和 V 中的v 记为 c v ⇝ cv 。
这两条合成律需满足下面的公理 加法使得V 成为一个具有 0 作为玄元的交换群 。 对于V中的任意v 有 1v v 。 结合律对于 F 中的任意 a 和 b 以及 V中的任意v有 (ab)v a(bv)。 分配律对于 F 中的任意 a 和 b 以及 V中的任意v和 w有 (a b)v av bv 和 a(v w) av aw 。 当加法和标量乘如惯常定义(3.1.1)时列值位于域 F 的列向量空间 构成域F上的一个向量空间。 实向量空间(ℝ上的向量空间)的更多一些例子
例子 3.3.2
(a) 令 V ℂ 为复数集合。忽视关于两个复数的乘法。仅关注其两个复数的加法和一个复数α与一个实数 r 的标量乘法 rα 这两种运算。这两种运算使得 V 成为一个实向量空间。
(b) 实数多项式 的集合是一个实数向量空间以多项式加法和实数与多项式的标量乘法作为其合成律。
(c) 实数轴上连贯实数值函数的集合是一个实数向量空间它以函数加法 f g 和 实数与函数的乘法作为其合成律。
(d) 微分方程 的解的集合构成一个向量空间。
我们的每个例子都具有比我们将其视为向量空间时所看到的更多的结构这是很典型的。 任何特定的例子都肯定具有与其他示例区分开来的额外功能但这不是缺点。相反抽象方法的优势在于公理的结果可以应用于许多不同的情况。 子空间和同构这两个重要的概念与子群和群的同构类似。与 子空间一样一个域 F上的一个向量空间V的一个子空间 W 在加法和标量乘的合成律之下是一个非空的闭合子集。对于一个子空间W如果它既不是整个空间V又不是零子空间 {0} 则它是一个真子空间(proper subspace)。例如微分方程(3.3.2)(d)的解的空间是实数轴上所有连续函数构成的空间的真子空间。
命题 3.3.3 令 为列值位于域F的列向量向量空间。一个非零向量w的标量乘{cw}构成的V的每一个真子空间。不同的真子空间共有的向量仅为零向量。 证明命题3.1.4的证明对这个命题的证明继续有效,不再赘述。
例子 3.3.4 令 F 为素域 。空间 包含 个向量( ) 个向量非零。因为存在 p – 1 个非零标量由一个非零向量 w 所张成的子空间 W {cw} 将包含 p – 1 个非零向量。因此 包含 个真子集。 从一个向量空间V到另一个向量空间V’的一个同构φ(两个空间都基于同一个域F )是一个与两个合成律兼容双射映射 φ V ⟶ V ’即对于V中的任意v 和 w 以及F中的任意c这个双射使得
(3.3.5) φ(v w) φ(v) φ(w) 和 φ(cv) cφ(v)
成立。
例子 3.3.6
(a) 令 表示列值位于域F 中的n × n 矩阵的集合。这个集合是域F上的一个向量空间并且与长度为 的列向量空间同构。
(b) 如果我们将复数集合视为一个实向量空间(译注应理解为将复数的实部和虚部看成是实向量的两个分量)例如在 (3.3.2)(a)中发送 的映射 是一个同构。 3.4 (向量空间的)基底和维数(BASES AND DIMENSION) 我们讨论在向量空间中进行加法和标量乘法运算时使用的术语。涉及到的新概念有张成(span)、独立性(independence)和基底(basis)(译注有的书上又使用“base”可理解为以此为“基础”或以此为“根基”在不致引起混淆的情况下简称为“基”或“底”,因为在数学上使用“基”作为术语的数学分支不只一个比如指数的底数和进制表示的底数也称为“基”或“底”)。 在这里我们使用向量的有序集(ordered sets)。我们将无序集合放在大括号中并用圆括号将有序集合括起来以便清楚地区分。因此有序集合(v, w) 与有序集合 (w, v) 不同而无序集合 { v, w } 和 { w, v } 相等。有序集中允许重复。所以 (v, v, w) 是有序集合它与 (v, w) 不同与无序集合的约定相反其中 { v, v, w } 和 { v, w } 表示同一个集合。
令 V 为一个域 F上的一个向量空间并令 为 V 的元素的一个有序集。则 S 的一个线性组合(linear combination)是一个形如
(3.4.1) (其中 在 S 中 )
的向量。
允许标量出现在向量的任一侧会很方便。我们简单地约定如果v是向量而c 是标量则符号 vc 和 cv 代表同一个向量即通过标量乘法获得的向量。因此 。 矩阵表示法提供了一种紧凑的方式来书写线性组合并且我们在选择书写有序向量集的方式时考虑到了这一点。由于它的列值(entries)是向量因此我们将数组 称为超向量(hypervector)。向量空间的两个元素的乘法没有定义但我们确实有标量乘法。这就允许我们将 中的超向量 S 与一个列向量 X的乘积解释为矩阵乘法
(3.4.2) 。
通过计算右边的标量乘再向量加我们获得另一个向量—— 一个标量系数在右的线性组合。 我们取这个线性方程组的解的 的子空间W
(3.4.3) 或 AX 0 其中 A (2,-1,-2)
作为例子。方便的两个特解 和 及其一个线性组合 如下所示
(3.4.4) 。
若我们写成 且 如 (3.4.4)的记法并且 ,则这个线性组合可以按矩阵形式记为 SY。 由向量 的所有线性组合构成的向量集合构成V的一个子空间称其为由集合张成的子空间。
正如3.1节所述这个张成的子空间是V的含有S的最小子空间通常记为 Span S。 一个单一的向量 张成的子空间是 的标量乘 构成的空间。
人们也可以针对一个向量无限集定义张成空间我们将在3.7节讨论这个问题。现在我先假设集合是有限集。 引理 3.4.5 令 S 为V 向量的一个有序集并令W 为V 的一个子空间。若 S ⊂ W 则有 Span S ⊂ W (译注如上所述读作“这个张成的子空间是V的含有S的最小子空间”)。 一个列值在F 中的 m ×n 矩阵的列向量空间(column space)是由矩阵的列所张成的空间 的子空间。对此有一个重要的解释
命题 3.4.6 令 A 为一个m×n 矩阵并令 B 为一个列向量且两者列值都在域 F 中。则对于方程组 AX B 当且仅当 B 在 A 的列向量空间中时其具有一个位于 的 X 的解。
证明 令 ,..., 表示 A 的列。对于任意列向量 矩阵的积 AX 是列向量 。这是列值(列向量空间的元素)的一个线性组合并且若 AX B 则 B 便是这个线性组合。 向量 ... 之间的一个线性关系(linear relation)是计算结果为0的任意线性组合——即形如
( 3.4.7 )
的在V中成立的任意方程其中系数 在域 F 中。线性组合很有用因为若 不等于0则方程 ( 3.4.7 ) 可以对 求解。
定义 3.4.8 对于向量 的一个有序集若除了平凡的(trivial)(译注即显而易见的)线性组合( X 0这种情况即在其中所有系数 都是0)不存在线性组合 SX 0则称这个有序集是独立的(independent)或者线性独立的(linearly independent)。不是线性独立的集合则是线性相关的(dependent)。(译注线性独立性即线性无关性集合之间没有共同部分没有相似部分相反相关性即有相似性一个集合可以用另一个相关性的集合线性表示。) 一个独立的集合S 不能有任何重复向量。若S 的两个向量 和 是相等的则 是形如( 3.4.7 )的一个线性关系其它的系数均为0。此外在一个独立的集合中向量 没有等于0 的。因为若 是0 则 是一个线性关系。 引理 3.4.9
(a) 对于一个向量构成的集合 ,当且仅当 时其是独立的。
(b) 对于两个向量构成的集合 若任一向量都不是对方的倍数则这两向量是相互独立的。
(c) 一个独立集合的任意重排序仍是独立的。
假设 V 是空间 并且我们已知集合 中的向量的坐标向量。则方程 SX 0 给了我们一个含有n 个未知数 的m 个齐次(homogeneous)线性方程构成的方程组并且我们可以通过解这个方程组来确定其方程之间的独立性。
例子 3.4.10 令 为 中的向量集且其坐标向量分别是
(3.4.11) , , , 。
令 A 表示由这些列向量构成的矩阵
(3.4.12) 。
则一个线性组合将具有形式为 ,并且其坐标向量为 。齐次方程 AX 0 具有非平凡解(译注即非零解非显而易见的解需要费一定周折才能求得的解)因为它是含有4个未知数的三个齐次方程组。因此集合S是独立的。在另一方面由矩阵(3.4.12)前三列所构成的 3×3 矩阵 A’的行列式等于1因此方程 A’ X 0 仅有平凡解。因此 是一个独立集合。 定义 3.4.13 一个向量空间V 的一个基(basis)是一个线性无关且也张成向量空间V 的向量的集合 。 我们通常使用粗体符号(例如 B )来表示一个基。按以上定义的集合 是 的一个基因为方程 A’ X 0 对于所有的B都具有唯一解(见1.2.21)。按(3.4.4)定义的集合 是方程 的解空间的一个基尽管我们还没有验证它。 命题 3.4.14 对于集合 以及向量空间V 当且仅当V 中的每一个向量 w 都可以按唯一的方式写成一个线性组合 的时候这个向量 B 是V的一个基。
证明 称零向量仅可以按一种方式写成一个线性组按照这种表述可以重述独立性的定义。如果每一个向量都可以唯一地写成一个线性组合则 B 是独立的并张成 V 因此它是一个基(basis)。反之假如 B 是一个基。则 V 中的每一个向量 w都可以写成 B 的一个线性组合。假设 w 按两种方式写为线性组合比如 w BX BX’。令 Y X – X’,则 BY 0 ,这是向量 ,..., 之间一个线性组合这些向量是独立的 。因此X – X’ 0 , 这说明这两个线性组合是相同的。 令 为列向量空间。如前一样用 表示第i个位置为1而其它位置为0的列向量(见(1.1.24))。集合 是 的一个基称其为标准基(standard basis)。若 中一个向量的坐标向量是 则根据标准基 是v的唯一表达式。
我们现在讨论与张成(span)、独立性(independence)和基(basis)这三个概念相关的主要事实。最重要的事实是定理 3.4.18。
命题 3.4.15 令 为向量的一个有序集令 w 为 V 中的任意向量并令 S’ (S w ) 为通过将w 加到S 所获得的集合。 (a) 当且仅当 w 在 Span S 中时Span S Span S’ 。
(b) 假设 S 是独立的。则当且仅当w 不在 Span S 中时S’ 是独立的。
证明 这个内容非常基础因此我们略去大部分的证明。我们仅证明若 S 是独立的而 S’ 不是独立的则 w 在 Span S 中这种情况。若 S’ 是独立的则存在某种线性关系 ,
其中系数 ... 和 y 不全为0 。若系数 y是0则表达式缩减为 SX 0 ,且因为假设 S 是独立的我们也可以推断出 X 0 这关系是平凡的这与我们的假设是矛盾的。因此 y ≠ 0 ,则我们可以针对 w 求得 ,..., 的一个线性组合。 对于一个线性空间V若其可由某些有限向量张成则称其是有限维的(finite-dimensional)。否则称V是无限维的(infinite-dimensional)。
在本节余下的部分我们的向量都是有限维的。
命题 3.4.16 令V 为有限维向量空间。
(a) 令S为张成V 的有限子集并令 L为 V 的一个独立子集。通过将S的元素加到 L 的方式可以获得V 的一个基。
(b) 令S 为张成V 的有限子集。通过从S 中删去元素的方式可以获得V 的一个基。
证明 (a) 若 S 包含于 Span L 中则L张成V因此它是一个基(3.4.5)。否则我们先择S中的一个不在Span L 中的元素v 。根据命题 3.4.15 L’ (Lv)是独立的。我们用L替换 L’。因为S是有限的通常我们仅对有限维的情况可以这样做。因此最终我们获得一个基。 (b) 假如S是独立的则存在一个线性关系 , 其中某些系数(比如说 ) 不为0。我们可以针对 解这个方程,这就证明了 在由前面 (n - 1)个向量的集合 所张成的空间中。继续按这种方式进行下去最后我们会获得一族独立且仍旧张成空间V 的一族基。
注意按这个推理当V是零向量空间{0}的时候会存在一个问题。以V中向量的任一个集合S开始所有向量都等于0我们的处理例程将一次扔掉一个向量直到只有一个向量 留下。而又因为 是0集合
是相关的。我们如何进行下去呢零空间并不是特别有趣但它可能潜伏(lurk)在角落里随时准备绊倒我们(trip us up)。我们必须考虑到在某些计算(例如求解齐次线性方程组)过程中出现的向量空间为零空间的可能性尽管我们没有意识到这一点。为了避免将这种可能性作为特殊情况提及我们采用以下定义
(3.4.17) 空集合是独立的。 空集合张成的空间是零空间{0} 。
根据这个定义则空集是零向量空间的一个基。这些定义允许我们扔掉最后一个向量 这样就挽救了以上这种证明方法。 现在我们触及到了关于独立性的主要事实
定理 3.4.18 令 S 和 L 为一个向量空间V的有限子集。假设S 张成V 且L 是独立的。则S 至少包含与 L 一样多的元素| S | ≥ | L |。 如前一样| S |表示阶即集合 S 的元素个数。
证明 假设 和 。我们假设 |S||L| 即m n我们证明 L是独立的。为了实现这一点我们证明存在一个线性关系 ,其中系数 不全为0。我们将这个不确定的关系记为 LX 0。 因为 S 张成 V L的每一个元素 都是S的一个线性组合比如说 其中 是系数的列向量。我们将这些列向量组成一个 m × n 矩阵 (3.4.19) 。
则
3.4.20) 。
我们在未确定的线性组合中用SA替换L LX (SA)X 。
标量乘的结合律意味着 (SA)X S(AX )。这个证明与标题矩阵乘法的结合律的证明一样(我们略去)。若 AX 0 则我们的线性组合 LX 也将为0。现在因为 A 是一个 m×n ( m n )矩阵这个齐次方程组具有非平凡解 X 。则 LX 0 正是我们所求的线性关系。 命题 3.4.21 令V为一个有限维向量空间。
(a) V 的任意两个基(bases)(译注basis的复数bases)具有相同的阶(相同的元素数目)。
(b) 令 B为一个基。若一个有限向量集S 张成 V则当且仅当S是一个基的时候 |S | ≥ |B| 。
(c) 令 B为一个基。若一个向量集是独立的则 | L| ≤ |B| 且当且仅当 L是一个基的时候| L | |B| 。
证明 (a) 在这里我们指出两个有限基 和 具有相同的阶在推论3.7.7中我们将证明一个有限维向量空间的任一个基都是有限维的。在定理3.4.18中取 和 即可证明 类似地有 。 (b)和(c)部分可从(a)和命题3.4.16推断。
定义 3.4.22 一个有限维向量空间的维数是其一个基中的向量的数目。 维数将记为 div V 。 列向量空间 的维数是n因为标准基 含有n 个元素。
命题 3.4.23 若 W 是一个有限维向量空间 V 的一个子空间则 W 是有限维的且 div W ≤ div V 。此外当且仅当 W V 时有 div W div V 。
证明 我们以W中任意独立的向量集 L开始有可能是空集。若L不张成 W 我们选取在 W中但不在L的张成空间的一个向量w 。则 L’ (L , w)将是独立的(3.4.15)。我们用 L’替换L 。 现在很明显的是若 L是W的一个独立子集则将其视为 V 的一个独立子集时它也是独立的。因此定理 3.4.18 告诉我们 | L|≤ dim V。因此将元素加入到 L的这个过程必须会有结束的时候,且当它结束的时候我们将得到W的一个基。因为L包含最多 dim V 个元素因此div W ≤ div V 。因为 | L| div V 则命题 3.4.21 (c)证明 L 是 V 的一个基因此W V 。 3.5 用基进行计算(COMPUTING WITH BASES) 基数目的是提供一种计算方法我们在本节中学习如何使用它们。 我们考虑两个主题如何根据基表达向量以及如何将同一向量空间的不同基关联起来。
假设给到我们一个域F上的一个向量空间V 的一个基 。记住这意味着在向量空间V 中的每一个向量都可以恰好按一种方式(3.4.14)被表述为一个线性组合
(3.5.1) ( 在域 F 中 )。
标量 是向量 v 关于基B的坐标(coordinates)而列向量
(3.5.2) 是向量 v 关于基B的坐标向量(coordinate vector)(译注即向量在基上的各个分量)。
例如(cos(t),sin(t))是微分方程 y’’ -y 的解空间的一个基。这个方程的每一个解都是这个基的一个线性组合。若给到我们另一个解f (t),则 f (t) 的坐标向量 是使得 成立的向量。显然为了求得 X 我们需要知道 f 的某些东西。不需要太多只要确定两个系数足可。f 的大部分属性隐含于其作为这个微分方程的解这个事实中的。 如果已知一个维数为 n 的向量空间的一个基B我们总是可以定义一个从空间 到 V 的向量空间同构(isomorphism of vector spaces)(见3.3.5)
3.5.3)
这个同构发送 X ⇝ BX 。我们通用B表示这个同构,因为它发送了一个向量X 到 BX。
命题 3.5.4 令 为一个向量空间V 的一个子集并令 为由 所定义的映射。则
(a) 当且仅当S是独立的时候ψ是单射的(injective)
(b) 当且仅当S是张成V的时候ψ是满射的(surjective)和
(c) 当且仅当S是V的一个基的时候ψ是双射的(bijective)。
以上可以从独立张成和基的定义推导出。 已知一个基可通过对映射ψ (3.5.3)求逆的方式获得V中一个向量v的坐标向量。除非明确地给出一个基否则我们没有求逆函数的公式但是同构的存在性是有趣的
推论 3.5.5 一个域 F 上的每一个n维向量空间V 都与列向量空间 同构。
另请注意当 m ≠ n的时候 与 不同构因为 具有n个元素的基而基的元素的数目仅取决于向量空间。因此一个域 F上的有限维向量空间完全是被分类的。列向量空间 是同构类的代表元素。 一旦选定了一个基一个n 维列向量空间与 是同构的这个事实允许我们将向量空间上的问题转换到熟悉的列向量代数问题。 遗憾的是同一向量空间V具有很多不同的基。当持有一个自然基的时候将向量空间V 与一个同构空间 关联起来是十分有用的。在这种情况下我们必需选择坐标即必需变换基。 例如一个齐次线性方程 AX 0 的解空间几乎从不会有自然基。方程 的解空间 W 维数是2此前我们列出过一个基 其中 (见 (3.4.4))。使用这个基我们获得了一个向量空间同构 我们可以使用B 来表示。因为方程中的未知数标为 在这里我们必须为 的变元选择另一个符号。我们将使用 。这个同构B 将Y 发送到 如(3.4.4)所示。 然而这两个特解 和 并没什么特别之处。大部分其它的解对(pairs)同样契合良好。解 和 给到了我们 W 的第二个基 。以上任一基都足以唯一地描述方程的解空间。方程的一个解可以写成以下任一形式
(3.5.6) 或 。 3.5.1 换基(Change Of Basis) 假设给到我们同一个向量空间V的两个基比如 和 。我们希望执行两个计算。首先我们要问这两个基之间是怎样的关系第二V中的一个向量v 针对这些基中的第一个基都有一个坐标向量。因此我们要问这两个坐标向量之间是怎样的关系这些是有关换基的计算并且它们在此后的章节中也十分重要。如果你不存细地组织好这些符号它们可以令你发疯。 我们姑且将B视为旧的基而将B’ 视为新的基。我们注意到新的基B’ 的每一个向量都是旧的基的一个线性组合。我们将这个线性组合写为
(3.5.7) 。
当使用旧的基向量进行计算的时候列向量 是新的基向量 的坐标向量。我们将这些列向量聚成一个方阵P获得了一个矩阵方程 B’ B P
(3.5.8) 。
这个矩阵是 P 换基矩阵(basechange matrix)(注这个换基矩阵是在第一版中使用的矩阵的逆矩阵)。 命题 3.5.9
(a) 令 B和 B’ 为一个向量空间V的两个基换基矩阵 P 是由两个基B和 B’ 唯一地确定的一个可逆矩阵。
(b) 令 为一个向量空间V的一个基另外的基是形如 B’ B P 的集合其中 P 可以是任意可逆的 n ×n 矩阵。
证明 (a) 方程 B’ B P 将基向量 描述为基 B 的一个线性组合。公有一种方式描述这个线性组合(3.4.14)因此P是唯一的。为了证明P是可逆矩阵我们交换B和B’的角色。存一个矩阵 Q 使得 B B’ Q 。则 B B’ Q B P Q 或者 。这个方程将每个 描述为向量 的一个线性组合。这个乘法矩阵 P Q 的列值是系数。但是因为B是一个基仅有一种方式将 表述为 向量 的一个线性组合即 或者按矩阵记法B B I 。因此P Q I 。 (b) 我们必须证明若 B 是一个基且若P是一个可逆矩阵则 B’ B P 也是一个基。因为P是一个可逆矩阵则 。这表明向量 在基B’ 所张成的空间中因此B’ 张成V又因为它具有与 B 同样多的元素数目因此它是一个基。 令 X 和 X ’ 为同一任意向量 v 分别针对两个基进行计算得到的坐标向量即v BX 和 v B X ’ 。使用替换 便给到我们矩阵方程
(3.5.10) 。
这就证明了v 针对新的基 B’ 的坐标向量是 我们称为 X ’ 。 概言之我们有一个单一矩阵 P (即换基矩阵)具有双重属性
(3.5.11) B’ B P 和 P X ’ X
其中X 和 X ’ 表示同一任意向量 v 针对两个基的坐标向量。这两个属性的每一个都刻画了 P 。请注意P 在这两种关系中的位置。 再次回到方程 令 B和 B’ 为如上所描述的(3.5.6)解空间W 的基。换基矩阵求解方程 。即 。
已经向量 v 针对两个基的坐标向量Y 和 Y ’ (在(3.5.6)中出现过)是按方程 。
另一个例子令 B (cos(t),sin(t)) 为微分方程 的解空间的一个基。若我们允许复数值函数则指数函数 也是一个解并且 是解空间的一个新的基。这个换基计算是
(3.5.12) 。
换基矩阵容易确定的一种情况是V 是列向量空间 则旧基是标准基 而新的基可以是任意的我们仍用 表示。令 针对标准基的坐标向量是列向量 。因此 。我们将这些列向量组装成一个n×n 矩阵并用[B]表示
(3.5.13) 。则 ,
即[B] E[B] 。因此[B] 是从标准基E 到 B的换基矩阵。 3.6 (子空间的)直和(DIRECT SUMS)
一个向量集的独立和张成的概念对子空间而言具有类似之处。若 , ... , 是一个向量空间V的子空间则向量v 的集合可以写为和式
(3.6.1)
其中 在 中以上向量v的集合表达式被称为子空间的和(sum)或者子空间的张成(span)并使用记法 来表示这个和
(3.6.2) 且 在 中
这个子空间的和是含有所有子空间 , ... , 的V 的最小子空间。它类似于向量的一个集合的张成。 对于子空间 ,... , , 若不存在和 ( 在 中 ) , 则除开平凡和(对于所有i , )这种情况,称其为独立的。换句话说若
(3.6.3) ( 在 中 )
意味着对每一个 i 都有 则空间是独立的。
注意假设 是V 的元素并令 为向量 的张成。则当且仅当集合 是独立的时候子空间 是独立的。如果我们对比(3.4.8) 和 (3.6.3) 这一点就变得显而易见。根据子空间的概念这个表述事实上更为简洁因为在(3.6.3)中标量系数不必置于向量 的前面。由于每个 在标量乘的定律下是闭合的一个标量乘 只不过是 的另一个元素而已。 我们忽略以下命题的证明。
命题 3.6.4 令 ... 是有限维向量空间V 的子空间并令 为 的一个基 。
(a) 下面的条件是等价的 子空间 是独立的其和 等于 V 。 通过追加基 所获得的集合 是V 的一个基。
(b) 当且仅当每个子空间 独立的时候可取得等号。
(c) 若对于 i 1 ,.., k 是 的子空间并且若空间 是独立的则其子空间 也是独立的。
若满足命题 3.6.4 (a) 的条件则我们称 V 是子空间 的直和(direct sum)(译注即由所有独立的子空间构的和且恰好等于整个向量空间V )我们记为
(3.6.5) 若 且 是独立的则 。
若 V 是各子空间的直和则 V 中的每一个向量v 都可以恰好以一种方式写成(3.6.1)的形式。
命题 3.6.6 令 和 为一个有限维向量空间 V 的子空间。
(a) 。
(b) 当且仅当 时 和 是独立的。
(c) 当且仅当 且 时V 是直和 。
(d) 若 则存在 一个的一个子空间 使得 。
证明 我们证明关键部分(a)我们选取 的一个基 , 并将其扩展为 的一个基 。我们也将扩展成 的一个基 。则 , 和 。如果我们证明 个元素的集合 是 的一个基这个论断将顺承。 我们必须证明 (U , V , W ) 是独立的并且张成 。 的一个元素具有形如 的形式其中 在 中而 在 中。根据 的基 U , V )我们将 写成诸如 。我们与将 写成 的基 (U , W )的一个线性组合 。则 。 下一步假设给到我们一个向量(U , V , W )元素之间的线性关系 UX VY WZ 0 。我们将其写为 UX VY -WZ 。这个方程的左边在 中而方程的右边在 中。因此-WZ 在 中因此它是基 U的线性组合 U X’ 。这给予我们一个方程 UX’ WZ 0 。因为集合 (U , W) 是 的一个基它是独立的因此X’ 和 Z 只能是 0 。这个已经关系就缩减为 UX VY 0 。但是(U , V )也是一个独立集合。因此X 和Y 是0 。这个关系是平凡的。 3.7 无限维空间(INFINITE-DIMENSIONAL SPACES) 那种太大而不通过通有限向量集张成的空间被称为无限维向量空间(infinite-dimensional)。我们并不经常需要它们但它们在分析中是非常重要的因此我们在此作简要讨论。 无限维向量空间最简单例子之一便是无限实行向量空间 (3.7.1) 。
一个无限维向量可以视为一个实数序列 。 空间 具有许多无限维子空间。在此列举几个读者也可以编造更多
例子 3.7.2
(a) 收敛序列 极限 存在 。
(b) 绝对收敛级数 。
(c) 具有有限多项不同于0的项的序列。 (对除了有限多n 的所有项) 。
现在假设V是一个有限维或无限维向量空间。一个向量无限集的“张成(span)”指的是什么呢将一个值赋予一个无限的线性组合 并非总是可能。若是向量空间 ,如果级数 是收敛的则可以赋予其一个值。但是很多级数不收敛那么我们并不知道应该赋予什么值。在代数中习惯于仅讨论有限多个向量的线性组合。一个无限集S的张成被定义为向量v 的集合这些向量v 是有限多个S 的元素的线组合的
(3.7.3) (其中 在 S 中)。
S 中的向量 可以是任意的允许数 r 依赖于向量v 并且可以任意大
(3.7.4) Span S { S 的元素的有限线性组合}。
例如令 为 中的行向量且 1 作为其唯一非零坐标在第i个位置。令 为这些向量的集合。这个集合不会张成 因为向量 不是一个(有限)线性组合。集合 E 的张成是子空间 Z (3.7.2)(c)。 对于一个有限或无限集 S 若除了平凡关系(即 )不存在有限线性关系
(3.7.5) (其中 在 S 中),
则称集合 S 是独立的。此外允许数 r 取任意值,即对任意大的 r 和 S 的任意元素 这个条件都一定成立。例如令 ,若 w 和 是如上定义的元素则其是独立的。根据独立性的这个定义命题3.4.15 继续有效。 与有限集一样V 的一个基S 是张成 V 的一个独立集合。集合 是空间 Z的一个基。单项式(monomials) 组成多项式空间(polynomials space)的一个基。使用 Zorn引理(Zorn’s lemma)和选择公理(Axiom o f Choice), 可以证明每一个向量空间都有一个基(见附录命题A.3.3)。然而 的基有无数多个元素并且不能说得非常准确。
让我们暂时回到向量空间 V 是有限维的情况(3.4.16)并询问是否可以有无限基。 我们在(3.4.21)中看到任何两个有限基都有相同数量的元素。我们现在通过证明每个基都是有限的来完成这个图景。这是从下一个引理得出的。
引理 3.7.6 令V 为一个有限维向量空间令S 为张成V 的任间集合。则 S 包含张成V 的有限子集。
证明 假设存在一个有限集比如 ,它张成V。因为S张成V所以每个向量 都是S的有限多个元素的一个线性组合。我们用于将向量的所有元素写成线性组合的S的元素组成S的一个有限子集S ’ 。则这个向量 在 Span S ’ 中又因为 张成V, 因此S ’ 也张成V 。 推论 3.7.7 令V 为一个有限维向量空间。 每一个基都是有限的。 张成V 的每一个集合S 都有一个基。 每一个独立集合L是有限的且可被扩展成一个基。 I dont need to learn 8 7: Ill remember 8 8 and subtract 1. (我不必学习 8 7: 我将记住 8 8 并减1 ) ——T. Cuyler Young, Jr. 内容来源
Algebra Michael Artin, 2th
