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一、说明

协方差量化了两个随机变量协同变化的程度。当一个变量的较高值与另一个变量的较高值对齐时，同样，对于较低的值，协方差为正。相反，如果一个变量的较高值与另一个变量的较低值一致，则协方差为负。

二、协方差和相关性

2.1 协方差的概念

这是协方差的公式：

协方差提示
协方差表示变量之间线性关系的方向。
如果 X 和 Y 趋于一起增加，则它们的协方差为正。
如果 X 增加，而 Y 减少，则它们的协方差为负。
如果 X 和 Y 是独立的，则它们的协方差为零。

2.1 相关

相关性量化了两个变量的相关程度。它是协方差的归一化形式，其值范围为 -1 到 1。相关性 1 表示完全正关系，-1 表示完全负关系，0 表示无关系。

公式：

相关性提示：
相关性不仅衡量两个变量之间线性关系的方向，还衡量其强度。
正值表示正关系。
负值表示负关系。
接近零的值表示没有线性关系。
以下是一些用于更好地理解不同值相关性的图：

图 2.与不同值的相关性 [维基百科上的数据]
实例
示例 1：协方差计算
让我们考虑两个变量 X 和 Y，它们的值如下：

X = [2， 4， 6， 8]
Y = [1， 3， 5， 7]
协方差的 Python 代码：

import numpy as np# Data
X = np.array([2, 4, 6, 8])
Y = np.array([1, 3, 5, 7])# Mean of X and Y
mean_X = np.mean(X)
mean_Y = np.mean(Y)# Covariance Calculation
covariance = np.sum((X - mean_X) * (Y - mean_Y)) / (len(X) - 1)print(f"Covariance: {covariance}")

协方差：6.6666666666666667

示例 2：相关性计算
使用相同的变量 X 和 Y，我们计算它们的相关性。

用于关联的 Python 代码：

# Data
X = np.array([2, 4, 6, 8])
Y = np.array([1, 3, 5, 7])# Standard deviations of X and Y
std_X = np.std(X, ddof=1)
std_Y = np.std(Y, ddof=1)# Correlation Calculation
correlation = covariance / (std_X * std_Y)print(f"Correlation: {correlation}")

相关性：1.00000000000000002

使用库进行协方差和相关性：

我们还可以使用该库直接计算协方差和相关性：numpy

# Covariance Matrix
cov_matrix = np.cov(X, Y)
print(f"Covariance Matrix:\n{cov_matrix}")
print()# Correlation Matrix
corr_matrix = np.corrcoef(X, Y)
print(f"Correlation Matrix:\n{corr_matrix}")

这是上述代码的输出：

图 1.协方差和相关性的输出
可视化数据有助于了解变量之间的关系。

import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(X, Y)
plt.title("Scatter Plot of X and Y")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.show()

这是上述代码的输出：

图 3.X 和 Y 的散点图

三、有关关联的高级主题 （有关详细信息）

3.1 相关性和独立性

1. 独立性的定义
   如果一个变量的出现不会影响另一个变量的出现，则两个变量 X 和 Y 是独立的。从数学上讲，如果满足以下条件，X 和 Y 是独立的：

2. 相关性和独立性
   独立性意味着零相关性：如果两个变量是独立的，则它们的相关性为零。然而，反之则不一定是正确的。
   零相关性并不意味着独立性：两个变量的相关性可以为零，但仍以非线性方式相关。

3.2 零相关性和依赖性示例

将 X 视为 [−1， 1] 上的均匀分布随机变量，并设 Y=X²。在这里，X 和 Y 不是线性相关的（相关性为零），但它们显然是相关的（因为 Y 由 X 决定）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# Generating data
X = np.random.uniform(-1, 1, 1000)
Y = X ** 2# Calculating correlation
correlation = np.corrcoef(X, Y)[0, 1]plt.scatter(X, Y)
plt.title(f"Correlation between X and Y is: {correlation:.4}")
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y');

输出：

图 4. 零相关性和依赖性

四、相关性和因果关系

1. 因果关系的定义
   因果关系意味着一个变量的变化直接导致另一个变量的变化。建立因果关系需要的不仅仅是观察相关性;它需要对照实验或纵向研究。

2. 相关性并不意味着因果关系
   仅仅因为两个变量相关并不意味着一个变量导致另一个变量。相关性可能是由于：

巧合：变量是偶然相关的。
混杂变量：另一个变量影响这两个变量。
无因果关系的相关性示例
有研究表明，在某些地区，鹳的数量与人类出生率呈正相关！这种相关性可能会导致人们错误地得出鹳鸟接生婴儿的结论。然而，这种相关性背后的实际原因在于，较高的鹳数量和较高的出生率都与农村地区有关，而不是鹳和婴儿之间的因果关系。

图 5. 鹳和人类出生率
详细说明
鹳：一个区域中的鹳数量。
出生率：一个地区的人类出生人数。
农村：混杂变量。与城市地区相比，农村地区的鹳鸟数量和出生率往往更高。
Python 示例
让我们模拟数据来说明这个例子。

import numpy as np
import pandas as pd# Data generation
np.random.seed(42)
num_villages = 100
villages = np.arange(1, num_villages + 1)
stork_population = np.random.poisson(lam=30, size=num_villages)  # Simulating stork population
birth_rate = 0.5 * stork_population + np.random.normal(scale=5, size=num_villages)  # Birth rate influenced by stork population# Creating DataFrame
data = pd.DataFrame({'Village': villages,'Stork Population': stork_population,'Birth Rate': birth_rate
})# Correlation calculation
correlation = np.corrcoef(data['Stork Population'], data['Birth Rate'])[0, 1]print(f"Correlation between Stork Population and Birth Rate: {correlation:.2f}")

鹳鸟种群与出生率的相关性：0.38

让我们可视化它以便更好地理解：

import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(data['Stork Population'], data['Birth Rate'])
plt.title('Stork Population vs. Birth Rate')
plt.xlabel('Stork Population')
plt.ylabel('Birth Rate')
plt.show()

输出：

图 6. 鹳鸟种群与出生率
结果说明
正相关：计算将显示鹳鸟种群与出生率之间的正相关关系。
误解：如果不了解上下文，人们可能会错误地认为鹳是导致出生率增加的原因。
混杂变量：实际上，较高的鹳鸟数量和出生率在农村地区都是典型的，这是导致观察到的相关性的潜在因素。
此示例强调两个变量之间的相关性并不意味着直接的因果关系。可能还有其他潜在因素（混杂变量）有助于观察到的相关性。因此，在得出有关因果关系的结论之前，仔细分析和考虑所有可能的因素是必不可少的。

五、结论

在机器学习系列的第 31 天，我们深入研究了协方差和相关性的基本统计概念。通过实际的 Python 示例，我们演示了如何计算和解释这些指标，强调了区分相关性和因果关系的重要性，并了解混杂变量的作用。

保持好奇心，继续探索！您迈出的每一步都让您更接近掌握机器学习的艺术和科学。不要错过这个激动人心的旅程的下一章！