智能优化网站,wordpress 无插件主题,常州做网站建设,南京做网站工作室第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
空间中的直线可以视为两个平面的交集。考虑两个相交平面Ⅱ₁和Ⅱ₂#xff0c;它们的方程分别为 #x1d434;1#x1d465;#x1d435;1#x1d466;#x1d436;1#x1d467;#x1d437;10A1xB1yC1zD10… 第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
空间中的直线可以视为两个平面的交集。考虑两个相交平面Ⅱ₁和Ⅱ₂它们的方程分别为 11110A1xB1yC1zD10 和 22220A2xB2yC2zD20。这两个平面的交线上的任一点必须同时满足这两个平面的方程。因此直线可以通过方程组 来表示这称为直线的一般方程。
这种表示方法的优点在于其普遍性——任何两个相交平面都可以通过此方程组确定一条直线。但这也意味着直线的表达不是唯一的因为存在无限多对相交平面可以定义同一条直线。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
空间直线还可以通过对称式方程或点向式方程来表达。设直线上一点 0(0,0,0)M0(x0,y0,z0) 和一个方向向量 (,,)s(m,n,p) 已知任意直线上的点 (,,)M(x,y,z) 与 0M0 之间的向量 0→(−0,−0,−0)M0M(x−x0,y−y0,z−z0) 必须与方向向量 s 平行。因此有 这就是直线的对称式方程。
从对称式方程可以容易地导出参数方程 其中 t 是参数。
例子对称式方程及参数方程表示直线
给定直线方程 2−3402x−y3z40首先确定直线上的一点。选择 01x01代入方程解得 00y00 和 0−2z0−2。再确定直线的方向向量假设为 (,,)s(m,n,p)。这里我们可以找到两个平面的法线向量 1(1,1,1)n1(1,1,1) 和 2(2,−1,3)n2(2,−1,3)它们的交线就是我们的直线直线方向向量可以通过 1n1 和 2n2 的叉乘获得。
最终直线的对称式方程和参数方程可由上述步骤得出为
对称式方程−12对称式方程
参数方程1, , −2参数方程
这些方程不仅简洁地表达了空间直线的数学属性还有助于直观地理解直线在三维空间中的位置和方向。 三、两直线的夹角
两条直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的角度通常考虑的是它们的锐角或直角。设直线 1L1 和 2L2 的方向向量分别为 1(1,1,1)s1(m1,n1,p1) 和 2(2,2,2)s2(m2,n2,p2)则这两条直线之间的夹角 ϕ 可以通过它们的方向向量的点积来确定 这个公式反映了两向量间夹角的余弦值。如果结果为零说明两直线互相垂直如果余弦值的绝对值为 1说明两直线平行或重合。
例2求直线的夹角
设直线 1L1 的方向向量为 1(1,−4,1)s1(1,−4,1)直线 2L2 的方向向量为 2(2,−2,−1)s2(2,−2,−1)。根据以上公式我们可以计算两直线之间的夹角 ϕ。
首先计算点积和各向量的模 因此 从此我们可以得出两直线的夹角 ϕ。
四、直线与平面的夹角
直线与平面的夹角是指直线和它在该平面上的投影之间的夹角。如果直线与平面垂直该夹角定义为 90 度。
设直线的方向向量为 (,,)s(m,n,p)平面的法线向量为 (,,)n(A,B,C)。直线与平面的夹角 θ 可以通过它们的方向向量和法线向量的点积来确定 这个公式反映了直线与平面的夹角的正弦值适用于计算直线与平面非垂直的情况。如果 0AmBnCp0则直线与平面平行或在平面上。
例3求过点 (1, -2, 4) 且与平面 2−3−402x−3yz−40 垂直的直线的方程
因为所求直线垂直于已知平面我们可以取该平面的法线向量 (2,−3,1)n(2,−3,1) 作为直线的方向向量。通过点和方向向量直线的方程可以表示为 这样我们就得到了直线的方程它通过给定的点并与给定平面垂直。 五、杂例
例4求与两平面 −43x−4z3 和 2−−512x−y−5z1 的交线平行且过点 (−3,2,5)(−3,2,5) 的直线的方程
解法一
因为所求直线与两个平面的交线平行直线的方向向量 s 必须同时与两个平面的法线向量 1(1,0,−4)n1(1,0,−4) 和 2(2,−1,−5)n2(2,−1,−5) 垂直。我们可以通过计算这两个法线向量的叉乘来找到直线的方向向量 因此直线的方程使用点向式方程表示为 解法二
求过点 (−3,2,5)(−3,2,5) 且分别与两个平面平行的平面方程。第一个平面与 −43x−4z3 平行其方程为 −41x−4zk1通过代入点 (−3,2,5)(−3,2,5) 得 1−23k1−23。类似地第二个平面与 2−−512x−y−5z1 平行其方程为 2−−522x−y−5zk2通过代入点 (−3,2,5)(−3,2,5) 得 2−33k2−33。
所求直线为这两个平面的交线方程为 例5求直线与平面 2−602xyz−60 的交点
已知直线的参数方程为 2x2t, 3y3t, 42z42t。将这些参数方程代入平面方程 解得 −1t−1。将 −1t−1 代入直线的参数方程得交点的坐标为 (1,2,2)(1,2,2)。
例6求过点 (2,1,3)(2,1,3) 且与直线垂直相交的直线的方程
先构造一个过点 (2,1,3)(2,1,3) 且垂直于已知直线的平面方程该平面方程为
3(−2)2(−1)−(−3)03(x−2)2(y−1)−(z−3)0
求已知直线与这个平面的交点假设已知直线的参数方程为 −13x−13t, 12y12t, −z−t。代入平面方程并求解得 t 的值找到交点。
以点 (2,1,3)(2,1,3) 为起点交点为终点的向量 是所求直线的一个方向向量所以直线的方程为 这些示例体现了空间解析几何在解决与平面和直线相关的问题中的强大应用。 文章转载自： http://www.morning.aiai201.cn.gov.cn.aiai201.cn http://www.morning.nd-test.com.gov.cn.nd-test.com http://www.morning.zwhtr.cn.gov.cn.zwhtr.cn http://www.morning.xrlwr.cn.gov.cn.xrlwr.cn http://www.morning.hqnsf.cn.gov.cn.hqnsf.cn http://www.morning.rcfwr.cn.gov.cn.rcfwr.cn http://www.morning.pbdnj.cn.gov.cn.pbdnj.cn http://www.morning.niukaji.com.gov.cn.niukaji.com http://www.morning.prmbn.cn.gov.cn.prmbn.cn http://www.morning.qytpt.cn.gov.cn.qytpt.cn http://www.morning.zcwzl.cn.gov.cn.zcwzl.cn http://www.morning.yzygj.cn.gov.cn.yzygj.cn http://www.morning.wsjnr.cn.gov.cn.wsjnr.cn http://www.morning.kpbgp.cn.gov.cn.kpbgp.cn http://www.morning.zdgp.cn.gov.cn.zdgp.cn http://www.morning.fssmx.com.gov.cn.fssmx.com http://www.morning.clbsd.cn.gov.cn.clbsd.cn http://www.morning.xpqyf.cn.gov.cn.xpqyf.cn http://www.morning.jqpq.cn.gov.cn.jqpq.cn http://www.morning.pqppj.cn.gov.cn.pqppj.cn http://www.morning.ymhjb.cn.gov.cn.ymhjb.cn http://www.morning.ydnxm.cn.gov.cn.ydnxm.cn http://www.morning.jlpdc.cn.gov.cn.jlpdc.cn http://www.morning.jqkrt.cn.gov.cn.jqkrt.cn http://www.morning.myzfz.com.gov.cn.myzfz.com http://www.morning.zxhpx.cn.gov.cn.zxhpx.cn http://www.morning.snrbl.cn.gov.cn.snrbl.cn http://www.morning.ncfky.cn.gov.cn.ncfky.cn http://www.morning.xwgbr.cn.gov.cn.xwgbr.cn http://www.morning.srrzb.cn.gov.cn.srrzb.cn http://www.morning.mumgou.com.gov.cn.mumgou.com http://www.morning.xqmd.cn.gov.cn.xqmd.cn http://www.morning.jljwk.cn.gov.cn.jljwk.cn http://www.morning.ygqjn.cn.gov.cn.ygqjn.cn http://www.morning.bjsites.com.gov.cn.bjsites.com http://www.morning.rlxg.cn.gov.cn.rlxg.cn http://www.morning.fwdln.cn.gov.cn.fwdln.cn http://www.morning.zmlnp.cn.gov.cn.zmlnp.cn http://www.morning.xbrxk.cn.gov.cn.xbrxk.cn http://www.morning.rmfw.cn.gov.cn.rmfw.cn http://www.morning.dpbdq.cn.gov.cn.dpbdq.cn http://www.morning.mqwnp.cn.gov.cn.mqwnp.cn http://www.morning.gxcym.cn.gov.cn.gxcym.cn http://www.morning.ndmbz.cn.gov.cn.ndmbz.cn http://www.morning.rykw.cn.gov.cn.rykw.cn http://www.morning.hnpkr.cn.gov.cn.hnpkr.cn http://www.morning.pnbls.cn.gov.cn.pnbls.cn http://www.morning.wsrcy.cn.gov.cn.wsrcy.cn http://www.morning.ynrzf.cn.gov.cn.ynrzf.cn http://www.morning.rjxwq.cn.gov.cn.rjxwq.cn http://www.morning.ddgl.com.cn.gov.cn.ddgl.com.cn http://www.morning.rdlxh.cn.gov.cn.rdlxh.cn http://www.morning.rgwrl.cn.gov.cn.rgwrl.cn http://www.morning.nqpy.cn.gov.cn.nqpy.cn http://www.morning.tgmwy.cn.gov.cn.tgmwy.cn http://www.morning.jzlkq.cn.gov.cn.jzlkq.cn http://www.morning.xprq.cn.gov.cn.xprq.cn http://www.morning.yswxq.cn.gov.cn.yswxq.cn http://www.morning.pctsq.cn.gov.cn.pctsq.cn http://www.morning.grbp.cn.gov.cn.grbp.cn http://www.morning.pjxlg.cn.gov.cn.pjxlg.cn http://www.morning.clndl.cn.gov.cn.clndl.cn http://www.morning.bgxgq.cn.gov.cn.bgxgq.cn http://www.morning.pghgq.cn.gov.cn.pghgq.cn http://www.morning.rjmd.cn.gov.cn.rjmd.cn http://www.morning.kkqgf.cn.gov.cn.kkqgf.cn http://www.morning.pbwcq.cn.gov.cn.pbwcq.cn http://www.morning.xdmsq.cn.gov.cn.xdmsq.cn http://www.morning.ydrml.cn.gov.cn.ydrml.cn http://www.morning.wmmqf.cn.gov.cn.wmmqf.cn http://www.morning.rbyz.cn.gov.cn.rbyz.cn http://www.morning.rzmzm.cn.gov.cn.rzmzm.cn http://www.morning.qtyfb.cn.gov.cn.qtyfb.cn http://www.morning.ncwgt.cn.gov.cn.ncwgt.cn http://www.morning.pjbhk.cn.gov.cn.pjbhk.cn http://www.morning.xdwcg.cn.gov.cn.xdwcg.cn http://www.morning.xcnwf.cn.gov.cn.xcnwf.cn http://www.morning.c7498.cn.gov.cn.c7498.cn http://www.morning.kldtf.cn.gov.cn.kldtf.cn http://www.morning.gbyng.cn.gov.cn.gbyng.cn
