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泊松分布 (Poisson Distribution)

泊松分布是概率论中的一个重要离散分布，描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，假设事件是独立的且平均发生率是已知的。

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定义

泊松分布的概率质量函数 (PMF) 为：
$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$

• $X$：随机变量，表示单位时间或单位空间内事件发生的次数。
• $k$：事件发生的具体次数（非负整数）。
• $\lambda$：事件发生的平均次数（泊松分布的参数）。
• $e$：自然对数的底数，约等于 $2.718$。

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性质

1. 期望和方差：
   $\mathbb{E}[X]=\lambda ,\mathrm{Var}(X)=\lambda$
   泊松分布的期望值和方差均等于参数 (\lambda)。

2. 稀疏事件建模：泊松分布常用于建模稀疏事件（事件发生概率低，但可能次数多）。

3. 无上界性：虽然泊松分布是离散分布，但事件发生次数 (k) 没有上限（但概率会迅速趋近于 0）。

4. 加法性：若 $X_1\sim \text{Poisson}({\lambda }_1)$，$X_2\sim \text{Poisson}({\lambda }_2)$，且 $X_1$和 $X_2$ 独立，则：
   $X_1+X_2\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

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适用条件

1. 独立性：单位时间/空间内事件的发生是独立的。
2. 均匀性：事件发生的平均速率 (\lambda) 是固定的。
3. 单事件性：在极小的时间间隔内，只能发生一次事件。

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例子

例子 1：客户到达速率

某银行的客户到达速率为每分钟 $2$人 $(\lambda =2$)。假设客户到达服从泊松分布：

• 问题：一分钟内没有客户到达的概率是多少？

  解答：
  $P(X=0)=\frac{{\lambda }^0{e}^{-\lambda }}{0!}=\frac{2^0{e}^{-2}}{1}=e^{-2}\approx 0.1353$

  结果：一分钟内没有客户到达的概率约为 (13.53%)。

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例子 2：网页访问量

某网站的访问量平均每小时为 $10$ 次 $(\lambda =10$)。假设访问次数服从泊松分布：

• 问题：一小时内正好有 (15) 次访问的概率是多少？

  解答：
  $P(X=15)=\frac{{\lambda }^{15}{e}^{-\lambda }}{15!}=\frac{10^{15}{e}^{-10}}{15!}$
  使用计算工具计算得：
  $P(X=15)\approx 0.0347$

  结果：一小时内正好有 $15$ 次访问的概率约为 $3.47\%$。

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例子 3：电话呼叫

某呼叫中心每小时接到的呼叫数平均为 $6$ 次 $lambda=6$。假设呼叫次数服从泊松分布：

• 问题：一小时内接到超过 $8$ 次呼叫的概率是多少？

  解答：
  $P(X>8)=1-P(X\le 8)=1-{\sum }_{k=0}^{8}P(X=k)$
  逐项计算 $P(X=k)$，或直接使用计算工具得：
  $P(X>8)\approx 0.194$

  结果：一小时内接到超过 $8$ 次呼叫的概率约为 $19.4\%$。

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泊松分布与其他分布的关系

1. 与二项分布的关系：
   当二项分布的试验次数 $n$ 很大，单次成功概率 $p$ 很小，且 $np=\lambda$ 为常数时，二项分布可近似为泊松分布：
   $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}\approx \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

2. 与指数分布的关系：
   泊松过程中的事件间隔时间服从指数分布。如果事件发生的速率为 $lambda$，则事件间隔时间 $T$ 的概率密度函数为：
   $f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},t\ge 0$

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总结

泊松分布在实际生活中应用广泛，包括：

• 客户到达次数
• 事故发生次数
• 电话呼叫数量
• 射线探测计数

它适合描述独立稀疏事件的发生次数，是统计学、工程学、管理科学等领域的重要工具。