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一、问题描述

  设计实现 AOE 网的关键活动与关键路径问题；

二、算法思想

1. 获取拓扑序列；
2. 计算节点的最早开始时间 $ve[i]$；
3. 计算节点的最晚开始时间 $vl[j]$；
4. 查找关键路径

三、代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define maxx 999999
#pragma warning(disable:4996)typedef struct arc//弧
{	int index;//指向节点编号int weight;//边的权值struct arc *next;
}AR;typedef struct MyGraph
{int type;//0表示无向图，1表示有向图int arcnum,vexnum;//边的个数、顶点个数char **vexname;//存放顶点名称的二维数组	AR *N;//表头数组int **A;//邻接矩阵
}GH;int findvex(char *s,GH *G);//找到图G中名称为s的节点编号，并将其返回
void createGraph(GH *G);//创建图G
void showGraph(GH *G);//以邻接表的形式显示图Gint Topological_sort(GH *G,int *q);//对G进行拓扑排序，q用于存放拓扑序列；如果G中有回路，返回1，否则返回0
void CriticalPath(GH *G);//寻找G中的关键路径					
void findCP(int *t,int top,int end,int *visit,GH *G,int *ve,int *vl,int *count);//递归函数，用于在图G中寻找关键路径；
//t为栈，存储关键路径上节点编号；end表示汇点编号；visit表示访问标记数组；ve,vl表示节点的最早开始时间和最晚开始时间；count表示关键路径条数；int main(void)
{GH *G;G=(GH *)malloc(sizeof(GH));createGraph(G);printf("图的邻接表形式:\n");showGraph(G);CriticalPath(G);free(G);return 0;
}int findvex(char *s,GH *G)//找到图G中名称为s的节点编号，并将其返回
{int i;for(i=0;i<G->vexnum;i++){if(strcmp(s,G->vexname[i])==0)return i;}printf("读取文件错误.\n");exit(-1);
}void createGraph(GH *G)//创建图G
{int i,j,n,edge;char filename[]="graph.txt";//存放图的数据文件char str[10],str1[10];FILE *fp;AR *p;fp=fopen(filename,"r");if(!fp){printf("打开文件失败!\n");exit(-1);}fscanf(fp,"%d",&G->type);//读取图的类型G->arcnum=0;fscanf(fp,"%d",&n);//读取结点数量G->vexnum=n;//为动态数组分配空间G->vexname=(char **)malloc(n*sizeof(char *));G->N=(AR *)malloc(n*sizeof(AR));G->A=(int **)malloc(n*sizeof(int *));//对头结点数组和邻接矩阵初始化for (i = 0; i < n; i++){G->N[i].next = NULL;G->A[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));for (j = 0; j < n; j++)G->A[i][j]=maxx;}//读取顶点名称for(i=0;i<n;i++){fscanf(fp,"%s",str);G->vexname[i]=(char *)malloc(strlen(str)*sizeof(char));strcpy(G->vexname[i],str);}//读取边while(!feof(fp)){fscanf(fp,"%s",str);fscanf(fp,"%s",str1);fscanf(fp,"%d",&edge);i=findvex(str,G);j=findvex(str1,G);//邻接表p=(AR *)malloc(sizeof(AR));p->index=j;p->weight=edge;p->next=G->N[i].next;G->N[i].next=p;//邻接矩阵G->A[i][j]=edge;G->arcnum++;//边的个数增加if(G->type==0)//如果是无向图{//邻接表p=(AR *)malloc(sizeof(AR));p->index=i;p->weight=edge;p->next=G->N[j].next;G->N[j].next=p;//邻接矩阵G->A[j][i]=edge;}}fclose(fp);
}void showGraph(GH *G)//以邻接表的形式显示图G
{int i;AR *p;//用于遍历for (i = 0; i < G->vexnum; i++){printf("%s",G->vexname[i]);p=G->N[i].next;while (p){if (G->type == 1)printf("-->");else//无向图没有箭头printf("--");printf("%s(%d)",G->vexname[p->index],p->weight);p=p->next;}printf("\n");}printf("\n");
}int Topological_sort(GH *G,int *q)//对G进行拓扑排序，q用于存放拓扑序列；如果G中有回路，返回1，否则返回0
{int i,n;int *d;int *t,top;int index,count;AR *p;n=G->vexnum;d=(int *)malloc(n*sizeof(int));//统计各个节点的入度t=(int *)malloc(n*sizeof(int));//建立栈，用于存储节点编号top=-1;//初始化，将各个节点的入度设为0for (i = 0; i < n; i++)d[i] = 0;//遍历表头数组，统计各个节点的入度for (i = 0; i < n; i++){p=G->N[i].next;while (p){d[p->index]++;p=p->next;}}//挑选入度为0的点进栈for (i = 0; i < n; i++){if (d[i] == 0){top++;t[top]=i;}}count=0;//统计弹出的节点个数while (top >= 0)//若栈非空，弹栈{index=t[top];//栈顶元素编号//栈顶元素不输出//printf("%s ",G->vexname[index]);top--;//记录弹出序列，即拓扑序列q[count]=index;count++;//遍历弹出节点的邻接表，其相邻点的入度减一p=G->N[index].next;while (p){d[p->index]--;if (d[p->index] == 0)//若入度变为0，进栈{top++;t[top]=p->index;}p=p->next;}}//printf("\n");//输出free(t);free(d);if (count == n)//拓扑序列中含有G中全部点，表示没有回路return 0;elsereturn 1;
}void CriticalPath(GH *G)//寻找G中的关键路径
{int i,n;int x,y;//计数器int length;//关键路径长度int num,count;//关键节点个数和关键路径条数AR *p;int *q,*ve,*vl;int *t;//用于在递归寻找关键路径时存储路径int *visit;//访问标记数组n=G->vexnum;q=(int *)malloc(n*sizeof(int));//拓扑序列，存储节点编号ve=(int *)malloc(n*sizeof(int));//最早开始时间vl=(int *)malloc(n*sizeof(int));//最晚开始时间if (Topological_sort(G,q))//获取拓扑序列{printf("该有向图中存在回路，故不存在关键路径.\n");return;}//1.计算最早开始时间//初始化，全设为0for (i = 0; i < n; i++)ve[i] = 0;for (i = 0; i < n; i++)//利用正向拓扑序列计算最早开始时间{x = q[i];p = G->N[x].next;//利用邻接表寻找x的直接后继while (p)//更新x的直接后继的最早开始时间{if (ve[p->index] < ve[x] + (p->weight))ve[p->index] = ve[x] + (p->weight);p = p->next;}}//2.计算最晚开始时间length = ve[q[n - 1]];//关键路径长度//初始化for (i = 0; i < n; i++)vl[i] = length;for (i = n - 1; i >= 0; i--)//利用逆向拓扑序列计算最晚开始时间{y = q[i];//利用邻接矩阵寻找y的直接前驱for (x = 0; x < n; x++)//更新y的直接前驱的最晚开始时间{if (G->A[x][y] < maxx)//找到之后{if (vl[x] > vl[y] - G->A[x][y])vl[x] = vl[y] - G->A[x][y];}}}//3.输出最早开始时间和最晚开始时间num=0;visit=(int *)malloc(n*sizeof(int));printf("节点名称 最早开始时间 最晚开始时间\n");for (i = 0; i < n; i++){x = q[i];//节点编号printf("%4s %10d %12d\n",G->vexname[x],ve[x],vl[x]);if (ve[x] == vl[x]){visit[x] = 0;//关键节点设置为未访问num++;}elsevisit[x]=1;//事先标记非关键节点，避免后续访问}//4.利用递归在关键节点中探寻关键路径//初始化t = (int *)malloc(num*sizeof(int));//存储关键路径中节点编号visit[q[0]]=1;t[0] = q[0];count = 0;//关键路径条数//调用递归函数findCP(t,0,q[n-1],visit,G,ve,vl,&count);printf("\n");free(ve);free(vl);free(q);	free(t);free(visit);
}//t为栈，存储关键路径上节点编号；end表示汇点编号；visit表示访问标记数组；ve,vl表示节点的最早开始时间和最晚开始时间；count表示关键路径条数；
void findCP(int *t,int top,int end,int *visit,GH *G,int *ve,int *vl,int *count)//递归函数，用于在图G中寻找关键路径；
{int i;int cur;AR *p;cur=t[top];if (cur == end)//基准情况：到达汇点，输出路径{(*count)++;	printf("\n第%d条关键路径:\n",(*count));for (i = 0; i < top; i++)printf("%s-->",G->vexname[t[i]]);		printf("%s\n",G->vexname[cur]);}else//非基准情况{p=G->N[cur].next;while (p)//遍历当前节点的直接后继{if (visit[p->index]==0 && ve[cur] + (p->weight) == vl[p->index])//关键工序(边)的判别条件，非关键节点的visit[i]==1{visit[p->index]=1;t[top+1]=p->index;//入栈findCP(t,top+1,end,visit,G,ve,vl,count);//调用递归函数visit[p->index]=0;//撤销标记}p=p->next;}}
}

四、小结

1、 为了利用拓扑序列计算最早和最迟开始时间，在进行拓扑排序时，对排序序列进行记录；
2、 对于关键路径不唯一的情况，采用 DFS 寻找关键路径，查找路径之前，标记非关键节点，避免后续访问，从而简化了节点添入路径的条件，提高算法的执行效率；
3、 t 用于存储关键路径中的节点编号，由于关键路径中的节点均是关键节点，所以在给 t 分配空间时，分配的空间单位数与关键节点个数相同即可；
4、 在实际计算最早开始时间时，做法并不与算法思想完全一致，具体做法为：先设初值，$ve[i]$ 全部为0；然后遍历正向拓扑序列 $q$，对于编号为 $q[i]$ 的节点，更新其直接后继 $y$ 号节点的最早开始时间，即若 $ve[y]<ve[q[i]]+A[q[i]][y]$，则令 $ve[y]=ve[q[i]]+A[q[i]][y]$；对于最迟开始时间，进行类似操作；