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1.离散傅里叶变换

对于离散时域信号 x[n]使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）进行频域分析。

DFT 将离散信号 x[n] 变换为其频谱表示 X[k]，定义如下：

$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$

1.1 共轭对称性

对于实值信号，其离散傅里叶变换（DFT）的结果在频谱上是共轭对称性（Conjugate Symmetry）

复共轭：实数相同，虚数取反

z = a + bi, 那么 \overline{z} = a - bi

1.2 奈奎斯特频率

奈奎斯特频率（Nyquist frequency）指在采样过程中，能够精确还原原始信号的最高频率。根据奈奎斯特定理，为了正确地重建一个信号，采样频率必须至少是信号中最高频率的两倍。

因此，奈奎斯特频率就是采样频率的一半。如果信号的频谱超过了奈奎斯特频率，就会出现混叠（aliasing）现象，导致采样后的信号无法正确还原原始信号。

典型的人类语音频率范围大约在0 Hz到4 kHz之间，主要能量集中在0 Hz到2.5 kHz。因此，为了捕捉和处理语音信号的主要频率成分，通常选择的采样频率是略大于这个最高频率（如8 kHz）。

1.3 混叠(aliasing)现象

即采样频率低于信号中最高频率的两倍，就会导致频域中的信号成分发生错位和重叠(表现为失真)，从而无法正确地重建原始信号

如果采样频率低于最高频率的两倍，那么高于奈奎斯特频率的信号成分会“折叠”到采样频率范围内的其他频率位置上。

当信号频率超过了奈奎斯特频率时，它在采样后的频域中将被错误地解释为低于奈奎斯特频率的频率，这会导致信号在频域中产生额外的频率能量，这些能量是原始信号频率的镜像（或折叠）。

2.快速傅里叶变换(FFT)

FFT利用分治策略将离散傅里叶变换（DFT）分解为更小规模的DFT计算。将长度为 N 的序列分成长度为
N/2 的两个子序列，然后递归地应用FFT算法计算这两个子序列的DFT，最后将结果合并为原始序列的DFT。

• Scipy的FFT用于可视化频域图

# 使用 scipy.fftpack.fft 计算 FFT
fft_result = fft(signal)# 计算频率轴
freqs = np.fft.fftfreq(len(signal), d=t[1] - t[0])

3.短时傅里叶变换(STFT)

短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）用于画时频谱，
是一种将信号分解到时间-频率域的方法,

参数如下：

input (Tensor):
* 输入信号，可以是 1D 或 2D 张量。
* 如果是 1D 张量，则表示单个信号序列。
* 如果是 2D 张量，第一维表示信号的批次（batch），第二维表示每个信号的时间步。n_fft (int):
* 每个窗口的 FFT 点数。
* 通常是一个大于等于 win_length 的值。这个参数决定了频域分辨率。hop_length (int, optional):
* 窗口之间的跳跃长度（即窗口之间的距离）。
* 默认值为 win_length // 2，即窗口重叠一半。win_length (int, optional):
* 每个窗口的长度。
* 默认值为 n_fft, 大于n_fft, 则需要填充窗口剩余样本点。window (Tensor, optional):
* 窗函数，用于加窗处理，以提升频谱的平滑度。
* 通常使用汉宁窗（Hann window）或汉明窗（Hamming window）。
* 默认值为一个全 1 的窗函数。center (bool, optional):
* 如果为 True（默认值），则在信号的两端各加上 n_fft // 2 个零，以确保每个时间点都有一个完整的窗口。pad_mode (str, optional):
* 填充模式，当 center 为 True 时使用。
* 可以是 'constant', 'reflect' 等。默认值为 'reflect'。normalized (bool, optional):
* 如果为 True，则返回的 STFT 会进行归一化处理。onesided (bool, optional):
* 如果为 True（默认值），则返回的 STFT 只包含非负频率部分，这在处理实数信号时是有用的。return_complex (bool, optional):
* 如果为 True，则返回复数类型的结果。否则，返回一个两通道的实数张量，其中一个通道是实部，另一个通道是虚部。

4.代码样例

一个信号由两个信号叠加：

signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 50 * t)

上图为stft, 下图为fft

代码在Github_Link