残疾人信息无障碍网站建设,邢台哪里提供网站制作,专业定制网上配镜近视散光眼镜框,最专业网站建设哪家好2. 数列极限
2.1 实数系的连续性
人类对数系认识的历史#xff1a; 人类最早对数系的认识是自然数集合 N \mathbb{N} N#xff0c;自然数系对加法和乘法是封闭的#xff08;这里的封闭是指#xff1a;若 m ∈ N , n ∈ N ⇒ m n ∈ N , m n ∈ N m\in\mathbb{N},n\in\ma…2. 数列极限
2.1 实数系的连续性
人类对数系认识的历史 人类最早对数系的认识是自然数集合 N \mathbb{N} N自然数系对加法和乘法是封闭的这里的封闭是指若 m ∈ N , n ∈ N ⇒ m n ∈ N , m n ∈ N m\in\mathbb{N},n\in\mathbb{N}\Rightarrow mn\in\mathbb{N},mn\in\mathbb{N} m∈N,n∈N⇒mn∈N,mn∈N但是对减法来说自然数集合 n \mathbb{n} n不封闭数系 n \mathbb{n} n不够了人类就把数系扩充到整数集合 Z \mathbb{Z} Z整数集合 Z \mathbb{Z} Z对加法乘法减法封闭但是对除法不封闭于是人类又把数集扩充到有理数集 Q \mathbb{Q} Q有理数集合 Q \mathbb{Q} Q对加减乘除都是封闭的有很长一段时间人类觉得有理数集合很完美后来古希腊的毕达哥拉斯学派发现有理数集合对开方不封闭毕达哥拉斯学派认为任意两条线段都是可公度的有a,b两个线段 a , b a,b a,b表示两个线段的长度则存在另一长度为 c c c的线段使得 a m c , b n c ( m , n ∈ N ) ⇒ a b m n amc,bnc(m,n\in\mathbb{N})\Rightarrow\frac{a}{b}\frac{m}{n} amc,bnc(m,n∈N)⇒banm但是这套理论建立在任意两个线段可公度的前提下正方形边长为1正方形的对角线和边长不可公度 2 1 \frac{\sqrt{2}}{1} 12 不能等于 m n , m , n ∈ N \frac{m}{n},m,n\in\mathbb{N} nm,m,n∈N这是数学史上的第一次危机于是我们有了一个命题。 【命题】 2 \sqrt{2} 2 不是有理数。 【证】用反证法假设 2 \sqrt{2} 2 是有理数即 2 n m , m , n ∈ Z , 且 m , n \sqrt{2}\frac{n}{m},m,n\in\mathbb{Z},且m,n 2 mn,m,n∈Z,且m,n互质 2 n 2 m 2 2\frac{n^{2}}{m^{2}} 2m2n2即 n 2 2 m 2 n^{2}2m^{2} n22m2由于 2 m 2 2m^{2} 2m2是偶数2是偶数偶数×偶数还是偶数偶数×奇数还是偶数所以说明 2 m 2 2m^{2} 2m2是偶数则 n 2 n^{2} n2是偶数而 n 2 n × n n^{2}n\times n n2n×n在上述情况中如果两个一样的整数相乘是偶数那么只有偶数×偶数的情况因为偶数×奇数的情况下对应的是两个不一样的数所以 n n n是偶数所以 n n n是偶数令 n 2 k , k ∈ Z n2k,k\in\mathbb{Z} n2k,k∈Z则 n 2 4 k 2 2 m 2 n^{2}4k^{2}2m^{2} n24k22m2则 m 2 2 k 2 m^{2}2k^{2} m22k2所以 m m m是偶数和刚才的 n n n是偶数的推理过程是一样的由于 m , n m,n m,n互质但是 m , n m,n m,n都是偶数矛盾偶数和偶数是不互质的都是能约分的至少有公因子2所以 2 \sqrt{2} 2 不是有理数。
由此说明在有理数集合 Q \mathbb{Q} Q中开根号不封闭所以人类要扩充数系。 有理数可以表示为有限小数或无限循环小数把无限不循环小数加到有理数集合里面去这样就使得开方也变得封闭它可以完全布满整个数轴不留“空隙”我们将无限不循环小数定义为无理数把无理数加入到有理数集合中构成实数集合 R { x ∣ x 是有理数或无理数 } \mathbb{R}\{x|x是有理数或无理数\} R{x∣x是有理数或无理数}实数所对应的点布满了整个数轴它上面没有“空隙”我们将这个性质称之为实数的连续性。实数集合又叫实数连续统。
2.1.1 最大数与最小数 S ⊂ R , S ≠ ∅ \textbf{S}\subset\mathbb{R},\textbf{S}\ne\emptyset S⊂R,S∅若 S \textbf{S} S是有限集 S \textbf{S} S必有最大数与最小数但若 S \textbf{S} S是无限集则 S \textbf{S} S不一定有最大数与最小数。 先引入记号 ∀ \forall ∀与 ∃ \exists ∃ ∀ \forall ∀表示“对于任意的”或者“对于每一个” ∃ \exists ∃表示“存在”或“可以找到” 若 S ⊂ R , S ≠ ∅ \textbf{S}\subset\mathbb{R},\textbf{S}\ne\emptyset S⊂R,S∅若 ∃ ξ ∈ S \exists\xi\in\textbf{S} ∃ξ∈S使得 ∀ x ∈ S \forall x\in\textbf{S} ∀x∈S有 x ≤ ξ x\le \xi x≤ξ则称 ξ \xi ξ是 S \textbf{S} S中的最大数记为 ξ max S \xi\text{max}\textbf{S} ξmaxS若 ∃ η ∈ S \exists\eta\in\textbf{S} ∃η∈S使得 ∀ x ∈ S \forall x\in\textbf{S} ∀x∈S有 x ≥ η x\ge \eta x≥η则称 η \eta η是 S \textbf{S} S中的最小数记为 η min S \eta\text{min}\textbf{S} ηminS 【例2.1.1】 A { x ∣ x ≥ 0 } \textbf{A}\{x|x\ge 0\} A{x∣x≥0} min A 0 \text{min}\textbf{A}0 minA0但是 max A \text{max}\textbf{A} maxA不存在。 【例2.1.2】 B { x ∣ 0 ≤ x 1 } \textbf{B}\{x|0\le x 1\} B{x∣0≤x1}, min B 0 \text{min}\textbf{B}0 minB0但是 max B \text{max}\textbf{B} maxB不存在。 【证】假设 β ∈ B , β max B \beta\in\textbf{B},\beta\text{max}\textbf{B} β∈B,βmaxB则 β ∈ [ 0 , 1 ) \beta\in[0,1) β∈[0,1)令 β ′ 1 β 2 ∈ [ 0 , 1 ) \beta\frac{1\beta}{2}\in[0,1) β′21β∈[0,1)取得很巧妙则 β ′ ∈ B \beta\in\textbf{B} β′∈B但是 β ′ − β 1 β 2 − β 1 − β 2 0 \beta-\beta\frac{1\beta}{2}-\beta\frac{1-\beta}{2}0 β′−β21β−β21−β0即 β ′ β \beta\beta β′β与 β max B \beta\text{max}\textbf{B} βmaxB矛盾。
2.1.2 上确界与下确界 若 S ⊂ R , S ≠ ∅ \textbf{S}\subset\mathbb{R},\textbf{S}\ne\emptyset S⊂R,S∅若 ∃ M ∈ R \exists M\in\mathbb{R} ∃M∈R使得 ∀ x ∈ S \forall x\in\textbf{S} ∀x∈S有 x ≤ M x\le M x≤M则称 M M M是 S \textbf{S} S的一个上界上界不唯一比 M M M大的都是上界或称 S \textbf{S} S有上界。 设 U \textbf{U} U是 S \textbf{S} S上界的集合则 U \textbf{U} U没有最大数但 U \textbf{U} U必定有最小数需证明以后证明记它为 β sup S \beta\sup \textbf{S} βsupSsupremum称为 S \textbf{S} S的上确界。 β : { β 是上界即 ∀ x ∈ S 有 x ≤ β β 是最小上界即 ∀ ξ 0 , ∃ x ∈ S , 使得 x β − ξ \beta:\left\{\begin{array}{l} \beta是上界即\forall x \in \textbf{S}有x\le \beta \\ \beta是最小上界即\forall \xi 0,\exists x\in\textbf{S}, 使得x\beta - \xi \end{array}\right. β:{β是上界即∀x∈S有x≤ββ是最小上界即∀ξ0,∃x∈S,使得xβ−ξ 【注】任何小于 β \beta β的数都不是集合 S \textbf{S} S的上界 β \beta β是最小上界的同义句所以集合 S \textbf{S} S中一定存在不是上界的 x x x要大于任何小于 β \beta β的数 β − ξ \beta - \xi β−ξ换句话说就是任何比 β \beta β小的数中存在着集合 S \textbf{S} S的元素但是大于等于 β \beta β的数都是集合 S \textbf{S} S的上界这样 β \beta β就成了一个“分界线”比 β \beta β小的数 β − ξ \beta - \xi β−ξ中存在 S \textbf{S} S的元素比 β \beta β大的数一定是 S \textbf{S} S的上界那么 β \beta β子集就是上确界自己理解的欢迎数院大佬批评指正下面是我画图理解的 若 ∃ m ∈ S \exists m\in\textbf{S} ∃m∈S使得 ∀ x ∈ S , x ≥ m \forall x\in\textbf{S},x\ge m ∀x∈S,x≥m则称 m m m是 S \textbf{S} S的一个下界。 设 L \textbf{L} L是 S \textbf{S} S的集合则 L \textbf{L} L没有最小数但 L \textbf{L} L一定有最大数记它为 α inf S \alpha\inf\textbf{S} αinfSinfimum称为 S \textbf{S} S的下确界。 α : { α 是下界即 ∀ x ∈ S 有 x ≥ α α 是最大上界即 ∀ ξ 0 , ∃ x ∈ S , 使得 x α ξ \alpha:\left\{\begin{array}{l} \alpha是下界即\forall x \in \textbf{S}有x\ge \alpha \\ \alpha是最大上界即\forall \xi 0,\exists x\in\textbf{S}, 使得x\alpha \xi \end{array}\right. α:{α是下界即∀x∈S有x≥αα是最大上界即∀ξ0,∃x∈S,使得xαξ
