哈希表概念

二叉搜索树具有对数时间的表现，但这样的表现建立在一个假设上：输入的数据有足够的随机性。哈希表又名散列表，在插入、删除、搜索等操作上具有「常数平均时间」的表现，而且这种表现是以统计为基础，不需依赖输入元素的随机性。

听起来似乎不可能，倒也不是，例如：

假设所有元素都是 8-bits 的正整数，范围 0~255，那么简单得使用一个数组就可以满足上述要求。首先配置一个数组 Q，拥有 256 个元素，索引号码 0~255，初始值全部为 0。每一个元素值代表相应的元素的出现次数。如果插入元素 i，就执行 Q[i]++，如果删除元素 i，就执行 Q[i]--，如果查找元素 i，就看 Q[i] 是否为 0。

这个方法有两个很严重的问题。

1. 如果元素是 32-bits，数组的大小就是 $2^{32}=4GB$，这就太大了，更不用说 64-bits 的数了
2. 如果元素类型是字符串而非整数，就需要某种方法，使其可用作数组的索引

散列函数

如何避免使用一个太大的数组，以及如何将字符串转化为数组的索引呢？一种常见的方法就是使用某种映射函数，将某一元素映射为一个「大小可接受的索引」，这样的函数称为散列函数。

散列函数应有以下特性：

• 函数的定义域必须包含需要存储的全部关键字，当散列表有 m 个地址时，其值域在 0 到 m - 1 之间
• 函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间

直接定址法

取关键字的某个线性函数为散列地址：$Hash(Key)=A\ast Key+B$

优点：简单、均匀

缺点：需要事先知道关键字的分布情况

使用场景：数据范围比较集中的情况

除留余数法

设散列表的索引个数为 m，取一个不大于 m，但最接近 m 的质数 p 最为除数，按照散列函数：$Hash(Key)=key$，将关键字转化为哈希地址

平方取中法

假设关键字为 1230，它的平方是 1512900，取中间的 3 位 129 作为哈希地址；

再比如关键字为 321，它的平方是 103041，取中间的 3 位 304（或 30）作为哈希地址。

哈希冲突

使用散列函数会带来一个问题：可能有不同的元素被映射到相同的位置。这无法避免，因为元素个数大于数组的容量，这便是「哈希冲突」。解决冲突问题的方法有很有，包括线性探测、二次探测、开散列等。

线性探测

当散列函数计算出某个元素的插入位置，而该位置上已有其他元素了。最简单的方法就是向下一一寻找（到达尾端，就从头开始找），直到找到一个可用位置。

进行元素搜索时同理，如果散列函数计算出来的位置上的元素值与目标不符，就向下一一寻找，直到找到目标值或遇到空。

至于元素的删除，必须采用伪删除，即只标记删除记号，实际删除操作在哈希表重新整理时再进行。这是因为哈希表中的每一个元素不仅表示它自己，也影响到其他元素的位置。

从上述插入过程我们可以看出，当哈希表中元素变多时，发生冲突的概率也变大了。由此，我们引出哈希表一个重要概念：负载因子。

负载因子定义为：Q = 表中元素个数 / 哈希表的长度

• 负载因子越大，剩余可用空间越少，发生冲突可能越大
• 负载因子越小，剩余可用空间越多，发生冲突可能越小，同时空间浪费更多

因此，控制负载因子是个非常重要的事。对于开放定址法（发生了冲突，就找下一个可用位置），负载因子应控制在 0.7~0.8 以下。超过 0.8，查找时的 CPU 缓存不命中按照指数曲线上升。

二次探测

线性探测的缺陷是产生冲突的数据会堆在一起，这与其找下一个空位置的方式有关，它找空位置的方式是挨着往后逐个去找。二次探测主要用来解决数据堆积的问题，其命名由来是因为解决碰撞问题的方程式 $F(i)=i^2$ 是个二次方程式。

更具体地说，如果散列函数计算出新元素的位置为 H，而该位置实际已被使用，那么将尝试 $H+1^2,H+2^2,H+3^2,...,H+i^2$，而不是像线性探测那样依次尝试 $H+1,H+2,H+3,...,H+i$。

大量实验表明：当表格大小为质数，而且保持负载因子在 0.5 以下（超过 0.5 就重新配置），那么就可以确定每插入一个新元素所需要的探测次数不超过 2。

链地址法

这种方法是在每一个表格元素中维护一个链表，在呢个链表上执行元素的插入、查询、删除等操作。这时表格内的每个单元不再只有一个节点，而可能有多个节点。

节点的定义：

template <class Value>
struct __hashtable_node {__hashtable_node* next;Value val;
};

哈希表的实现

闭散列

接口总览

template <class K, class V>
class HashTable {struct Elem {pair<K, V> _kv;State _state = EMPTY;};
public:Elem* Find(const K& key);bool Insert(const pair<K, V>& kv);bool Erase(const K& key);
private:vector<Elem> _table;size_t _n = 0;
};

节点的结构

因为在闭散列的哈希表中的每一个元素不仅表示它自己，也影响到其他元素的位置。所以要使用伪删除，我们使用一个变量来表示。

/// @brief 标记每个位置状态
enum State {EMPTY,	// 空EXIST,	// 有数据DELETE	// 有数据，但已被删除
};

哈希表的节点结构，不仅存储数据，还存储状态。

/// @brief 哈希表的节点
struct Elem {pair<K, V> _kv;	// 存储数据State _state;	// 存储状态	
};

查找

查找的思路比较简单：

1. 利用散列函数获取映射后的索引
2. 遍历数组看是否存在，直到遇到空表示查找失败

/// @brief 查找指定 key
/// @param key 待查找节点的 key 值
/// @return 找到返回节点的指针，没找到返回空指针
Elem* Find(const K& key) {if (_table.empty()) {return nullptr;}// 使用除留余数法的简化版本，并没有寻找质数// 同时，该版本只能用于正整数，对于字符串等需使用其他散列函数size_t start = key % _table.size();	size_t index = start;size_t i = 1;// 直到找到空位置停止while (_table[index]._state != EMPTY) {if (_table[index]._state == EXIST && _table[index]._kv.first == key) {return &_table[index];}index = start + i;index %= _table.size();++i;// 判断是否重复查找if (index == start) {return nullptr;}}return nullptr;
}

在上面代码的查找过程中，加了句用于判断是否重复查找的代码。理论上上述代码不会出现所有的位置都有数据，查找不存在的数据陷入死循环的情况，因为哈希表会扩容，闭散列下负载因子不会到 1。

但假如，我们插入了 5 个数据，又删除了它们，之后又插入了 5 个数据，将 10 个初始位置都变为非 EMPTY。此时我们查找的值不存在的话，是会陷入死循环的。

插入

插入的过程稍微复杂一些：

1. 首先检查待插入的 key 值是否存在
2. 其次需要检查是否需要扩容
3. 使用线性探测方式将节点插入

/// @brief 插入节点
/// @param kv 待插入的节点
/// @return 插入成功返回 true，失败返回 false
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {// 检查是否已经存在Elem* res = Find(kv.first);if (res != nullptr) {return false;}// 看是否需要扩容if (_table.empty()) {_table.resize(10);} else if (_n > 0.7 * _table.size()) {	// 变化一下负载因子计算，可以避免使用除法HashTable backUp;backUp._table.resize(2 * _table.size());for (auto& [k, s] : _table) {// C++ 17 的结构化绑定// k 绑定 _kv，s 绑定 _stateif (s == EXIST) {backUp.Insert(k);}}// 交换这两个哈希表，现代写法_table.swap(backUp._table);}// 将数据插入size_t start = kv.first % _table.size();size_t index = start;size_t i = 1;// 找一个可以插入的位置while (_table[index]._state == EXIST) {index = start + i;index %= _table.size();++i;}_table[index]._kv = kv;_table[index]._state = EXIST;++_n;return true;
}

删除

删除的过程非常简单：

1. 查找指定 key
2. 找到了就将其状态设为 DELETE，并减少表中元素个数

/// @brief 删除指定 key 值
/// @param key 待删除节点的 key
/// @return 删除成功返回 true，失败返回 false
bool Erase(const K& key) {Elem* res = Find(key);if (res != nullptr) {res->_state = DELETE;--_n;return true;}return false;
}

开散列

接口总览

template <class K, class V>
class HashTable {struct Elem {Elem(const pair<K, V>& kv) : _kv(kv), _next(nullptr){}pair<K, V> _kv;Elem* _next;};
public:Elem* Find(const K& key);bool Insert(const pair<K, V>& kv);bool Erase(const K& key);
private:vector<Elem*> _table;size_t _n = 0;
};

节点的结构

使用链地址法解决哈希冲突就不再需要伪删除了，但需要一个指针，指向相同索引的下一个节点。

/// @brief 哈希表的节点
struct Elem {Elem(const pair<K, V>& kv) : _kv(kv), _next(nullptr){}pair<K, V> _kv;	// 存储数据Elem* _next;	// 存在下一节点地址
};

查找

查找的实现比较简单：

1. 利用散列函数获取映射后的索引
2. 遍历该索引位置的链表

/// @brief 查找指定 key
/// @param key 待查找节点的 key 值
/// @return 找到返回节点的指针，没找到返回空指针
Elem* Find(const K& key) {if (_table.empty()) {return nullptr;}size_t index = key % _table.size();Elem* cur = _table[index];// 遍历该位置链表while (cur != nullptr) {if (cur->_kv.first == key) {return cur;}cur = cur->_next;}return nullptr;
}

插入

开散列下的插入比闭散列简单：

1. 首先检查待插入的 key 值是否存在
2. 其次需要检查是否需要扩容
3. 将新节点以头插方式插入

/// @brief 插入节点
/// @param kv 待插入的节点
/// @return 插入成功返回 true，失败返回 false
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {// 检查是否已经存在Elem* res = Find(kv.first);if (res != nullptr) {return false;}// 检查是否需要扩容if (_table.size() == _n) {vector<Elem*> backUp;size_t newSize = _table.size() == 0 ? 10 : 2 * _table.size();backUp.resize(newSize);// 遍历原哈希表，将所有节点插入新表for (int i = 0; i < _table.size(); ++i) {Elem* cur = _table[i];while (cur != nullptr) {// 取原哈希表的节点放在新表上，不用重新申请节点Elem* tmp = cur->_next;size_t index = cur->_kv.first % backUp.size();cur->_next = backUp[index];backUp[index] = cur;cur = tmp;}_table[i] = nullptr;}_table.swap(backUp);}// 将新节点以头插的方式插入size_t index = kv.first % _table.size();Elem* newElem = new Elem(kv);newElem->_next = _table[index];_table[index] = newElem;++_n;return true;
}

删除

开散列的删除与闭散列有些许不同：

1. 获取 key 对应的索引
2. 遍历该位置链表，找到就删除

/// @brief 删除指定 key 值
/// @param key 待删除节点的 key
/// @return 删除成功返回 true，失败返回 false
bool Erase(const K& key) {size_t index = key % _table.size();Elem* prev = nullptr;Elem* cur = _table[index];while (cur != nullptr) {if (cur->_kv.first == key) {if (prev == nullptr) {// 是该位置第一个节点_table[index] = cur->_next;} else {prev->_next = cur->_next;}delete cur;	// 释放该节点--_n;return true;}prev = cur;cur = cur->_next;}return false;
}