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文章目录
- 前言
- 一、一元二次方程中根和系数之间的关系
- 二、韦达定理的数学推导和作用
- 1. 韦达定理的数学推导
- 2. 韦达定理的作用
- 三、韦达定理的应用举例
- 1. 解题示例1
- 2. 解题示例2
- 3. 解题示例3
- 4. 解题示例4
- 5. 解题示例5
- 6. 解题示例6
- 7. 解题示例7
- 总结
前言
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。有趣的是，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
一、一元二次方程中根和系数之间的关系
韦达定理指出了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里只谈一元二次方程中根和系数之间的关系。
对于一元二次方程
a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 且△ = b 2 − 4 a c > 0 ) ax^2+bx+c=0 \space (a≠0 且△=b^2-4ac>0) ax2+bx+c=0 (a=0且△=b2−4ac>0)的两个根为 x 1 ， x 2 x_1，x_2 x1，x2 有
x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2= - \frac b a x1+x2=−ab
x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2= \frac c a x1⋅x2=ac
1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 \frac {1} {x_1} + \frac{1} {x_2} = \frac {x_1+x_2}{x_1·x_2} x11+x21=x1⋅x2x1+x2
二、韦达定理的数学推导和作用
1. 韦达定理的数学推导
由一元二次方程求根公式知：
x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} x1,2=2a−b±b2−4ac
则有：
x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a + − b − b 2 − 4 a c 2 a = − b a x_1 + x_2 = \frac {-b + \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} + \frac {-b - \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} = - \frac {b} {a} x1+x2=2a−b+b2−4ac+2a−b−b2−4ac=−ab
x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a × − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1 \cdot x_2 = \frac {-b + \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} \times \frac {-b - \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} = \frac {c} {a} x1⋅x2=2a−b+b2−4ac×2a−b−b2−4ac=ac
2. 韦达定理的作用
不论是解方程，还是研究方程的性质，韦达定理都很有用。
一般来说，韦达定理主要有以下四个方面的用途。
(1）利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根；
(2）已知方程的两根之间的某种关系，可以求出方程的系数来；
(3）已知二次方程，求它的两个根的齐次幂的和；
(4）已知二次方程，求作一个新的二次方程，使得两个方程的根满足某种关系。
三、韦达定理的应用举例
1. 解题示例1
对于方程
x 2 − ( m − 1 ) x + m − 7 = 0 x^2 - (m-1)x + m-7 = 0 x2−(m−1)x+m−7=0
已知下列条件之一，求m的值。
（1）有一个根为0；
（2）两根互为倒数；
（3）两根互为相反数。
解：
（1）已知“有一个根为0”，不妨设 x 1 = 0 x_1=0 x1=0。由韦达定理可知
x 1 ⋅ x 2 = m − 7 x_1 \cdot x_2 = m-7 x1⋅x2=m−7
∵ x 1 = 0 \because x_1=0 ∵x1=0
∴ m − 7 = 0 , m = 7 \therefore m-7=0, m=7 ∴m−7=0,m=7
（2）已知“两根互为倒数”，必有 x 1 = 1 x 2 x_1= \frac {1} {x_2} x1=x21。由韦达定理可知
x 1 ⋅ x 2 = m − 7 x_1 \cdot x_2 = m-7 x1⋅x2=m−7
∵ x 1 ⋅ x 2 = x 1 ⋅ 1 x 1 = 1 \because x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot \frac {1} {x_1} = 1 ∵x1⋅x2=x1⋅x11=1
∴ m − 7 = 1 , m = 8 \therefore m-7=1, \space m=8 ∴m−7=1, m=8
（3）已知“两根互为相反数”，必有 x 1 = − x 2 x_1= -x_2 x1=−x2。由韦达定理可知
x 1 + x 2 = m − 1 x_1 + x_2 = m-1 x1+x2=m−1
∵ x 1 + x 2 = 0 \because x_1 + x_2 = 0 ∵x1+x2=0
∴ m − 1 = 0 , m = 1 \therefore m-1=0, \space m=1 ∴m−1=0, m=1
2. 解题示例2
已知方程 x 2 + 2 x − 18 = 0 x^2 + 2x -18 = 0 x2+2x−18=0的两根为 α , β \alpha, \beta α,β。
（1）写出以 2 α + 3 β 2\alpha+3\beta 2α+3β， 2 β + 3 α 2\beta+3\alpha 2β+3α为两根的方程；
（2）写出以 α + 2 β \alpha+\frac{2}{\beta} α+β2， β + 2 α \beta+\frac{2}{\alpha} β+α2为两根的方程。
解：
（1）由韦达定理得
α + β = − 2 ， α ⋅ β = − 18 \alpha+\beta = -2，\space \alpha \cdot \beta = -18 α+β=−2， α⋅β=−18
∵ ( 2 α + 3 β ) + ( 2 β + 3 α ) = 5 ( α + β ) = 5 × ( − 2 ) = − 10 \because (2\alpha+3\beta) + (2\beta+3\alpha) = 5(\alpha+\beta) = 5 \times (-2) = -10 ∵(2α+3β)+(2β+3α)=5(α+β)=5×(−2)=−10
又 ∵ ( 2 α + 3 β ) ⋅ ( 2 β + 3 α ) \because (2\alpha+3\beta) \cdot (2\beta+3\alpha) ∵(2α+3β)⋅(2β+3α)
= 6 α 2 + 13 α β + 6 β 2 =6\alpha^2+13\alpha\beta+6\beta^2 =6α2+13αβ+6β2
= 6 ( α 2 + β 2 ) + 13 × ( − 18 ) =6(\alpha^2+\beta^2)+13\times(-18) =6(α2+β2)+13×(−18)
= 6 ( α 2 + β 2 ) − 234 =6(\alpha^2+\beta^2)-234 =6(α2+β2)−234
而 α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta α2+β2=(α+β)2−2αβ
= ( − 2 ) 2 − 2 × ( − 18 ) = 40 =(-2)^2 - 2\times(-18) = 40 =(−2)2−2×(−18)=40
∴ ( 2 α + 3 β ) ⋅ ( 2 β + 3 α ) \therefore (2\alpha+3\beta) \cdot (2\beta+3\alpha) ∴(2α+3β)⋅(2β+3α)
= 6 × 40 − 234 = 6 =6\times40-234 = 6 =6×40−234=6
∴ 所求方程为 x 2 + 10 x + 6 = 0 \therefore 所求方程为x^2 + 10x + 6 = 0 ∴所求方程为x2+10x+6=0
（1）由韦达定理得
( α + 2 β ) + ( β + 2 α ) (\alpha+\frac{2}{\beta}) + (\beta+\frac{2}{\alpha}) (α+β2)+(β+α2)
= α + β + 2 α + β α β = \alpha + \beta + 2 \frac {\alpha+\beta} {\alpha\beta} =α+β+2αβα+β
= − 2 + 2 × − 2 − 18 = − 16 9 = -2 + 2 \times \frac{-2}{-18} = - \frac {16} {9} =−2+2×−18−2=−916
又
( α + 2 β ) ⋅ ( β + 2 α ) (\alpha+\frac{2}{\beta}) \cdot (\beta+\frac{2}{\alpha}) (α+β2)⋅(β+α2)
= α β + 4 α β + 4 = − 18 + 4 − 18 + 4 = − 128 9 = \alpha \beta + \frac {4} { \alpha \beta} +4 = -18 + \frac {4} {-18} + 4 = - \frac {128} {9} =αβ+αβ4+4=−18+−184+4=−9128
∴ 所求方程为 9 x 2 + 16 x − 128 = 0 \therefore 所求方程为9x^2 + 16x - 128 = 0 ∴所求方程为9x2+16x−128=0
3. 解题示例3
已知方程 x 2 − x − 4 = 0 x^2 - x - 4 = 0 x2−x−4=0，不许解方程，求 x 1 2 + x 2 2 x_1^2 + x_2^2 x12+x22和 1 x 1 3 + 1 x 2 3 \frac {1} {x_1^3} + \frac {1} {x_2^3} x131+x231的值。 (1956年北京市中学生数学竞赛试题)
解：
由韦达定理可知
x 1 + x 2 = 1 ， x 1 ⋅ x 2 = − 4 x_1 + x_2 = 1，x_1 · x_2 = -4 x1+x2=1，x1⋅x2=−4
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 1 2 − 2 × ( − 4 ) = 9 x_1^2 + x_2^2 = ( x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = 1^2 - 2 \times (-4) = 9 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=12−2×(−4)=9
1 x 1 3 + 1 x 2 3 \frac {1} {x_1^3} + \frac {1} {x_2^3} x131+x231
= x 1 3 + x 2 3 x 1 3 ⋅ x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 2 − x 1 x 2 + x 2 2 ) ( x 1 ⋅ x 2 ) 3 = \frac {x_1^3 + x_2^3} {x_1^3 \cdot x_2^3} = \frac {(x_1+x_2)( x_1^2 -x_1 x_2+ x_2^2)} {(x_1 \cdot x_2)^3} =x13⋅x23x13+x23=(x1⋅x2)3(x1+x2)(x12−x1x2+x22)
= ( x 1 + x 2 ) [ ( x 1 2 + x 2 2 ) − x 1 x 2 ] ( x 1 ⋅ x 2 ) 3 = \frac {(x_1+x_2)[( x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2]} {(x_1 \cdot x_2)^3} =(x1⋅x2)3(x1+x2)[(x12+x22)−x1x2]
1 × [ 9 − ( − 4 ) ] ( − 4 ) 3 = − 13 64 \frac {1 \times [9-(-4)]} {(-4)^3} = - \frac {13} {64} (−4)31×[9−(−4)]=−6413
4. 解题示例4
已知 p + q = 198 p+q=198 p+q=198，求方程 x 2 + p x + q = 0 x^2+px+q=0 x2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2，不妨设 x 1 ≤ x 2 x_1≤x_2 x1≤x2. 由韦达定理，得
x 1 + x 2 = − p ， x 1 ⋅ x 2 = q x_1+x_2=-p，x_1 \cdot x_2=q x1+x2=−p，x1⋅x2=q
于是 p + q = x 1 ⋅ x 2 − ( x 1 + x 2 ) = 198 p+q=x_1·x_2-(x_1+x_2)=198 p+q=x1⋅x2−(x1+x2)=198
即 x 1 ⋅ x 2 − x 1 − x 2 + 1 = 199 x_1·x_2-x_1-x_2+1=199 x1⋅x2−x1−x2+1=199
∴运用提取公因式法 ( x 1 − 1 ) ⋅ ( x 2 − 1 ) = 199 (x_1-1)·(x_2-1)=199 (x1−1)⋅(x2−1)=199
注意到 ( x 1 − 1 ) , ( x 2 − 1 ) (x_1-1), (x_2-1) (x1−1),(x2−1)均为整数，
解得 x 1 = 2 ， x 2 = 200 ； x 1 = − 198 ， x 2 = 0 x_1=2，x_2=200；x_1=-198，x_2=0 x1=2，x2=200；x1=−198，x2=0
5. 解题示例5
已知关于 x x x的方程 x 2 − ( 12 − m ) x + m − 1 = 0 x^2-(12-m)x+m-1=0 x2−(12−m)x+m−1=0的两个根都是正整数，求 m m m的值.
解：设方程的两个正整数根为 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，且不妨设 x 1 ≤ x 2 x_1≤x_2 x1≤x2.由韦达定理得
x 1 + x 2 = 12 − m ， x 1 ⋅ x 2 = m − 1 x_1+x_2=12-m，x_1 \cdot x_2=m-1 x1+x2=12−m，x1⋅x2=m−1
于是 x 1 ⋅ x 2 + x 1 + x 2 = 11 x_1 \cdot x_2 + x_1+x_2 = 11 x1⋅x2+x1+x2=11
即 ( x 1 + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 12 (x_1+1)( x_2+1)=12 (x1+1)(x2+1)=12
∵ x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2为正整数，
解得 x 1 = 1 ， x 2 = 5 ； x 1 = 2 ， x 2 = 3 x_1=1，x_2=5；x_1=2，x_2=3 x1=1，x2=5；x1=2，x2=3
故有 m = 6 ，或 m = 7. m=6，或m=7. m=6，或m=7.
6. 解题示例6
求实数 k k k，使得方程 k x 2 + ( k + 1 ) x + ( k − 1 ) = 0 kx^2+(k+1)x+(k-1)=0 kx2+(k+1)x+(k−1)=0的根都是整数.
解：若 k = 0 k=0 k=0，得 x = 1 x=1 x=1，即 k = 0 k=0 k=0符合要求.
若 k ≠ 0 k≠0 k=0，设二次方程的两个整数根为 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，且 x 1 ≤ x 2 x_1≤x_2 x1≤x2，由韦达定理得
x 1 + x 2 = − k + 1 k ， x 1 ⋅ x 2 = k − 1 k x_1+x_2 = - \frac {k+1} {k}，x_1 \cdot x_2 = \frac {k-1} {k} x1+x2=−kk+1，x1⋅x2=kk−1
∴ x 1 ⋅ x 2 − x 1 − x 2 = k − 1 k − ( − k + 1 k ) = 2 ∴ x_1 \cdot x_2 - x_1 - x_2 = \frac {k-1} {k} - (- \frac {k+1} {k}) = 2 ∴x1⋅x2−x1−x2=kk−1−(−kk+1)=2
∴ ( x 1 − 1 ) ( x 2 − 1 ) = 3 ∴ (x_1-1)( x_2-1)=3 ∴(x1−1)(x2−1)=3
因为 x 1 − 1 , x 2 − 1 x_1 - 1, x_2 - 1 x1−1,x2−1均为整数，所以有
x 1 = 2 ， x 2 = 4 ； x 1 = − 2 ， x 2 = 0 x_1=2，x_2=4；x_1=-2，x_2=0 x1=2，x2=4；x1=−2，x2=0
所以 k = 1 ，或 k = − 1 7 k=1，或k=- \frac 1 7 k=1，或k=−71
7. 解题示例7
已知二次函数 y = − x 2 + p x + q y=-x^2+px+q y=−x2+px+q的图像与 x x x轴交于 ( α ， 0 ) 、 ( β ， 0 ) (α，0)、(β，0) (α，0)、(β，0)两点，且 α > 1 > β α>1>β α>1>β，求证： p + q > 1 p+q>1 p+q>1. (1997年四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程 − x 2 + p x + q = 0 -x^2+px+q=0 −x2+px+q=0，即 x 2 − p x − q = 0 x^2-px-q=0 x2−px−q=0的两根为 α , β α,β α,β.
由韦达定理得 α + β = p ， α β = − q α+β=p，αβ=-q α+β=p，αβ=−q
于是 p + q = α + β − α β = − ( α β − α − β + 1 ) + 1 p+q=α+β-αβ=-(αβ-α-β+1)+1 p+q=α+β−αβ=−(αβ−α−β+1)+1
因为 α > 1 > β α>1>β α>1>β，故
p + q = − ( α − 1 ) ( β − 1 ) + 1 > 1 p+q = -(α-1)(β-1)+1 > 1 p+q=−(α−1)(β−1)+1>1
总结
法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”，在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。