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70 爬楼梯 （进阶)

爬楼梯问题在我们刚开始学习动态规划的时候作为入门的问题。当时题目考虑的是1或2种走法。如果将能走的台阶设为M，则能产生进阶的题目。通过求解完全背包问题得到。

题目如下：

题目页面

如果最多能走m个台阶，那么1,2,...,m种走法就是物品，走到楼顶就是背包。因为先走5再走1和先走1再走5是不一样的，因此这道题是排列问题，所以背包容量要放在循环外面。

• 递归公式 dp[i] += dp[i - j]

 

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}cout << dp[n] << endl;}
}

Leetcode: 322 零钱兑换

基本规律

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

基本思路

1、确定下标

dp[i]表示凑足总额为i所需钱币的最少个数为dp[j]

2、递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1，所以dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3、初始化

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

这里涉及到一个代码的写法

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

4、循环逻辑

因为本题寻找的是最小，所以无关物品和背包的关系，为了代码好写，选择了外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

时间复杂度: O(n * amount)

空间复杂度: O(amount)

代码如下：

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for(int i = 0; i < coins.size(); i++){for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){if(dp[j - coins[i]] != INT_MAX){dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

Leetcode: 279 完全平方数

1、下标和含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2、递推公式

和上题基本一样，只不过物品变成了平方数。

3、遍历顺序

遍历背包和物品都可以。

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for(int j = 0; j <= n; j++){//遍历背包for(int i = 1; i*i <= j; i++){//遍历物品，注意当小于背包容量的时候停止dp[j] = min(dp[j - i*i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};

代码随想录