小程序开发教程画画,优化型网站模板,wordpress自动广告,开发网站需要时间文章目录 第5章 特征值与特征向量、相似矩阵(一) 特征值与特征向量1.定义2.性质3.求解(1)具体型矩阵试根法、多项式带余除法#xff1a;三阶多项式分解因式 (2)抽象型矩阵 (二) 相似1.矩阵相似(1)定义(2)性质 2.相似对角化(1)定义(2)相似对角化的条件#xff08;n阶矩阵A可相… 文章目录 第5章 特征值与特征向量、相似矩阵(一) 特征值与特征向量1.定义2.性质3.求解(1)具体型矩阵试根法、多项式带余除法三阶多项式分解因式 (2)抽象型矩阵 (二) 相似1.矩阵相似(1)定义(2)性质 2.相似对角化(1)定义(2)相似对角化的条件n阶矩阵A可相似对角化的条件(3)相似对角化的性质 3.实对称矩阵的相似对角化1.实对称矩阵对角化的性质、步骤2.正交矩阵、正交变换(1)正交矩阵Q(2)正交变换 3.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak4.两矩阵是否相似的判别与证明(1)两个实对称/可相似对角化的矩阵相似的充要条件(2)非实对称矩阵相似 第6章 二次型(一) 二次型的定义与矩阵表示1.二次型定义2.二次型的矩阵表示二次型与矩阵的对应关系3.二次型与二次曲面 (二) 化二次型为标准型、规范型1.可逆线性变换 XCY2.合同(1)定义(2)性质(3)相似与合同 3.标准形、规范形(1)正交变换法 化二次型为标准形得对角阵系数为特征值(2)配方法 化二次型为标准形、规范形 (三) 正定二次型1.惯性定理2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别(1)概念(2)性质(充要条件) 第5章 特征值与特征向量、相似矩阵 (一) 特征值与特征向量
1.定义
设 A A A是 n n n阶方阵 λ λ λ是一个数若存在 n n n维非零列向量 ξ ξ ξ使得 A ξ λ ξ ( ξ ≠ 0 ) Aξλξ \quad (ξ≠0) Aξλξ(ξ0)则称 λ λ λ是 A A A的特征值 ξ ξ ξ是 A A A的对应于(属于)特征值 λ λ λ的特征向量。
注 ①只有方阵才有特征值和特征向量 ②n阶方阵有n个特征值 A n × n × ξ n × 1 λ ξ n × 1 A_{n×n}×ξ_{n×1}λξ_{n×1} An×n×ξn×1λξn×1即矩阵A作用在ξ上的效果和一个数λ作用在ξ上的效果是划等号的。即可用这个值来代表这个矩阵即λ为矩阵的特征值。 其他概念 ①特征矩阵λE-A ②特征多项式 f ( λ ) ∣ λ E − A ∣ f(λ)|λE-A| f(λ)∣λE−A∣ ③特征方程f(λ)|λE-A|0 2.性质
1.特征值的性质 (1)特征值之和 主对角线元素之和特征值之积 行列式
(2)上下三角矩阵、对角阵的主对角线元素就是特征值 (3)秩为1的实对称矩阵的特征值λ₁tr(A)λ₂λ₃0 2.特征向量的性质 ①k重特征值至多有k个线性无关的特征向量 ②不同特征值对应的特征向量线性无关 ③特征向量的线性组合依然为特征向量 (只要求整体非零) (特征向量就是非零齐次解齐次解的线性组合仍为齐次解) 3.求解
(1)具体型矩阵
①求特征值解 ∣ λ E − A ∣ 0 |λE-A|0 ∣λE−A∣0求出n个 λ i λ_i λi ②求特征向量将n个 λ i λ_i λi代回齐次线性方程组 ( λ i E − A ) x 0 (λ_iE-A)x0 (λiE−A)x0分别求出属于每个 λ i λ_i λi的非零解 ξ i ξ_i ξi这是基础解系。则齐次方程组的通解去掉零解为 λ i λ_i λi的全部特征向量即 k i ξ i k_iξ_i kiξi(ki≠0) 为对应于 λ i λ_i λi的全部特征向量。 试根法、多项式带余除法三阶多项式分解因式
当该3阶矩阵的特征方程 ∣ λ E − A ∣ 0 |λE-A|0 ∣λE−A∣0 不好求特征根时可全部展开为3次多项式使用试根法先求出一个根得到 ( λ − λ 1 ) (λ-λ_1) (λ−λ1)再用多项式带余除法得到 ( λ − λ 2 ) ( λ − λ 3 ) (λ-λ_2)(λ-λ_3) (λ−λ2)(λ−λ3)
1.试根法 对于 f ( λ ) a k λ k . . . a 3 λ 3 a 2 λ 2 a 1 λ a 0 0 f(λ)a_kλ^k...a_3λ^3a_2λ^2a_1λa_00 f(λ)akλk...a3λ3a2λ2a1λa00 ①若 a 0 0 a_00 a00则 f ( λ ) 0 f(λ)0 f(λ)0 是根 ②若 系数之和为0则 f ( λ ) 1 f(λ)1 f(λ)1 是根 ③若 奇次方系数 偶次方系数则 f ( λ ) − 1 f(λ)-1 f(λ)−1 是根 ④若 a k 1 a_k1 ak1各系数均为整数则 根均为整数且 根均为 a 0 a_0 a0的因子 2.多项式带余除法 缺项要补位 例题1入门级别求特征值和特征向量 答案 例题2真题不太方便直接求出特征值可考虑直接展开为3次多项式用试根法多项式带余除法 例题3性质证明不同特征值对应的特征向量线性无关 证明 (2)抽象型矩阵
①表格 已经A的特征向量为ξ则kA、A-1、A*、Ak、f(A)的特征向量均为ξ 但仅有 kA、A-1的特征向量为ξ时也有A的特征向量为ξ ② ∣ λ E − A ∣ 0 |λE-A|0 ∣λE−A∣0 ( λ E − A ) ξ 0 (λE-A)ξ0 (λE−A)ξ0 ③特征值的性质 ∣ A ∣ λ 1 λ 2 . . . λ n t r ( A ) λ 1 λ 2 . . . λ n a 1 a 2 . . . a n |A|λ_1λ_2...λ_ntr(A)λ_1λ_2...λ_na_1a_2...a_n ∣A∣λ1λ2...λntr(A)λ1λ2...λna1a2...an ④特征向量的性质特征向量的非零线性组合仍为特征向量。【∴求特征向量时求出基础解系是ξ后要加k。最终的(全部的) 特征向量为kξ (k≠0)】 例题1
分析 λ ∗ ∣ A ∣ λ λ^*\dfrac{|A|}{λ} λ∗λ∣A∣
答案11 例题223李林六套卷(六)15. 特征值的性质主对角线元素之和 迹 特征值之和
分析A*的主对角元素为A₁₁、A₂₂、A₃₃
答案1 例题318年13. 分析特征向量的线性组合也为特征向量 答案-1 (二) 相似
相似理论①A~B ②A~Λ ③应用
1.矩阵相似
(1)定义
设A,B为n阶方阵若存在可逆矩阵P使得 P-1AP B则称 矩阵A与B相似或称A,B是相似矩阵记为A~B 。称P为A到B的相似变换矩阵或过渡矩阵。 两矩阵相似①定义法 ②传递法 (2)性质
若A、B相似则 秩、行列式、迹、特征值相同。若可相似对角化则相似于同一个对角阵。
(1)若 A ∼ B A\sim B A∼B则 ①行列式相等 ∣ A ∣ ∣ B ∣ λ 1 ⋅ λ 2 ⋅ λ 3 |A||B|λ₁·λ₂·λ₃ ∣A∣∣B∣λ1⋅λ2⋅λ3 且 ∣ λ E − A ∣ ∣ λ E − B ∣ |λE-A||λE-B| ∣λE−A∣∣λE−B∣ ②迹相等 t r ( A ) t r ( B ) λ 1 λ 2 λ 3 tr(A)tr(B)λ₁λ₂λ₃ tr(A)tr(B)λ1λ2λ3 ③ A , B A,B A,B有相同的特征值 (特征值相同实对称矩阵 → 相似) ④秩相等 r ( A ) r ( B ) r(A)r(B) r(A)r(B) 、 r ( λ E − A ) r ( λ E − B ) r(λE-A)r(λE-B) r(λE−A)r(λE−B) ⑤若A~B则A等价于B即A可通过初等变换化为B 这些性质只是必要条件即使都满足也无法证明 A~B (2)若 A ∼ B 则 { f ( A ) ∼ f ( B ) A m ∼ B m A − 1 ∼ B − 1 ( 可逆 ) A ∗ ∼ B ∗ ( 可逆 ) A T ∼ B T A\sim B则\left\{ \begin{aligned} f(A) \sim f(B)A^m \sim B^m \\ A^{-1} \sim B^{-1} \ (可逆) \\ A^* \sim B^* \quad (可逆) \\ A^T \sim B^T \end{aligned} \right. A∼B则⎩ ⎨ ⎧f(A)A−1A∗AT∼f(B)Am∼Bm∼B−1 (可逆)∼B∗(可逆)∼BT A~B若A可逆则 AB~BA。 证明∵A可逆 ∴A-1(AB)ABA ∴AB~BA 例题115年21.(1)、20年20.(1) ∵ A ∼ B ∴ { t r ( A ) t r ( B ) ∣ A ∣ ∣ B ∣ \quad∵A\sim B \qquad∴\left \{\begin{array}{cc} tr(A) tr(B)\\ |A||B| \end{array}\right. ∵A∼B∴{tr(A)tr(B)∣A∣∣B∣ 例题216年05.
分析需要掌握相似性质的证明 已知A~B则若存在可逆矩阵P使得P-1AP B。此题额外附加了A、B均为可逆矩阵的条件 ①证明A-1~B-1 ∵P-1AP B 对两边取逆 得 P-1A-1P B-1即A-1~B-1
②证明AT~BT ∵P-1APB 对两边取转置 得 PTAT(P-1)T BT 即 [(PT)-1]-1AT(PT)-1 BT 令Q (PT)-1 (P-1)T则 Q-1ATQ BT则 AT~BT
③在此题A、B均为可逆矩阵的前提下D正确 P-1AP B P-1A-1P B-1 ∴P-1(AA-1)P BB-1
④C需要A、B均为实对称矩阵
答案C 2.相似对角化
(1)定义
A可相似于对角阵称为A可相似对角化即 对于n阶矩阵A存在n阶可逆矩阵P使得 P − 1 A P Λ ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}APΛ\left(\begin{array}{cc} λ₁ \\ λ₂ \\ λ₃\\ \end{array}\right) P−1APΛ λ1λ2λ3 其中 Λ Λ Λ为对角阵记作 A ∼ Λ A\sim Λ A∼Λ称A可相似对角化。称 Λ Λ Λ是A的相似标准形。 (2)相似对角化的条件n阶矩阵A可相似对角化的条件
n阶矩阵A可相似对角化的条件充要条件①A有n个线性无关的特征向量②A的每一个k重特征值都有k个线性无关的特征向量即 kn-r(λE-A)λ是k重根充分条件①A为实对称矩阵②A有n个互异的特征值
② k i n − r ( λ i E − A ) k_in-r(λ_iE-A) kin−r(λiE−A) λ i λ_i λi是 k i k_i ki重根 注 1.对于普通矩阵A ①特征值不同 ( λ 1 ≠ λ 2 λ₁≠λ₂ λ1λ2)特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2一定线性无关 ②特征值相同 ( λ 1 λ 2 λ₁λ₂ λ1λ2)特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2 可能无关可能相关 2.A可相似对角化最本质的充要条件A有n个线性无关的特征向量 (3)相似对角化的性质
相似的两矩阵若均可相似对角化则可以相似于同一个对角矩阵。该对角矩阵的主对角线元素即为特征值 λ1、λ2、λ3 例题0给定矩阵A求可逆矩阵P使得A可相似对角化即 P − 1 A P Λ P^{-1}APΛ P−1APΛ
步骤①求特征值与特征向量 λ、ξ ②验证ξ₁,ξ₂,ξ₃线性无关 ③令 P ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) P(ξ₁,ξ₂,ξ₃) P(ξ1,ξ2,ξ3)验可逆 ④若P可逆则有 P − 1 A P Λ ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}APΛ\left(\begin{array}{cc} λ₁ \\ λ₂ \\ λ₃\\ \end{array}\right) P−1APΛ λ1λ2λ3 例题117年6. 相似对角化的条件
分析 A、B为上三角矩阵C为对角矩阵。显然A、B、C的特征值均为 221。 判断A、B是否与C相似 即A、B能否相似对角化。 由相似对角化的充要条件2重根,要有2个线性无关的特征向量n-r(λE-A)3-12 ∴r(λE-A)1
显然r(2E-A)1而r(2E-B)2∴A可以相似对角化B不可以
答案B 例题215年21.(2)
求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵 只需求出其特征值以及对应的n个线性无关的特征向量即可 分析 ①求特征值A~B∴A和B特征值相同。因为B的0更多特征值更好求所以用矩阵B来求特征值。 ②求特征向量分别将3个特征值λ代入λE-A化简矩阵得线性无关的特征向量 解题步骤 ①|λE-B| |三阶行列式| (λ-1)2(λ-5) ∴B的特征值为115 ∵A~B ∴A的特征值也为115
②将λ1代入(λE-A)x0即(E-A)x0 E-A ()→()得A的属于特征值λ1的线性无关的特征向量为α1( )α2( )
将λ5代入(λE-A)x0即(5E-A)x0 5E-A()→()得A的属于特征值λ5的线性无关的特征向量为α3( )
令P(α1,α2,α3)则P-1AP ʌ () 例题319年21.(2) 例题420年20.(2) 3.实对称矩阵的相似对角化
1.实对称矩阵对角化的性质、步骤
1.实对称矩阵的性质 ①实对称矩阵必能相似对角化 ②实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量 ③实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量一定正交 ④实对称矩阵的特征值都是实数 ⑤非零的幂零矩阵一定不能相似对角化 2.对于任一n阶实对称矩阵A必存在正交矩阵Q使得 Q − 1 A Q Q T A Q Λ ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQQ^TAQΛ\left(\begin{array}{cc} λ₁ \\ λ₂ \\ ...\\ λ_n \end{array}\right) Q−1AQQTAQΛ λ1λ2...λn 其中 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn为A的n个实特征值矩阵Q的列向量为A的依次对应于 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn的两两正交的单位特征向量 3.根据上述结论总结出正交变换矩阵Q将实对称矩阵A对角化的步骤为 (1)求出A的全部特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn (2)对每个特征值 λ i λ_i λi求出其特征向量 (3)将特征向量正交化再单位化 (4)将这些单位向量作为列向量构成正交矩阵Q从而有 Q − 1 A Q Q T A Q Λ ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQQ^TAQΛ\left(\begin{array}{cc} λ₁ \\ λ₂ \\ ...\\ λ_n \end{array}\right) Q−1AQQTAQΛ λ1λ2...λn 例题1证明实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交 例题223李林四(一)6.
分析
答案B 2.正交矩阵、正交变换
(1)正交矩阵Q
1.正交矩阵定义 Q Q T Q T Q E QQ^TQ^TQE QQTQTQE 两向量正交内积为0 2.正交矩阵性质(A,B均为n阶正交矩阵) (1) Q − 1 Q T Q^{-1}Q^T Q−1QT (2) Q的各行向量两两正交各列向量两两正交 (3) ∣ Q ∣ ± 1 |Q|±1 ∣Q∣±1 (4) Q − 1 、 Q T 、 Q B Q^{-1}、Q^T、QB Q−1、QT、QB也是正交阵 (5)方阵Q是正交矩阵的充要条件Q的列向量组或行向量组为标准正交向量组 3.求正交矩阵Q使得 Q T A Q \rm Q^TAQ QTAQ为对角矩阵 ①求A的特征值即求A的特征方程|λE-A|0的全部解 ②求A的特征向量对求得的每一个特征值将其代入 ( λ E − A ) x 0 (λE-A)x0 (λE−A)x0求出每个特征值对应的特征向量 ③特征向量正交化 ④特征向量单位化。然后组成正交矩阵Q (2)正交变换
1.定义 若Q为正交矩阵则线性变换xQy称为正交变换。正交变换属于相似变换不改变矩阵的特征值。 对任一n阶实对称矩阵A必存在正交矩阵Q 使得A可以相似对角化即 Q − 1 A Q Q T A Q Λ ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQQ^TAQΛ\left(\begin{array}{cc} λ₁ \\ λ₂ \\ ...\\ λ_n \end{array}\right) Q−1AQQTAQΛ λ1λ2...λn
2.性质 (1)正交变换保持向量的内积不变 (2)正交变换保持向量的长度不变 (3)正交变换保持向量的夹角不变 只会将图形在坐标系中旋转而不会扭曲图形 正交变换既相似又合同 例题111年13. 正交变换不改变矩阵的特征值、行列式特征值之积
分析
答案1 例题222年21.(2) ①二次型的定义 ②求正交矩阵、正交变换法化二次型为标准型 ③配方法 答案 例题320年20(2) 3.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak P − 1 A P Λ P^{-1}APΛ P−1APΛ则有 ① A P Λ P − 1 APΛP^{-1} APΛP−1 ② A k P Λ k P − 1 A^kPΛ^kP^{-1} AkPΛkP−1 ③ f ( A ) P f ( A ) P − 1 f(A)Pf(A)P^{-1} f(A)Pf(A)P−1 例题1
分析 f ( λ 1 ) f ( 1 ) − 2 f ( λ 2 ) f ( 2 ) − 2 f ( λ 3 ) f ( 3 ) − 2 f(λ₁)f(1)-2f(λ₂)f(2)-2f(λ₃)f(3)-2 f(λ1)f(1)−2f(λ2)f(2)−2f(λ3)f(3)−2 B f ( A ) P f ( Λ ) P − 1 P ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) f ( λ 3 ) ) P − 1 − 2 P E P − 1 − 2 E Bf(A)Pf(Λ)P^{-1}P\left(\begin{array}{cc} f(λ₁) \\ f(λ₂) \\ f(λ₃)\\ \end{array}\right) P^{-1}-2PEP^{-1}-2E Bf(A)Pf(Λ)P−1P f(λ1)f(λ2)f(λ3) P−1−2PEP−1−2E
答案-2E 4.两矩阵是否相似的判别与证明
1.判断A B 相似 ①定义法 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB则 A ∼ B A \sim B A∼B ②传递法 A ∼ Λ 1 , B ∼ Λ 2 λ A λ B A\sim Λ₁,B\sim Λ₂λ_Aλ_B A∼Λ1,B∼Λ2λAλB则 Λ 1 Λ 2 Λ₁Λ₂ Λ1Λ2即 A ∼ Λ ∼ B A \sim Λ \sim B A∼Λ∼B (1)两个实对称/可相似对角化的矩阵相似的充要条件
两实对称矩阵/两可相似对角化的矩阵 相似 ⇦⇨ 特征多项式相同 ⇦⇨ 特征值全部相同
对于普通矩阵来说特征多项式相同、特征值相同只是相似的必要条件。 但对于两个 实对称/可对角化 的矩阵 来说特征多项式相同、特征值相同等相似的必要条件就变成了相似的充分必要条件。
证明 1.若A、B均可相似对角化且A、B特征值相同则A、B相似于同一个对角阵。则 P − 1 A P Λ A ∼ Λ P − 1 B P Λ B ∼ Λ P^{-1}APΛA\sim Λ \qquad P^{-1}BPΛB\sim Λ P−1APΛA∼ΛP−1BPΛB∼Λ 由相似的传递性可知 A ∼ Λ ∼ B ∴ A ∼ B A\sim Λ \sim B∴A\sim B A∼Λ∼B∴A∼B
2.若A、B均为实对称矩阵。实对称矩阵一定可以相似对角化再接1的证明 条件由强到弱依次是 ①实对称 ②不对称但可相似对角化 ③不对称也不可相似对角化 (2)非实对称矩阵相似
(1)充要条件若两矩阵相似则特征矩阵也相似则特征矩阵的秩相等。即 A ∼ B ⇦⇨ k E − A ∼ k E − B A\sim B \ \ ⇦⇨ \ \ kE-A\sim kE-B A∼B ⇦⇨ kE−A∼kE−B (2)必要条件A~B → r(A)r(B) λE-A ~ λE-B → r(λE-A) r(λE-B)
证明 例题118年5.
分析 显然M、A、B、C、D的特征值均为111。 M ∼ A ⇦⇨ k E − M ∼ k E − A → r ( k E − M ) r ( k E − A ) M\sim A\ \ ⇦⇨\ \ kE-M\sim kE-A \ → r(kE-M)r(kE-A) M∼A ⇦⇨ kE−M∼kE−A →r(kE−M)r(kE−A) r(E-M)2r(E-A)2r(E-B)r(E-C)r(E-D)1∴E-M~E-A
答案A 例题213年06. 实对称矩阵相似的充要条件特征值相同
分析 答案B 第6章 二次型 (一) 二次型的定义与矩阵表示
1.二次型定义
二次型的矩阵表达式 f ( x ) x T A x f(x)x^TAx f(x)xTAx 即 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( x 1 x 2 x 3 ) a 11 x 1 2 a 22 x 2 2 a 33 x 3 2 f(x_1,x_2,x_3)(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{cc} a₁₁ a₁₂ a₁₃ \\ a₂₁ a₂₂ a₂₃ \\ a₃₁ a₃₂ a₃₃ \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)a₁₁x₁^2 a₂₂x₂^2a₃₃x_3^2 f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3) a11a21a31a12a22a32a13a23a33 x1x2x3 a11x12a22x22a33x32 ( a 12 a 21 ) x 1 x 2 ( a 13 a 31 ) x 1 x 3 ( a 23 a 32 ) x 2 x 3 (a₁₂a₂₁)x_1x_2(a₁₃a₃₁)x_1x_3(a₂₃a₃₂)x_2x_3 (a12a21)x1x2(a13a31)x1x3(a23a32)x2x3
A为实对称矩阵 ( A A T AA^T AAT)称为二次型的系数矩阵。 平方项 x i 2 x^2_i xi2、交叉项(混合项) x i x j 、 x j x i x_ix_j、x_jx_i xixj、xjxi 2.二次型的矩阵表示二次型与矩阵的对应关系
1.看到二次型能写出矩阵看到矩阵能写出它的二次型。 2.二次型f的矩阵就是A不能带x。二次型的定义是 f ( x ) x T A x f(x)x^TAx f(x)xTAx 例题102年4.
分析对二次型进行正交变换得标准形实际上就是对矩阵进行相似对角化。正交变换得到的标准形对应矩阵都是对角矩阵标准形系数都是特征值。 答案2 例题223李林六套卷(五)15. 二次型定义、合同的定义及性质 答案 3.二次型与二次曲面
二次型与二次曲面直接求特征值根据特征值正负判断曲面类型 例题116年06. 二次型与二次曲面
分析求特征值看正负惯性指数判断曲面类型
答案B (二) 化二次型为标准型、规范型
1.可逆线性变换 XCY 2.合同
(1)定义
设A,B为n阶方阵若存在可逆矩阵C使得 B C T A C BC^TAC BCTAC则称 矩阵A与B合同。记作 A ≃ B A\simeq B A≃B。此时称对应的二次型f(x)与g(y)为合同二次型。 (2)性质
1.两是对称矩阵A、B合同 ⇦⇨ A、B 正、负惯性指数 相同 【两合同矩阵的正负特征值个数相同】 ⇦⇨ A、B 正惯性指数相同 秩相同 ⇦⇨ p、q、r均相同 2.对称矩阵和不对称矩阵不可能合同 证明设A与B合同AATB≠BT。 存在可逆矩阵C使得 CTACB①。两边取转置得CTATCBT ∵AAT得CTACBT② ∵B≠BT ∴①与②矛盾。故对称矩阵与不对称矩阵不合同。 (3)相似与合同
(两实对称矩阵)相似→合同(实对称矩阵)相似 ⇨ 特征值相同 ⇨ 正负特征值个数一定相同 ⇨ 合同
两实对称矩阵若相似则一定合同。 对称矩阵与非对称矩阵一定不合同。 例题1 例题207年8.
分析相似还是合同只需要看特征值 由|λE-A|0求得A的特征值为3,3,0。对角阵B的特征值为1,1,0。可见AB特征值不相同不相似。但是 正惯性指数和秩相同因此AB合同。
答案B 例题301年9.
分析A、B均为实对称矩阵 由|λE-A|0求得A的特征值为 λ₁4,λ₂λ₃λ₄0 对角阵B的特征值也为λ₁4,λ₂λ₃λ₄0 特征值相同∴A、B相似。 特征值相同则正负惯性指数也必然相同∴A、B合同
答案A 3.标准形、规范形
1.标准形 与对角矩阵对应的二次型f( 只含有平方项)即为标准形。
2.规范形 平方项的系数为1或-1 ①为什么要化为“标准形”、“规范形” 答标准形、规范形只含平方项二次型对应的二次曲面方便找出最大值。 ②如何化为标准形、规范形 对A做相似对角化化为相似的对角阵主对角线元素均为特征值。满足只含平方项。 例题118年20(2) 线性方程组、规范形
分析 (1)平方和为0则每个括号内都为0 (2) (1)正交变换法 化二次型为标准形得对角阵系数为特征值
1.定理 任意给定实二次型 f x T A x ( A T A ) fx^TAx\quad(A^TA) fxTAx(ATA)一定存在正交变换 x Q y xQy xQy使f 化为标准形 f λ 1 y 1 2 λ 2 y 2 2 . . . λ n y n 2 f λ_1y_1^2λ_2y_2^2...λ_ny_n^2 fλ1y12λ2y22...λnyn2 。其中 λ i ( i 1 , 2 , . . . , n ) λ_i(i1,2,...,n) λi(i1,2,...,n)为二次型矩阵A的特征值。
2.性质 ①正交变换相当于对实对称矩阵A做了相似对角化得到的平方项系数即为A的特征值。【而配方法得到的系数一般不是特征值。】 ②正交变换法只能化二次型为标准形不能化为规范形除非特征值都属于{1,-1,0}
3.用正交变换化二次型为标准形的步骤 (1)写出二次型对应的实对称矩阵A (2)求出A的所有特征值和特征向量 (3)将特征向量正交化、单位化得η1,η2,…,ηn得正交矩阵Q(η1,η2,…,ηn) (4)作正交变换 xQy得f的标准形 f x T A x x Q y ( Q y ) T A Q y y T ( Q T A Q ) y y T ( Q − 1 A Q ) y y T Λ y λ 1 y 1 2 λ 2 y 2 2 . . . λ n y n 2 fx^TAx\xlongequal{\rm xQy}(Qy)^TAQyy^T(Q^TAQ)yy^T(Q^{-1}AQ)yy^TΛyλ_1y_1^2λ_2y_2^2...λ_ny_n^2 fxTAxxQy (Qy)TAQyyT(QTAQ)yyT(Q−1AQ)yyTΛyλ1y12λ2y22...λnyn2 其中正交变换为 x Q y ( 正交矩阵 Q ) ( 列向量 y ) xQy(正交矩阵Q)(列向量y) xQy(正交矩阵Q)(列向量y) 例题0 例题115年6.
分析
答案A 例题220年20.
分析 (1)①二次型与矩阵的对应关系 ②正交变换也是相似变换 (2) ∵二阶矩阵A、B均有2个互异的特征值∴A、B均可相似对角化 且∵A~B∴A、B相似于同一个对角矩阵
设A ~ Λ则存在可逆矩阵P1使得 P 1 − 1 A P 1 Λ P_1^{-1}AP_1Λ P1−1AP1Λ 设B ~ Λ则存在可逆矩阵P2使得 P 2 − 1 B P 2 Λ P_2^{-1}BP_2Λ P2−1BP2Λ ∴ B P 2 Λ P 2 − 1 P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 ∴BP_2ΛP_2^{-1}P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1} ∴BP2ΛP2−1P2P1−1AP1P2−1 令 P P 1 P 2 − 1 PP_1P_2^{-1} PP1P2−1 ∴ B P − 1 A P ∴BP^{-1}AP ∴BP−1AP
所以求出P1、P2得 P P 1 P 2 − 1 PP_1P_2^{-1} PP1P2−1。对P进行正交化单位化得正交矩阵Q 例题312年21.
分析秩的性质、正交变换的步骤
答案(1)a -1 (2)配方法 化二次型为标准形、规范形
配方法 ①将某个 x i x_i xi的平方项及与其有关的混合项一次性配成一个完全平方。如此直到全部配成完全平方项。 ②n元要n换缺项要补项(0倍 x 3 x_3 x3令 y 3 x 3 y_3x_3 y3x3)得到 Y C − 1 X YC^{-1}X YC−1X ③反解出C即 XCY 若要化二次型为规范形只可使用配方法。正交变换法只能化到标准形正交变换化的标准形的系数是实对称矩阵A的特征值。 例题1没有平方项创造平方项 分析化为规范形只能使用配方法
答案 例题214年13. 配方法求二次型的标准形
分析初等变换改变特征值相似变换不改变特征值
答案[-2,2] (三) 正定二次型
1.惯性定理
惯性定理可逆线性变换不改变正负惯性指数
①正惯性指数p正特征值的个数 ②负惯性指数q负特征值的个数。满秩时负惯性指数为奇数行列式0 ③ r p q rpq rpq 例题114年13.
分析 求特征值时不可进行初等变换(初等变换会改变特征值)不要化为行最简。此题直接求特征值困难。 满秩时负惯性指数为奇数行列式0
答案[-2,2] 2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别
(1)概念
设 f x T A x ( A T A ) fx^TAx \ (A^TA) fxTAx (ATA)为实二次型若对于任意非零向量 x x x (1)恒有 xTAx 0则称 fxTAx 为正定二次型称矩阵A为正定矩阵 恒有 xTAx 0则称fxTAx 为负定二次型称矩阵A为负定矩阵 (2)恒有 xTAx ≥ 0则称 fxTAx为 半正定二次型称矩阵A为半正定矩阵 恒有 xTAx ≤ 0则称 fxTAx为 半负定二次型称矩阵A为半负定矩阵 (3)若fxTAx的值时而为正时而为负则称 fxTAx 为不定二次型 (2)性质(充要条件)
矩阵A正定 (抽象型矩阵先说A是实对称 A T A A^TA ATA再用充要条件) ⇦⇨ ①A的各阶顺序主子式 Δ i 0 Δ_i0 Δi0 (从左上角或右下角开始都可) 【具体型矩阵】 ⇦⇨ ②A的所有特征值均为正值 λ i 0 λ_i0 λi0 【具体型、抽象型】 ⇦⇨ ③A的正惯性指数 p r n prn prn 【配方法求】 ⇦⇨ ④对任意n维非零列向量 x x x总有 f x T A x 0 fx^TAx0 fxTAx0 (正定的定义) ⇦⇨ ⑤A与单位阵E合同即 P T A P E P^TAPE PTAPE ⇦⇨ ⑥存在可逆矩阵Q使得 A Q T Q AQ^TQ AQTQ
