注册网站会员有风险吗,app免费软件,wordpress上传算流量吗,免费推广引流怎么做文章目录 1、导数的概念1.1、引例1.1.1、变速直线运动瞬时速度1.1.2、曲线的切线 1.2、导数的定义1.3、证明常用导数1.4、导数的几何意义1.5、可导与连续的关系 2、函数的求导法则2.1、函数的和、差、积、商的求导法则2.2、反函数的求导法则2.3、复合函数的求导法则2.4、基本初… 文章目录 1、导数的概念1.1、引例1.1.1、变速直线运动瞬时速度1.1.2、曲线的切线 1.2、导数的定义1.3、证明常用导数1.4、导数的几何意义1.5、可导与连续的关系 2、函数的求导法则2.1、函数的和、差、积、商的求导法则2.2、反函数的求导法则2.3、复合函数的求导法则2.4、基本初等函数的导数公式 3、高阶导数3.1、高阶导数的公式 4、隐函数和参数方程确定的函数的导数4.1、隐函数的导数4.2、由参数方程所确定的函数的导数4.3、相关变化率 5、函数的微分5.1、引例5.2、定义5.3、可微与可导5.4、微分的几何意义5.5、微分的运算法则 1、导数的概念
1.1、引例
1.1.1、变速直线运动瞬时速度
这个问题描述的是假设有一个物品从 a a a时刻一直运动到 b b b时刻如何刻画它在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上的某一点的速度呢 s f ( t ) s f(t) sf(t)
第一种情况匀速 如果是匀速直线运动的话即我们算出这一段路程的位移再算出它的时间两个相除即为速度 v f ( b ) − f ( a ) b − a v\frac{f(b)-f(a)}{b-a} vb−af(b)−f(a)
第二种情况变速 变速运动我们想要看某一点上的瞬时速度尝试能不能转化为第一种匀速的情况呢 如果我们想看一点 t 0 t_0 t0的瞬时速度那么我们就想到取一个 Δ t \Delta t Δt如果这个 Δ t \Delta t Δt足够小 t 0 Δ t t_0\Delta t t0Δt的变化肯定小那么它的速度变化也肯定是比较小的也就近似可以看成是一段匀速运动 当 t 0 t_0 t0与 t 0 Δ t t_0\Delta t t0Δt非常接近时近似一个匀速运动匀速运动的平均速度即为 f ( t 0 Δ x ) − f ( t 0 ) Δ x 平均速度 ≈ 瞬时速度 \frac{f(t_0\Delta x)-f(t_0)}{\Delta x}平均速度\approx 瞬时速度 Δxf(t0Δx)−f(t0)平均速度≈瞬时速度 而上面的接近过程就可以用极限来表示 lim Δ t → 0 f ( t 0 Δ t ) − f ( t 0 ) Δ t \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t_0\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t} Δt→0limΔtf(t0Δt)−f(t0) 此时平均速度就转化为了 t 0 t_0 t0这一点的瞬时速度
1.1.2、曲线的切线 f ( x ) f(x) f(x)上有两点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 0 Δ x , f ( x 0 Δ x ) ) , (x_0,f(x_0)),(x_0\Delta x,f(x_0\Delta x)), (x0,f(x0)),(x0Δx,f(x0Δx)),过这两点做一条直线记为割线 割线的斜率 k 割 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x k_割\frac{f(x_0\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} k割Δxf(x0Δx)−f(x0)
而当 x 0 Δ x 与 x 0 x_0\Delta x与x_0 x0Δx与x0无限接近时按照做割线的方法再做一条线即割线的极限记为切线 而既然割线的斜率我们知道怎么求那自然切线的斜率也就出来了只要取一个极限即可 k 切 lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x k_切\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} k切limΔx→0Δxf(x0Δx)−f(x0)
1.2、导数的定义
定义若 lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} limΔx→0Δxf(x0Δx)−f(x0)存在 则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0点可导记作 f ′ ( x ) y ′ ∣ x x 0 d y d x ∣ x x 0 f^\prime(x)y\prime|_{x x_0}\frac{dy}{dx}|_{x x_0} f′(x)y′∣xx0dxdy∣xx0 f ′ ( x 0 ) lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 lim Δ x → 0 Δ y Δ x f^\prime(x_0)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} f′(x0)Δx→0limΔxf(x0Δx)−f(x0)x→x0limx−x0f(x)−f(x0)Δx→0limΔxΔy
若以上极限不存在则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处不可导 若极限为无穷大则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处导数为无穷大
左导数定义 f − ′ ( x 0 ) lim Δ x → 0 − f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x lim x → x 0 − f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^\prime_-(x_0)\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} f−′(x0)Δx→0−limΔxf(x0Δx)−f(x0)x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)
右导数定义 f ′ ( x 0 ) lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f^\prime_(x_0)\lim_{\Delta x \to 0^}\frac{f(x_0\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\lim_{x \to x_0^}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} f′(x0)Δx→0limΔxf(x0Δx)−f(x0)x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
左右导数与导数的关系可导 ⇚ ⇛ \Lleftarrow\Rrightarrow ⇚⇛左右导数存在且相等
区间上可导 1、若 f ( x ) f(x) f(x)开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上每一点都可导而每一点的函数值形成的新函数我们称为导函数记为 f ′ ( x ) , x ∈ ( a , b ) f^\prime(x),x\in(a,b) f′(x),x∈(a,b) 2、若上述区间为闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]那么不仅要求区间内每点可导而且还要求端点 a a a右可导端点 b b b左可导
1.3、证明常用导数
(1)、 ( x α ) ′ a x α − 1 ( x 0 ) (x^\alpha)^\prime ax^{\alpha-1}(x 0) (xα)′axα−1(x0)
【证明】 lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x ( x Δ x ) α − x α Δ x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\frac{(x\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x} limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)Δx(xΔx)α−xα x α [ ( 1 Δ x x ) α − 1 ] Δ x x α α Δ x x Δ x α x α − 1 \frac{x^\alpha[(1\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1]}{\Delta x}\frac{x^\alpha\alpha\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}\alpha x^{\alpha -1} Δxxα[(1xΔx)α−1]ΔxxααxΔxαxα−1
(2)、 ( a x ) ′ a x ln a ( a 0 , a ≠ 1 ) (a^x)^\primea^x\ln a (a0,a≠1) (ax)′axlna(a0,a1)
【证明】 由 lim x → 0 a x − 1 ∼ x ln a \lim_{x \to 0}a^x-1\sim x\ln a limx→0ax−1∼xlna lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x lim Δ x → 0 a x Δ x − a x Δ x lim Δ x → 0 a x [ a Δ x − 1 ] Δ x lim Δ x → 0 a x Δ x ln a Δ x a x ln a \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x\Delta x}-a^x}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^x[a^{\Delta x}-1]}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^x\Delta x\ln a}{\Delta x}a^x\ln a limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)limΔx→0ΔxaxΔx−axlimΔx→0Δxax[aΔx−1]limΔx→0ΔxaxΔxlnaaxlna
(3)、 ( log a x ) ′ 1 x ln a ( a 0 , a ≠ 1 ) (\log_ax)^\prime\frac{1}{x\ln a}(a0,a≠1) (logax)′xlna1(a0,a1)
【证明】
由 lim x → 0 log a ( 1 x ) ∼ x ln a \lim_{x \to 0}\log_a(1x)\sim x\ln a limx→0loga(1x)∼xlna lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x lim Δ x → 0 log a ( x Δ x ) − log a x Δ x lim Δ x → 0 log a ( 1 Δ x x ) Δ x lim Δ x → 0 Δ x x ln x Δ x 1 x ln x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a(x\Delta x)-\log_a{x}}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a(1\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln x}}{\Delta x}\frac{1}{x\ln x} limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)limΔx→0Δxloga(xΔx)−logaxlimΔx→0Δxloga(1xΔx)limΔx→0ΔxxlnxΔxxlnx1
(4)、 ( sin x ) ′ cos x (\sin x)^\prime\cos x (sinx)′cosx
【证明】 lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x sin ( x Δ x ) − sin x Δ x 2 sin ( Δ x 2 ) × cos ( 2 x Δ x 2 ) Δ x 2 Δ x 2 cos ( 2 x Δ x 2 ) Δ x cos x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\frac{\sin(x\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\frac{2\sin(\frac{\Delta x}{2})\times \cos(\frac{2x\Delta x}{2})}{\Delta x}\frac{2\frac{\Delta x}{2}\cos(\frac{2x\Delta x}{2})}{\Delta x}\cos x limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)Δxsin(xΔx)−sinxΔx2sin(2Δx)×cos(22xΔx)Δx22Δxcos(22xΔx)cosx
(5)、 ( cos x ) ′ − sin x (\cos x)^\prime-\sin x (cosx)′−sinx
【证明】 lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x cos ( x Δ x ) − cos x Δ x − 2 sin ( 2 x Δ x 2 ) sin ( Δ x 2 ) Δ x − 2 Δ x 2 sin ( 2 x Δ x 2 ) Δ x − sin x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\frac{\cos(x\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\frac{-2\sin(\frac{2x\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}\frac{-2\frac{\Delta x}{2}\sin(\frac{2x\Delta x}{2})}{\Delta x}-\sin x limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)Δxcos(xΔx)−cosxΔx−2sin(22xΔx)sin(2Δx)Δx−22Δxsin(22xΔx)−sinx
1.4、导数的几何意义
在引例中我们详细说过导数的几何意义 导数 f ′ ( x 0 ) f^\prime(x_0) f′(x0)在几何上表示曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x)在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))处切线的斜率 切线方程 y − y 0 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0f^\prime(x_0)(x-x_0) y−y0f′(x0)(x−x0) 法线方程 y − y 0 − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0 -\frac{1}{f^\prime(x_0)}(x-x_0) y−y0−f′(x0)1(x−x0)
1.5、可导与连续的关系
可导 ⇛ ⇛ ⇛ 连续
【证明】 即证 lim Δ x → 0 Δ y 0 \lim_{Δ x → 0}Δ y0 limΔx→0Δy0 ∵ Δ y Δ y Δ x Δ x ∵Δ y\frac{Δ y}{Δ x}Δ x ∵ΔyΔxΔyΔx ∵ Δ y Δ x → 0 , Δ x → 0 ∵\frac{Δ y}{Δ x}\to 0,Δ x→0 ∵ΔxΔy→0,Δx→0 ∴ lim Δ x → 0 Δ y 0 ∴\lim_{Δ x\to0}Δ y0 ∴limΔx→0Δy0 证毕
注意连续无法推出可导 例如 1、 y ∣ x ∣ y|x| y∣x∣在 x 0 x0 x0处虽然连续并且左右导数都存在但它的左右导数并不相等故不可导 2、 y x 1 3 yx^\frac{1}{3} yx31在 x 0 x0 x0处虽然连续并且也有一条切线y轴但它的导数是无穷大故也不可导 3、 y { x sin 1 x x ≠ 0 0 , x 0 y\begin{cases} x\sin\frac{1}{x} x≠0 \\ 0, x0 \\ \end{cases} y{xsinx10,x0x0,虽然这个函数连续但左右导数都不存在故不可导
2、函数的求导法则
2.1、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1、设 u ( x ) , v ( x ) u(x),v(x) u(x),v(x)都可导,则 1、 ( u ± v ) ′ u ′ ± v ′ (u ± v)^′u^′±v^′ (u±v)′u′±v′ 2、 ( u v ) ′ u ′ v u v ′ (uv)^′u^′vuv^′ (uv)′u′vuv′ 3、 ( u v ) ′ u ′ v − v ′ u v 2 ( v ≠ 0 ) (\frac{u}{v})^′\frac{u^′v-v^′u}{v^2}(v≠0) (vu)′v2u′v−v′u(v0) 【证明 ( u v ) ′ u ′ v ′ (uv)^′u^′v^′ (uv)′u′v′】 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x u ( x Δ x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) − v ( x ) Δ x \frac{f(xΔx)-f(x)}{Δx}\frac{u(xΔx)v(xΔx)-u(x)-v(x)}{Δx} Δxf(xΔx)−f(x)Δxu(xΔx)v(xΔx)−u(x)−v(x) 故 lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x lim Δ x → 0 u ( x Δ x ) − u ( x ) Δ x lim Δ x → 0 v ( x Δ x ) − v ( x ) Δ x u ′ v ′ \lim_{Δx→0}\frac{f(xΔx)−f(x)}{Δx}\lim_{Δx→0}\frac{u(xΔx)-u(x)}{Δx}\lim_{Δx→0}\frac{v(xΔx)-v(x)}{Δx}u^′v^′ limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)limΔx→0Δxu(xΔx)−u(x)limΔx→0Δxv(xΔx)−v(x)u′v′ 证毕
【证明 ( u v ) ′ u ′ v u v ′ (uv)^′u^′vuv^′ (uv)′u′vuv′】 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x u ( x Δ x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x \frac{f(xΔx)-f(x)}{Δx}\frac{u(xΔx)v(xΔx)-u(x)v(x)}{Δx} Δxf(xΔx)−f(x)Δxu(xΔx)v(xΔx)−u(x)v(x) u ( x Δ x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) v ( x Δ x ) u ( x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x \frac{u(xΔx)v(xΔx)-u(x)v(xΔx)u(x)v(xΔx)-u(x)v(x)}{Δx} Δxu(xΔx)v(xΔx)−u(x)v(xΔx)u(x)v(xΔx)−u(x)v(x) 故 lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x lim Δ x → 0 u ( x Δ x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) v ( x Δ x ) Δ x lim Δ x → 0 u ( x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x \lim_{Δx→0}\frac{ f(xΔx)−f(x) }{Δx}\lim_{Δx→0}\frac{u(xΔx)v(xΔx)−u(x)v(xΔx)}{Δx}\lim_{Δx→0}\frac{u(x)v(xΔx)−u(x)v(x)}{Δx} limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)limΔx→0Δxu(xΔx)v(xΔx)−u(x)v(xΔx)limΔx→0Δxu(x)v(xΔx)−u(x)v(x) u ′ v u v ′ u^′vuv^′ u′vuv′ 证毕
【证明 ( u v ) ′ u ′ v − v ′ u v 2 ( v ≠ 0 ) (\frac{u}{v})^′\frac{u^′v-v^′u}{v^2}(v≠0) (vu)′v2u′v−v′u(v0)】 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x u ( x Δ x ) v ( x Δ x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x u ( x Δ x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x Δ x ) v ( x Δ x ) v ( x ) Δ x \frac{f(xΔx)-f(x)}{Δx}\frac{\frac{u(xΔx)}{v(xΔx)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{Δx}\frac{u(xΔx)v(x)-u(x)v(xΔx)}{v(xΔx)v(x)Δx} Δxf(xΔx)−f(x)Δxv(xΔx)u(xΔx)−v(x)u(x)v(xΔx)v(x)Δxu(xΔx)v(x)−u(x)v(xΔx) u ( x Δ x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x Δ x ) v ( x Δ x ) v ( x ) Δ x \frac{u(xΔx)v(x)-u(x)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(xΔx)}{v(xΔx)v(x)Δx} v(xΔx)v(x)Δxu(xΔx)v(x)−u(x)v(x)u(x)v(x)−u(x)v(xΔx) 即 lim Δ x → 0 f ( x Δ x ) − f ( x ) Δ x lim Δ x → 0 u ( x Δ x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x Δ x ) v ( x Δ x ) v ( x ) Δ x u ′ v − u v ′ v 2 \lim_{Δx →0}\frac{f(xΔx)-f(x)}{Δx}\lim_{Δx \to 0}\frac{u(xΔx)v(x)-u(x)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(xΔx)}{v(xΔx)v(x)Δx}\frac{u^′v-uv^′}{v^2} limΔx→0Δxf(xΔx)−f(x)limΔx→0v(xΔx)v(x)Δxu(xΔx)v(x)−u(x)v(x)u(x)v(x)−u(x)v(xΔx)v2u′v−uv′ 证毕
2.2、反函数的求导法则
定理设区间 I I I上严格单调且连续的函数 x f ( y ) xf(y) xf(y)在 y y y处可导,且 f ′ ( y ) ≠ 0 , f^′(y)≠0, f′(y)0,则它的反函数 y f − 1 ( x ) yf^{-1}(x) yf−1(x)在对应点可导且 ( f − 1 ) ′ ( x ) 1 f ′ ( y ) , d y d x 1 d x d y (f^{-1})^′(x)\frac{1}{f^′(y)},\frac{dy}{dx}\frac{1}{\frac{dx}{dy}} (f−1)′(x)f′(y)1,dxdydydx1 注意严格单调且连续是为了保证一定有反函数 1 、 ( arcsin x ) ′ 1 1 − x 2 1、(\arcsin x)^′ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1、(arcsinx)′1−x2 1 2 、 ( arccos x ) ′ − 1 1 − x 2 2、(\arccos x)^′-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 2、(arccosx)′−1−x2 1 3 、 ( arctan x ) ′ 1 1 x 2 3、(\arctan x)^′\frac{1}{1x^2} 3、(arctanx)′1x21 4 、 ( a r c c o t x ) ′ − 1 1 x 2 4、(arccot\ x)^′-\frac{1}{1x^2} 4、(arccot x)′−1x21 【证明 ( arcsin x ) ′ 1 1 − x 2 (\arcsin x)^′ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′1−x2 1】 y arcsin x y \arcsin x yarcsinx 的反函数为 x sin y x\sin y xsiny 根据反函数的求导反则 ( arcsin x ) ′ 1 ( sin y ) ′ 1 cos y 1 1 − sin 2 y 1 1 − x 2 (\arcsin x)^′\frac{1}{(\sin y)^′}\frac{1}{\cos y}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′(siny)′1cosy11−sin2y 11−x2 1 另外三个同理
2.3、复合函数的求导法则
定理(链式法则)设 u g ( x ) ug(x) ug(x)在 x x x可导 y f ( u ) yf(u) yf(u)在对应 u u u处可导则 y f [ g ( x ) ] yf[g(x)] yf[g(x)]在 x x x处可导且 d y d x d y d u d u d x f ′ ( u ) g ′ ( x ) \frac{dy}{dx}\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}f^′(u)g^′(x) dxdydudydxduf′(u)g′(x)
2.4、基本初等函数的导数公式 1 、 ( C ) ′ 0 1、(C)^′0 1、(C)′0 2 、 ( x a ) ′ a x a − 1 2、(x^a)^′ax^{a-1} 2、(xa)′axa−1 3 、 ( a x ) ′ a x ln a 3、(a^x)^′a^x\ln a 3、(ax)′axlna 4 、 ( e x ) ′ e x 4、(e^x)^′e^x 4、(ex)′ex 5 、 ( log a x ) ′ 1 x ln a 5、(\log_ax)^′\frac{1}{x\ln a} 5、(logax)′xlna1 6 、 ( ln ∣ x ∣ ) ′ 1 x 6、(\ln |x|)^′\frac{1}{x} 6、(ln∣x∣)′x1 7 、 ( sin x ) ′ cos x 7、(\sin x)^′\cos x 7、(sinx)′cosx 8 、 ( cos x ) ′ − sin x 8、(\cos x)^′-\sin x 8、(cosx)′−sinx 9 、 ( tan x ) ′ sec 2 x 9、(\tan x)^′\sec^2x 9、(tanx)′sec2x 10 、 ( cot x ) ′ − csc 2 x 10、(\cot x)^′-\csc^2x 10、(cotx)′−csc2x 11 、 ( sec x ) ′ sec x tan x 11、(\sec x)^′\sec x\tan x 11、(secx)′secxtanx 12 、 ( csc x ) ′ − csc x cot x 12、(\csc x)^′-\csc x\cot x 12、(cscx)′−cscxcotx 13 、 ( arcsin x ) ′ 1 1 − x 2 13、(\arcsin x)^′\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 13、(arcsinx)′1−x2 1 14 、 ( arccos x ) ′ − 1 1 − x 2 14、(\arccos x)^′-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 14、(arccosx)′−1−x2 1 15 、 ( arctan x ) ′ 1 1 x 2 15、(\arctan x)^′\frac{1}{1x^2} 15、(arctanx)′1x21 16 、 ( a r c c o t x ) ′ − 1 1 x 2 16、(arccot\ x)^′-\frac{1}{1x^2} 16、(arccot x)′−1x21
3、高阶导数
在前面我们学习了的都是一阶导数也就是对一个函数求一次导得到的函数就叫做一阶导数
当我们对一个函数求了一次导数后会得到一个导函数如果这个导函数是可导的我们再对他求导就会得到二阶导数以此类推
二阶导数 ( y ′ ) ′ y ′ ′ d 2 y d x 2 (y)y\frac{d^2y}{dx^2} (y′)′y′′dx2d2y 三阶 y ′ ′ ′ y y′′′ 四阶 y ( 4 ) y^{(4)} y(4) . . . ... ... n阶 y ( n ) d n y d x n y^{(n)}\frac{d^ny}{dx^n} y(n)dxndny
若 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)在区间 I I I上连续称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上n阶连续可导
3.1、高阶导数的公式
设 u , v u,v u,v都是 n n n阶可导则 1 、 ( u ± v ) ( n ) u ( n ) ± v ( n ) 1、(u±v)^{(n)}u^{(n)}±v^{(n)} 1、(u±v)(n)u(n)±v(n) 2 、 L e i b n i z 2、Leibniz 2、Leibniz公式 ( u v ) ( n ) ∑ k 0 n C n k u ( n − k ) v k (uv)^{(n)}\sum_{k0}^nC^k_nu^{(n-k)}v^k (uv)(n)∑k0nCnku(n−k)vk 3 、 ( sin x ) ( n ) sin ( x n π 2 ) 3、(\sin x)^{(n)}\sin(xn\frac{π}{2}) 3、(sinx)(n)sin(xn2π) 4 、 ( cos x ) ( n ) cos ( x n π 2 ) 4、(\cos x)^{(n)}\cos(xn\frac{π}{2}) 4、(cosx)(n)cos(xn2π)
4、隐函数和参数方程确定的函数的导数
4.1、隐函数的导数
显函数因变量 f ( x ) f(x) f(x)可以通过自变量 x x x表示的函数叫做显函数 例如 y cos x , y x 1 x y \cos x,y\frac{x}{1x} ycosx,y1xx
隐函数 因变量 f ( x ) f(x) f(x)不能通过自变量 x x x表示出来叫做隐函数 例如 3 y x 1 0 3yx10 3yx10
上述的隐函数可以显化为显函数 y − x 1 3 y-\frac{x1}{3} y−3x1
但并不是每一个隐函数都可以显化为显函数的 例如 y − x − ϵ sin y 0 ( 0 ϵ 1 ) y-x-ϵ\sin y0(0ϵ1) y−x−ϵsiny0(0ϵ1)
那么既然有上述这种很难显化的隐函数那么我们就要确定一种隐函数的通用求导法则即 F ( x , y ) 0 , y f ( x ) , F ( x , f ( x ) ) 0 F(x,y)0,yf(x),F(x,f(x))0 F(x,y)0,yf(x),F(x,f(x))0 此时两边同时对x求导即可
例如求由方程 y 5 2 y − x 0 y^52y-x0 y52y−x0确定的隐函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)的导数 解 ( y 5 2 y − x ) ′ 5 y 4 y ′ 2 y ′ − 1 (y^52y-x)5y^4y2y-1 (y52y−x)′5y4y′2y′−1 y ′ ( 5 y 4 2 ) 1 y(5y^42)1 y′(5y42)1 y ′ 1 5 y 4 2 y\frac{1}{5y^42} y′5y421
4.2、由参数方程所确定的函数的导数
定理设 x φ ( t ) , y ψ ( t ) xφ(t),yψ(t) xφ(t),yψ(t)在 ( α , β ) (α,β) (α,β)上可导 φ ′ ( t ) ≠ 0 , φ(t)≠0, φ′(t)0,则 d y d x ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) \frac{dy}{dx}\frac{ψ(t)}{φ(t)} dxdyφ′(t)ψ′(t) 若 φ ( t ) , ψ ( t ) φ(t),ψ(t) φ(t),ψ(t)二阶可导则 d 2 y d x 2 ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − φ ′ ′ ( t ) ψ ′ ( t ) φ ′ 3 ( t ) \frac{d^2y}{dx^2}\frac{ψ(t)φ(t)-φ(t)ψ(t)}{φ^3(t)} dx2d2yφ′3(t)ψ′′(t)φ′(t)−φ′′(t)ψ′(t)
首先根据条件 φ ′ ( t ) ≠ 0 φ(t)≠0 φ′(t)0我们可以得到 φ ( t ) φ(t) φ(t)在 ( α , β ) (α,β) (α,β)上是单调的那么 x φ ( t ) xφ(t) xφ(t)就有反函数 t φ − 1 ( x ) tφ^{-1}(x) tφ−1(x) ① y ψ ( t ) , ② t φ − 1 ( x ) ①yψ(t),②tφ^{-1}(x) ①yψ(t),②tφ−1(x) 由①②得它的导数为 d y d x d y d t d t d x ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) \frac{dy}{dx}\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}\frac{ψ(t)}{φ(t)} dxdydtdydxdtφ′(t)ψ′(t) 而若 ψ ( t ) , φ ( t ) ψ(t),φ(t) ψ(t),φ(t)二阶可导则两边再同时对x求一次导得 d 2 y d x 2 d d t ( ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) ) × d t d x \frac{d^2y}{dx^2}\frac{d}{dt} (\frac{ψ(t)}{φ(t)})×\frac{dt}{dx} dx2d2ydtd(φ′(t)ψ′(t))×dxdt ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − φ ′ ′ ( t ) ψ ′ ( t ) φ ′ 2 ( t ) × 1 φ ′ ( t ) \frac{ψ(t)φ(t)-φ(t)ψ(t)}{φ^2(t)}×\frac{1}{φ(t)} φ′2(t)ψ′′(t)φ′(t)−φ′′(t)ψ′(t)×φ′(t)1
4.3、相关变化率
相变变化率即 x x ( t ) , y y ( t ) xx(t),yy(t) xx(t),yy(t)并且 x x x和 y y y之间又满足某种关系 F ( x , y ) 0 F(x,y)0 F(x,y)0,那么我们如果知道了 x / y x/y x/y中任意一个变量对t的变化率就可以求出另一个变量与t之间的变化率
例设有一个倒置的圆锥形容器其底面圆直径为10cm高为5cm现以每秒3cm 3 ^3 3给容器中加水试求t 1秒时水面上升的速率
【解】 设水的高度为 h ( t ) h(t) h(t),则水的体积 V ( t ) π 3 h 2 ( t ) × h ( t ) V(t)\frac{π}{3}h^2(t)×h(t) V(t)3πh2(t)×h(t) V ′ ( t ) π h 2 ( t ) d h d t 3 V(t)πh^2(t)\frac{dh}{dt}3 V′(t)πh2(t)dtdh3 由题得 V ( 1 ) 3 π 3 h 3 ( 1 ) , h ( 1 ) 3 9 π V(1)3\frac{π}{3}h^3(1),h(1)^3\sqrt{\frac{9}{π}} V(1)33πh3(1),h(1)3π9 那么 V ′ ( 1 ) 3 π ( 9 π ) 2 3 d h d t V(1)3π(\frac{9}{π})^\frac{2}{3}\frac{dh}{dt} V′(1)3π(π9)32dtdh d h d t 3 π ( 9 π ) − 2 3 \frac{dh}{dt}\frac{3}{π}(\frac{9}{π})^{-\frac{2}{3}} dtdhπ3(π9)−32
相关变化率解题方法 1.先建立两个相关变化率的关系式 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)如例题中的体积变化率与高度变化率的关系 2.两边同时对t求导得到未知相关变化率
5、函数的微分
5.1、引例
当我们得到一个函数时我们需要计算它从某点 x 0 x_0 x0经过一个变化到达 x 0 Δ x x_0Δx x0Δx时的函数值的改变量 例如 f ( x ) x 2 f(x)x^2 f(x)x2 函数改变量 Δ y f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δyf(x_0Δx)-f(x_0) Δyf(x0Δx)−f(x0) 其中 x 0 x_0 x0是定点 Δ x Δx Δx是动点 Δ y ( x 0 Δ x ) 2 − ( x 0 ) 2 2 x 0 Δ x ( Δ x ) 2 Δy(x_0Δx)^2-(x_0)^22x_0Δx(Δx)^2 Δy(x0Δx)2−(x0)22x0Δx(Δx)2 我们观察上述式子 ( Δ x ) 2 (Δx)^2 (Δx)2其实是 Δ x Δx Δx的高阶无穷小 2 x 0 Δ x 2x_0Δx 2x0Δx其实才是 Δ x Δx Δx的同阶无穷小 那么 Δ y ≈ 2 x 0 Δ x Δy\approx 2x_0Δx Δy≈2x0Δx
5.2、定义
微分的定义若 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) A Δ x o ( Δ x ) f(x_0Δx)-f(x_0)AΔxo(Δx) f(x0Δx)−f(x0)AΔxo(Δx)则称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0点可微 A Δ x AΔx AΔx称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0点的微分记为 d y A Δ x dyAΔx dyAΔx
1. A Δ x AΔx AΔx是 Δ x Δx Δx的线性函数 2. A Δ x AΔx AΔx是 Δ x Δx Δx的同阶无穷小(主要部分) o ( Δ x ) o(Δx) o(Δx)是 Δ x Δx Δx的高阶无穷小 3. d y dy dy是 Δ y Δy Δy的线性主部
5.3、可微与可导
定理函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)在点 x 0 x_0 x0处可微的充分必要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导且有 d y f ′ ( x 0 ) Δ x f ′ ( x ) d x dyf(x_0)Δxf(x)dx dyf′(x0)Δxf′(x)dx
证明可导 ⇛ \Rrightarrow ⇛可微 f ( x 0 ) lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x ) Δ x f ′ ( x 0 ) α ( x ) f(x_0)\lim_{Δx \to 0}\frac{f(x_0Δx)-f(x)}{Δx}f(x_0)α(x) f(x0)limΔx→0Δxf(x0Δx)−f(x)f′(x0)α(x) lim Δ x → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) Δ x α ( x ) Δ x f ′ ( x 0 ) Δ x o ( Δ x ) \lim_{Δx \to 0}f(x_0Δx)-f(x_0)f(x_0)Δxα(x)Δxf(x_0)Δxo(Δx) limΔx→0f(x0Δx)−f(x0)f′(x0)Δxα(x)Δxf′(x0)Δxo(Δx)
证明可导 ⇚ \Lleftarrow ⇚可微 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) A Δ x o ( Δ x ) f(x_0Δx)-f(x_0)AΔxo(Δx) f(x0Δx)−f(x0)AΔxo(Δx) f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x A o ( Δ x ) Δ x \frac{f(x_0Δx)-f(x_0)}{Δx}A\frac{o(Δx)}{Δx} Δxf(x0Δx)−f(x0)AΔxo(Δx)
5.4、微分的几何意义 导数的几何意义在一点处的导数就是这一点切线的斜率就是图中的 tan α \tan α tanα tan α d y Δ x , d y t a n α Δ x f ′ ( x ) Δ x \tan α\frac{dy}{Δx},dytanαΔxf(x)Δx tanαΔxdy,dytanαΔxf′(x)Δx 微分 d y f ′ ( x ) d x dyf(x)dx dyf′(x)dx在几何上表示曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x)的切线上的增量
用通俗的语言来说函数在这一点处的微分 d y dy dy表示的是在这一点的切线上两个函数值之间的差而 Δ y Δy Δy表示的是在这一曲线上两个函数值之间的差 Δ y Δy Δy是精确值而 d y dy dy是近似值微分的思想就是把曲线用值线表示把非均匀变化用均匀变化表示
5.5、微分的运算法则
设 u u u和 v v v都可微则 1、 d ( u ± v ) d u ± d v d(u \pm v)du\pm dv d(u±v)du±dv 2、 d ( u v ) v d u u d v d(uv)vduudv d(uv)vduudv 3、 d ( u v ) v d u − u d v v 2 ( v ≠ 0 ) d(\frac{u}{v})\frac{vdu-udv}{v^2}(v ≠0) d(vu)v2vdu−udv(v0)
复合函数微分法则 设 y f ( u ) yf(u) yf(u)可微 u g ( x ) ug(x) ug(x)可微则 y f ( g ( x ) ) yf(g(x)) yf(g(x))可微且 d y y x ′ d x y u ′ u x ′ d x y u ′ d u dyy_xdxy_uu_xdxy_udu dyyx′dxyu′ux′dxyu′du d y dy dy中间变量导数✖中间变量微分自变量导数✖自变量微分 我们把这个性质就叫做微分形式不变性
