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1 Abstract:

• 这篇论文提出了新的算法来解决特征稀疏约束的主成分分析问题（FSPCA），该问题同时执行特征选择和PCA。现有的FSPCA优化方法需要对数据分布做出假设，并且缺乏全局收敛性的保证。尽管一般的FSPCA问题是NP难问题，我们展示了对于低秩协方差，FSPCA可以全局解决（算法1）。然后，我们提出了另一种策略（算法2），通过迭代构建一个精心设计的代理来解决一般协方差情况下的FSPCA问题，并保证收敛性。我们为新算法提供了（数据依赖的）近似界限和收敛性保证。对于具有指数/Zipf分布的协方差谱，我们提供了指数/多项式近似界限。实验结果表明，与最先进的方法相比，新算法在合成数据和真实世界数据集上表现出有希望的性能和效率。

2 Object function:

3 Solving strategy：

4 Summarize

• 算法原理可以分为两部分：

  低秩协方差矩阵的全局最优解（Algorithm 1）：

  当协方差矩阵A的秩小于或等于m时，算法可以找到一个全局最优解。这是因为在低秩情况下，可以直接通过选择A中最大的k个特征值对应的特征向量来构建W，从而得到一个最优的稀疏主子空间。
  算法首先确定A中最大的k个特征值，并选择对应的特征向量。这些特征向量构成了一个矩阵V，然后通过V与一个选择矩阵S相乘得到最终的W，其中S是根据特征值的大小选择特定行的矩阵。

  高秩协方差矩阵的迭代代理更新（Algorithm 2）：

  对于高秩协方差矩阵A，算法采用迭代方法来近似解决FSPCA问题。算法构建一个低秩代理矩阵P，然后用这个P来近似原始问题。
  在每次迭代中，算法首先使用当前估计的W来构建代理矩阵Pt。这个代理矩阵Pt是通过AWt(WtAWt)†WtA（其中Wt是当前迭代的W）来计算的，它是一个低秩矩阵，其秩不超过m。
  然后，算法使用Algorithm 1来解决代理矩阵Pt的FSPCA问题，得到新的Wt+1。
  这个迭代过程继续进行，直到Wt+1与Wt相等，即算法收敛。
  论文还提供了对这两个算法的理论分析，包括近似界和收敛保证。特别是，对于具有指数或Zipf分布的协方差矩阵谱，论文提供了相应的近似界。