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一、Sigmoid函数：

Sigmoid函数是构建逻辑回归模型的重要函数，如下图所示。

• 二分类问题目标是将模型的输出结果控制在[0,1]的范围内，当模型输出结果＜0.5，默认预测结果为0；当模型输出结果＞0.5，默认预测结果为1。
• 二分类问题的解决思路是：通过构建逻辑回归模型f将二分类问题的输入x映射到Sigmoid函数的输入z上计算输出g，再根据g的范围（是否大于0.5）获得逻辑回归模型的结果（即二分类问题的结果）。
• 函数的定义域∈R，值域∈[0,1]，当输入z＜0时，Sogmoid函数输出结果g＜0.5,默认为结果是0，构成二分类问题的第一个类别。当输入z＞0时，Sogmoid函数输出结果g＞0.5,默认为结果是1，构成二分类问题的第二个类别。

二、逻辑回归介绍：

逻辑回归用来解决二分类问题。分类问题即模型的输出结果只有有限个（回归问题则是无限个），二分类问题即模型的输出结果只有两个。

在回归问题的经典案例“肿瘤预测案例”中，使用肿瘤尺寸size特征预测该肿瘤是否是恶性肿瘤，输出结果只有两种：是（1）或否（0）。

这时使用线性回归模型就很难拟合训练集 （线性回归解决的是回归问题，而肿瘤预测案例是一个分类问题，准确说是二分类问题），因此提出了逻辑回归思想。

逻辑回归模型（解决分类问题）：输入特征或特征集X并输出0~1之间的数字，其中拟合曲线通过Sogmoid函数来构造。具体构造流程如下图：

• 第一行解释：逻辑回归模型f的构造同线性回归，通过输入特征集X输出预测结果f，不同点在于f取值范围∈[0,1]。
• 第二三四行解释：之前我们介绍了Sigmoid函数的输出g可以很好的解决二分类问题，因此我们巧妙地使用了Sigmoid函数来构建逻辑回归模型f解决二分类问题，通过将输入特征集X使用线性回归或多项式回归映射到Sigmoid函数的输入z，实现Sigmoid函数的输出，然后根据Sigmoid函数输出结果是否大于0.5来计算逻辑回归模型的输出f（0或1），得到二分类问题的结果。
• 第五行解释：上述思想整合一下即可得出逻辑回归模型f，其中模型的输入是特征集X，输出是分类的预测结果0或1。
• 第六行解释：当逻辑回归模型的输出结果大于等于0.5时，预测值y^为1，用上文的例子来讲就是该肿瘤是恶性肿瘤；当逻辑回归模型的输出结果小于等于0.5时，预测值为0，用上文的例子来讲就是该肿瘤不是恶性肿瘤。

三、决策边界

从上文不难得到，当Sigmoid函数的输入z大于等于0时，即特征集X到z的映射z=wx+b大于等于0时，模型的输出结果是1；当Sigmoid函数的输入z小于0时，即特征集X到z的映射z=wx+b小于0时，模型的输出结果是0。
这是我们可以提出决策边界的概念：使得模型输入X到Sigmoid函数输入z的映射等于0的方程叫做决策边界。

以上述肿瘤预测模型为例，模型输入X到Sigmoid函数输入z的映射为z=wx+b，那么决策边界就是wx+b=0。

下面让我们用图像来展示决策边界的意义：

• 例1：映射为线性函数
  
  上图展示了训练集中特征x1、x2不同取值时标签的真实值，其中圈代表该样本分类结果为0，叉代表该样本分类结果为1。

  逻辑回归模型如上图，其中模型输入X到Sigmoid函数输入z的映射为z=w1x1+w2x2+b,则决策边界为w1x1+w2x2+b=0。若模型训练结果为w1=1,w2=1,b=-3时，决策边界为x1+x2-3=0,决策边界的函数图像如上图所示，可以看到，如果样本的特征位于决策边界左侧，逻辑回归预测时0，反之为1，这就是决策边界的图像意义。

• 例2：映射为多项式函数
  
  模型输入X到Sigmoid函数输入z的映射为多项式函数,决策边界如图，可以看到，模型训练完成后，参数值确定了，决策边界也立即就确定了，这时样本的特征相对决策边界的位置决定了该样本的预测结果。

四、逻辑回归模型训练过程：

其实和线性回归训练过程一样，只不过是待训练模型（函数）不同而已。

1.训练目标：

2.梯度下降调整参数：