网站推广的资源合作推广,神农架网站制作,海南网络,滨州做网站的电话文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频#xff0c;本篇文章提供了一些基础知识点#xff0c;比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。 文章全部链接#xff1a; 基础知识点 Part1#xff1a;三角函数系的正交性 Part2#xff1a;T2π的周期函数的傅里叶级数展开 P… 文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频本篇文章提供了一些基础知识点比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。 文章全部链接 基础知识点 Part1三角函数系的正交性 Part2T2π的周期函数的傅里叶级数展开 Part3周期为T2L的函数展开 Part4傅里叶级数的复数形式 Part5从傅里叶级数推导傅里叶变换 总结 文章目录 基础知识点Part1三角函数系的正交性 基础知识点
设 α \alpha α为任意角 f ( 2 k π α ) f α ( k ∈ Z ) 其中 f 为 s i n 或 c o s 或 t a n 或 c o t s i n ( π α ) − s i n α c o s ( π α ) − c o s α t a n ( π α ) t a n α c o t ( π α ) c o t α s i n ( − α ) − s i n α c o s ( − α ) c o s α t a n ( π α ) − t a n α c o t ( π α ) − c o t α s i n ( π − α ) s i n α c o s ( π − α ) − c o s α t a n ( π − α ) − t a n α c o t ( π − α ) − c o t α s i n ( 2 π − α ) − s i n α c o s ( 2 π − α ) c o s α t a n ( 2 π − α ) − t a n α c o t ( 2 π − α ) − c o t α \begin{align} f(2k \pi \alpha) f \alpha (k \in Z) 其中f为 sin或cos或tan或cot \\ \\ sin(\pi \alpha) -sin \alpha \\ cos(\pi \alpha) -cos \alpha \\ tan(\pi \alpha) tan \alpha \\ cot(\pi \alpha) cot \alpha \\ \\ sin(- \alpha) - sin \alpha \\ cos(- \alpha) cos \alpha \\ tan(\pi \alpha) -tan \alpha \\ cot(\pi \alpha) -cot \alpha \\ \\ sin(\pi - \alpha) sin \alpha \\ cos(\pi - \alpha) - cos \alpha \\ tan(\pi - \alpha) - tan \alpha \\ cot(\pi - \alpha) -cot \alpha \\ \\ sin(2 \pi - \alpha) -sin \alpha \\ cos(2 \pi - \alpha) cos \alpha \\ tan(2 \pi - \alpha) -tan \alpha \\ cot(2 \pi - \alpha) -cot \alpha \end{align} f(2kπα)fα(k∈Z)其中f为sin或cos或tan或cotsin(πα)−sinαcos(πα)−cosαtan(πα)tanαcot(πα)cotαsin(−α)−sinαcos(−α)cosαtan(πα)−tanαcot(πα)−cotαsin(π−α)sinαcos(π−α)−cosαtan(π−α)−tanαcot(π−α)−cotαsin(2π−α)−sinαcos(2π−α)cosαtan(2π−α)−tanαcot(2π−α)−cotα
积化和差公式 sin α cos β sin ( α β ) sin ( α − β ) 2 cos α sin β sin ( α β ) − sin ( α − β ) 2 cos α cos β cos ( α β ) cos ( α − β ) 2 sin α sin β − cos ( α β ) − cos ( α − β ) 2 \begin{align} \sin \alpha \cos \beta {\sin(\alpha \beta )\sin(\alpha -\beta ) \over 2} \\ \cos \alpha \sin \beta {\sin(\alpha \beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2} \\ \cos \alpha \cos \beta {\cos(\alpha \beta )\cos(\alpha -\beta ) \over 2}\\ \sin \alpha \sin \beta -{\cos(\alpha \beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2} \end{align} sinαcosβ2sin(αβ)sin(α−β)cosαsinβ2sin(αβ)−sin(α−β)cosαcosβ2cos(αβ)cos(α−β)sinαsinβ−2cos(αβ)−cos(α−β)
和差化积公式 s i n α s i n β 2 s i n α β 2 c o s α − β 2 s i n α − s i n β 2 c o s α β 2 s i n α − β 2 c o s α c o s β 2 c o s α β 2 c o s α − β 2 c o s α − c o s β − 2 s i n α β 2 s i n α − β 2 \begin{align} sin \alpha sin \beta 2sin\frac {\alpha \beta} {2} cos \frac {\alpha - \beta} {2} \\ sin \alpha - sin \beta 2cos\frac {\alpha \beta} {2} sin \frac {\alpha - \beta} {2} \\ cos \alpha cos \beta 2 cos\frac {\alpha \beta} {2} cos \frac {\alpha - \beta} {2} \\ cos \alpha - cos \beta - 2 sin\frac {\alpha \beta} {2} sin \frac {\alpha - \beta} {2} \end{align} sinαsinβ2sin2αβcos2α−βsinα−sinβ2cos2αβsin2α−βcosαcosβ2cos2αβcos2α−βcosα−cosβ−2sin2αβsin2α−β
倍角公式 s i n 2 α s i n α c o s α s i n α c o s α 2 s i n α c o s α c o s 2 α c o s 2 α − s i n 2 α 2 c o s 2 α − 1 1 − 2 s i n 2 α c o s 2 α 1 c o s 2 α 2 s i n 2 α 1 − c o s 2 α 2 t a n 2 α 2 t a n α 1 − t a n 2 α \begin{align} sin 2 \alpha sin \alpha cos \alpha sin \alpha cos \alpha 2 sin \alpha cos \alpha \\ cos 2 \alpha cos^2 \alpha - sin ^2 \alpha 2 cos ^ 2 \alpha -1 1- 2 sin^2 \alpha \\ cos ^ 2 \alpha \frac{1 cos 2 \alpha}{2} \\ sin^ 2 \alpha \frac{1 - cos 2 \alpha}{2} \\ tan 2 \alpha \frac {2 tan \alpha} {1 - tan ^2 \alpha} \end{align} sin2αsinαcosαsinαcosα2sinαcosαcos2αcos2α−sin2α2cos2α−11−2sin2αcos2α21cos2αsin2α21−cos2αtan2α1−tan2α2tanα
三角函数导数 正弦函数 ( s i n x ) ′ c o s x 余弦函数 ( c o s x ) ′ − s i n x 正切函数 ( t a n x ) ′ s e c 2 x 余切函数 ( c o t x ) ′ − c s c 2 x \begin{align} 正弦函数 (sin x) cosx \\ 余弦函数 (cos x) -sinx \\ 正切函数 (tan x ) sec^2 x \\ 余切函数 (cot x) -csc^2x \end{align} 正弦函数(sinx)′cosx余弦函数(cosx)′−sinx正切函数(tanx)′sec2x余切函数(cotx)′−csc2x
积分性质 性质 1 如果 c 是常数 ∫ a b c d x c ( b − a ) ; 性质 2 如果 c 是常数 ∫ z b c f ( x ) d x c ∫ a b f ( x ) d x 性质 3 ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ z b g ( x ) d x \begin{align} 性质1如果c是常数\int_{a}^{b} cdx c(b-a); \\ 性质2如果c是常数\int_z^b cf(x)dx c \int_a^b f(x)dx \\ 性质3\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] dx \int_a^b f(x)dx \pm \int_z^b g(x)dx \end{align} 性质1如果c是常数∫abcdxc(b−a);性质2如果c是常数∫zbcf(x)dxc∫abf(x)dx性质3∫ab[f(x)±g(x)]dx∫abf(x)dx±∫zbg(x)dx Part1三角函数系的正交性
三角函数系集合 { 0 , 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , . . . , s i n n x , c o s n x , . . . } \{0,1,sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ...,sin nx, cos nx, ...\} {0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx,...}即为 { s i n n x , c o s n x } \{sin nx, cos nx\} {sinnx,cosnx}其中 n 0 , 1 , 2 , . . . n 0, 1,2,... n0,1,2,...。
对于两个向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec {b} b 如果它们的内积等于0表示这两个向量是垂直的具有正交性。即 a ⃗ ⋅ b ⃗ 0 \vec{a} \cdot \vec{b} 0 a ⋅b 0如下示意图 a ⃗ ⋅ b ⃗ 2 ∗ − 1 1 ∗ 2 0 \vec{a} \cdot \vec{b} 2*-1 1*2 0 a ⋅b 2∗−11∗20。 若向量 a ⃗ \vec{a} a 和向量 b ⃗ \vec{b} b 中包含三个元素分别是 ( a 1 , a 2 , a 3 ) (a_1, a_2, a_3) (a1,a2,a3)和 ( b 1 , b 2 , b 3 ) (b_1, b_2, b_3) (b1,b2,b3)如果 a ⃗ ⋅ b ⃗ a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 \vec{a} \cdot \vec{b} a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 0 a ⋅b a1b1a2b2a3b30那么 a ⃗ \vec{a} a 与 b ⃗ \vec {b} b 正交。
再推广到 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 中有 n n n个元素分别为 { a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n } \{ a_1, a_2, a_3, ..., a_n \} {a1,a2,a3,...,an}和 { b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n } \{ b_1, b_2, b_3, ... , b_n \} {b1,b2,b3,...,bn}如果 a ⃗ ⋅ b ⃗ a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 . . a n b n ∑ i 1 n a i b i 0 \vec a \cdot \vec b a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 .. a_n b_n \sum_{i1} ^ {n} a_i b_i 0 a ⋅b a1b1a2b2a3b3..anbn∑i1naibi0那么 a ⃗ \vec a a 与 b ⃗ \vec b b 正交。
再扩展如果 a f ( x ) a f(x) af(x) b g ( x ) b g(x) bg(x)在一个区间内如 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1]计算 a ⋅ b a \cdot b a⋅b即 f ( x ) ⋅ g ( x ) f(x) \cdot g(x) f(x)⋅g(x)也就是计算在区间 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1]内的面积和相当于求积分 ∫ x 0 x 1 f ( x ) g ( x ) d x \int_{x_0}^{x_1} f(x) g(x)dx ∫x0x1f(x)g(x)dx。如果 ∫ x 0 x 1 f ( x ) g ( x ) d x 0 \int_{x_0}^{x_1} f(x) g(x)dx0 ∫x0x1f(x)g(x)dx0就可以说 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)这两个函数正交。
再说回到三角函数的正交性的定义从三角函数系集合中任取两项在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间这两项的积分等于0。
即 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x 0 ∫ − π π c o s ( n x ) s i n ( m x ) d x 0 ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( m x ) d x 0 ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( m x ) d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx 0 \end{align} ∫−ππsin(nx)cos(mx)dx0∫−ππcos(nx)sin(mx)dx0∫−ππsin(nx)sin(mx)dx0∫−ππcos(nx)cos(mx)dx0 接下来证明三角函数的正交性。
当 m ≠ n m \ne n mn时由积化和差公式 s i n α c o s β 1 2 [ s i n ( α β ) s i n ( α − β ) ] sin \alpha cos \beta \frac{1}{2} [sin(\alpha \beta) sin(\alpha - \beta)] sinαcosβ21[sin(αβ)sin(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x 1 2 [ ∫ − π π s i n ( n m ) x d x ∫ − π π s i n ( n − m ) x d x ] 1 2 [ ( − 1 n m c o s ( n m ) x ∣ − π π ) ( − 1 n − m c o s ( n − m ) x ∣ − π π ) ] 1 2 [ ( − 1 n m ) [ c o s ( n m ) π − c o s ( − ( n m ) π ) ] ( − 1 n − m ) [ c o s ( n − m ) π − c o s ( − ( n − m ) π ) ] ] 有 c o s ( − α ) c o s α 很容易得出上式为 0 , 即 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx \\ \frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} sin(n m)x dx \int_{- \pi}^{\pi}sin(n-m)x dx \right] \\ \frac{1}{2} \left[ (- \frac{1}{nm} cos(nm)x |_{- \pi}^{\pi}) (- \frac{1}{n-m} cos(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ \frac{1}{2} \left [(- \frac{1}{nm}) \left[ cos(nm) \pi - cos(-(nm)\pi) \right] (- \frac{1}{n-m} ) \left[ cos(n-m) \pi - cos(-(n-m)\pi) \right] \right ] \\ 有cos (-\alpha) cos \alpha很容易得出上式为0 , 即 \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx 0 \end{align} ∫−ππsin(nx)cos(mx)dx21[∫−ππsin(nm)xdx∫−ππsin(n−m)xdx]21[(−nm1cos(nm)x∣−ππ)(−n−m1cos(n−m)x∣−ππ)]21[(−nm1)[cos(nm)π−cos(−(nm)π)](−n−m1)[cos(n−m)π−cos(−(n−m)π)]]有cos(−α)cosα很容易得出上式为0,即∫−ππsin(nx)cos(mx)dx0
当 m ≠ n m \ne n mn时由积化和差公式 c o s α s i n β 1 2 [ s i n ( α β ) − s i n ( α − β ) ] cos\alpha sin\beta \frac{1}{2} [sin(\alpha \beta) - sin(\alpha - \beta)] cosαsinβ21[sin(αβ)−sin(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π c o s ( n x ) s i n ( m x ) d x 1 2 [ ∫ − π π s i n ( n m ) x d x − ∫ − π π s i n ( n − m ) x d x ] 1 2 [ ( − 1 n m ) c o s ( n m ) x ∣ − π π ) − ( − 1 n − m ) c o s ( n − m ) x ∣ − π π ) ] 1 2 [ ( − 1 n m ) [ c o s ( n m ) π − c o s ( − ( n m ) π ) ] − ( − 1 n − m ) [ c o s ( n − m ) π − c o s ( − ( n − m ) π ) ] ] 有 c o s ( − α ) c o s α 很容易得出上式为 0 , 即 ∫ − π π c o s ( n x ) s i n ( m x ) d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx \\ \frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} sin(n m)x dx - \int_{- \pi}^{\pi}sin(n-m)x dx \right] \\ \frac{1}{2} \left[ (- \frac{1}{nm}) cos(nm)x |_{- \pi}^{\pi}) - (- \frac{1}{n-m} )cos(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ \frac{1}{2} \left [(- \frac{1}{nm}) \left[ cos(nm) \pi - cos(-(nm)\pi) \right] - (- \frac{1}{n-m} ) \left[ cos(n-m) \pi - cos(-(n-m)\pi) \right] \right ] \\ 有cos (-\alpha) cos \alpha很容易得出上式为0 , 即 \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx 0 \end{align} ∫−ππcos(nx)sin(mx)dx21[∫−ππsin(nm)xdx−∫−ππsin(n−m)xdx]21[(−nm1)cos(nm)x∣−ππ)−(−n−m1)cos(n−m)x∣−ππ)]21[(−nm1)[cos(nm)π−cos(−(nm)π)]−(−n−m1)[cos(n−m)π−cos(−(n−m)π)]]有cos(−α)cosα很容易得出上式为0,即∫−ππcos(nx)sin(mx)dx0
当 m ≠ n m \ne n mn时由积化和差公式 c o s α c o s β 1 2 [ c o s ( α β ) c o s ( α − β ) ] cos\alpha cos\beta \frac{1}{2} [cos(\alpha \beta) cos(\alpha - \beta)] cosαcosβ21[cos(αβ)cos(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( m x ) d x 1 2 [ ∫ − π π c o s ( n m ) x d x ∫ − π π c o s ( n − m ) x d x ] 1 2 [ 1 n m s i n ( n m ) x ∣ − π π ) 1 n − m s i n ( n − m ) x ∣ − π π ) ] 1 2 [ 1 n m [ s i n ( n m ) π − s i n ( − ( n m ) π ) ] 1 n − m [ s i n ( n − m ) π − s i n ( − ( n − m ) π ) ] ] 有 s i n ( − α ) − s i n α , 又有 ∣ s i n k π α ∣ ∣ s i n α ∣ , 上式中 α 0 , s i n ( ( n m ) ) π s i n ( ( n − m ) π ) 0 很容易得出上式为 0 , 即 ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( m x ) d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx \\ \frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} cos(n m)x dx \int_{- \pi}^{\pi}cos(n-m)x dx \right] \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{nm} sin(nm)x |_{- \pi}^{\pi}) \frac{1}{n-m} sin(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ \frac{1}{2} \left [ \frac{1}{nm} \left[ sin(nm) \pi - sin(-(nm)\pi) \right] \frac{1}{n-m} \left[ sin(n-m) \pi - sin(-(n-m)\pi) \right] \right ] \\ 有 sin (-\alpha) - sin \alpha,又有|sin k \pi \alpha| |sin \alpha|,\\ 上式中\alpha0, sin ( (nm)) \pi sin((n-m) \pi) 0很容易得出上式为0 , 即 \\ \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx 0 \end{align} ∫−ππcos(nx)cos(mx)dx21[∫−ππcos(nm)xdx∫−ππcos(n−m)xdx]21[nm1sin(nm)x∣−ππ)n−m1sin(n−m)x∣−ππ)]21[nm1[sin(nm)π−sin(−(nm)π)]n−m1[sin(n−m)π−sin(−(n−m)π)]]有sin(−α)−sinα,又有∣sinkπα∣∣sinα∣,上式中α0,sin((nm))πsin((n−m)π)0很容易得出上式为0,即∫−ππcos(nx)cos(mx)dx0
当 m ≠ n m \ne n mn时由积化和差公式 s i n α s i n β 1 2 [ c o s ( α β ) − c o s ( α − β ) ] sin\alpha sin\beta \frac{1}{2} [cos(\alpha \beta) - cos(\alpha - \beta)] sinαsinβ21[cos(αβ)−cos(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( m x ) d x 1 2 [ ∫ − π π c o s ( n m ) x d x − ∫ − π π c o s ( n − m ) x d x ] 1 2 [ 1 n m s i n ( n m ) x ∣ − π π ) − 1 n − m s i n ( n − m ) x ∣ − π π ) ] 1 2 [ 1 n m [ s i n ( n m ) π − s i n ( − ( n m ) π ) ] − 1 n − m [ s i n ( n − m ) π − s i n ( − ( n − m ) π ) ] ] 有 ∣ s i n ( k π α ) ∣ ∣ s i n α ∣ , 上式中 α 0 , s i n ( ( n m ) ) π s i n ( ( n − m ) π ) 0 很容易得出上式为 0 , 即 ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( m x ) d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx \frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} cos(n m)x dx - \int_{- \pi}^{\pi}cos(n-m)x dx \right] \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{nm} sin(nm)x |_{- \pi}^{\pi}) - \frac{1}{n-m} sin(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ \frac{1}{2} \left [ \frac{1}{nm} \left[ sin(nm) \pi - sin(-(nm)\pi) \right] - \frac{1}{n-m} \left[ sin(n-m) \pi - sin(-(n-m)\pi) \right] \right ] \\ 有 | sin (k \pi \alpha)| | sin \alpha |, 上式中\alpha0, sin ( (nm)) \pi sin( (n-m) \pi) 0很容易得出上式为0 , 即 \\ \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx 0 \end{align} ∫−ππsin(nx)sin(mx)dx21[∫−ππcos(nm)xdx−∫−ππcos(n−m)xdx]21[nm1sin(nm)x∣−ππ)−n−m1sin(n−m)x∣−ππ)]21[nm1[sin(nm)π−sin(−(nm)π)]−n−m1[sin(n−m)π−sin(−(n−m)π)]]有∣sin(kπα)∣∣sinα∣,上式中α0,sin((nm))πsin((n−m)π)0很容易得出上式为0,即∫−ππsin(nx)sin(mx)dx0
当 m n mn mn时 由三角函数平方公式 s i n 2 α 1 2 ( 1 − c o s 2 α ) sin ^ 2 \alpha \frac{1}{2} (1 - cos 2 \alpha) sin2α21(1−cos2α)、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( n x ) d x 1 2 [ ∫ − π π ( 1 − c o s 2 n x ) d x ] 1 2 [ ∫ − π π 1 d x − ∫ − π π c o s 2 n x d x ] 如果 m n 0 上式 0 如果 m n ≠ 0 , 可以假定 c o s 2 n x c o s 0 x c o s 2 n x 根据三角函数的正交性质那么右边 ∫ − π π c o s 2 n x d x 0 上式即为 1 2 [ x ∣ − π π ] 1 2 2 π π \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} sin (nx) sin (nx) dx \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} (1 - cos2nx) dx \right ] \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx - \int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx \right ] \\ 如果mn0上式0\\ 如果mn \ne 0, 可以假定cos2nx cos 0x cos 2nx\\ 根据三角函数的正交性质那么右边\int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx 0 上式即为 \\ \frac{1}{2} \left[ x|_{-\pi}^{\pi}\right] \frac{1}{2} 2\pi \pi \end{align} ∫−ππsin(nx)sin(nx)dx21[∫−ππ(1−cos2nx)dx]21[∫−ππ1dx−∫−ππcos2nxdx]如果mn0上式0如果mn0,可以假定cos2nxcos0xcos2nx根据三角函数的正交性质那么右边∫−ππcos2nxdx0上式即为21[x∣−ππ]212ππ
当 m n mn mn时 由三角函数平方公式 c o s 2 α 1 2 ( 1 c o s 2 α ) cos^ 2 \alpha \frac{1}{2} (1 cos 2 \alpha) cos2α21(1cos2α)、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( n x ) d x 1 2 [ ∫ − π π ( 1 c o s 2 n x ) d x ] 1 2 [ ∫ − π π 1 d x ∫ − π π c o s 2 n x d x ] 如果 m n 0 上式变为 1 2 [ ∫ − π π 2 d x ] x ∣ − π π 2 π 如果 m n ≠ 0 , 假定 c o s 2 n x c o s 0 x c o s 2 n x 根据三角函数的正交性质 那么右边 ∫ − π π c o s 2 n x d x 0 上式即为 1 2 [ x ∣ − π π ] 1 2 2 π π \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} cos (nx) cos (nx) dx \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} (1 cos2nx) dx \right ] \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx \int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx \right ] \\ 如果mn0上式变为\frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} 2 dx \right ] x|_{-\pi}^{\pi} 2\pi\\ 如果mn \ne 0, 假定cos2nx cos 0x cos 2nx根据三角函数的正交性质\\ 那么右边\int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx 0 上式即为 \\ \frac{1}{2} \left[ x|_{-\pi}^{\pi}\right] \frac{1}{2} 2\pi \pi \end{align} ∫−ππcos(nx)cos(nx)dx21[∫−ππ(1cos2nx)dx]21[∫−ππ1dx∫−ππcos2nxdx]如果mn0上式变为21[∫−ππ2dx]x∣−ππ2π如果mn0,假定cos2nxcos0xcos2nx根据三角函数的正交性质那么右边∫−ππcos2nxdx0上式即为21[x∣−ππ]212ππ
当 m n mn mn时 由积化和差公式 s i n α c o s β 1 2 [ s i n ( α β ) s i n ( α − β ) ] sin \alpha cos \beta \frac{1}{2} [sin(\alpha \beta) sin(\alpha - \beta)] sinαcosβ21[sin(αβ)sin(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( n x ) d x ∫ − π π c o s ( n x ) s i n ( n x ) d x 1 2 [ ∫ − π π s i n 2 n x d x ∫ − π π s i n 0 x d x ] 当 m n 0 时左边变为 ∫ − π π 0 d x 0 右边计算也为 0 所以 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( n x ) d x 0 当 m n ≠ 0 时左边可以看作 ∫ − π π c o s 0 x s i n 2 n x d x 0 所以 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( n x ) d x 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (nx) dx \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (nx) dx \frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} sin2nx dx \int_{- \pi}^{\pi}sin0x dx \right] \\ 当mn0时左边变为\int_{- \pi}^{\pi} 0 dx 0右边计算也为0所以 \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (nx) dx 0 \\ 当mn \ne 0时 左边可以看作\int_{- \pi}^{\pi} cos0x sin 2nxdx 0所以 \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (nx) dx 0 \end{align} ∫−ππsin(nx)cos(nx)dx∫−ππcos(nx)sin(nx)dx21[∫−ππsin2nxdx∫−ππsin0xdx]当mn0时左边变为∫−ππ0dx0右边计算也为0所以∫−ππsin(nx)cos(nx)dx0当mn0时左边可以看作∫−ππcos0xsin2nxdx0所以∫−ππsin(nx)cos(nx)dx0 总结如下 ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x 0 ∫ − π π c o s ( n x ) s i n ( m x ) d x 0 ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( m x ) d x { 0 , m ≠ n 2 π , m n 0 π m n ≠ 0 ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( m x ) d x { 0 , m ≠ n 或 m n 0 π m n ≠ 0 \begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx 0 \\ \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx \left\{\begin{matrix} 0, m \ne n \\ 2 \pi, m n 0 \\ \pi m n \ne 0 \end{matrix}\right.\\ \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx \left\{\begin{matrix} 0, m \ne n 或 mn0\\ \pi m n \ne 0 \end{matrix}\right. \end{align} ∫−ππsin(nx)cos(mx)dx0∫−ππcos(nx)sin(mx)dx0∫−ππcos(nx)cos(mx)dx⎩ ⎨ ⎧0,2π,πmnmn0mn0∫−ππsin(nx)sin(mx)dx{0,πmn或mn0mn0 文章转载自： http://www.morning.jkftn.cn.gov.cn.jkftn.cn http://www.morning.wlstn.cn.gov.cn.wlstn.cn http://www.morning.htmhl.cn.gov.cn.htmhl.cn http://www.morning.gsdbg.cn.gov.cn.gsdbg.cn http://www.morning.lngyd.cn.gov.cn.lngyd.cn http://www.morning.zsrjn.cn.gov.cn.zsrjn.cn http://www.morning.ctbr.cn.gov.cn.ctbr.cn http://www.morning.yrhsg.cn.gov.cn.yrhsg.cn http://www.morning.bxbkq.cn.gov.cn.bxbkq.cn http://www.morning.pthmn.cn.gov.cn.pthmn.cn http://www.morning.qrqdr.cn.gov.cn.qrqdr.cn http://www.morning.ftznb.cn.gov.cn.ftznb.cn http://www.morning.bysey.com.gov.cn.bysey.com http://www.morning.nafdmx.cn.gov.cn.nafdmx.cn http://www.morning.cjcry.cn.gov.cn.cjcry.cn http://www.morning.jkpnm.cn.gov.cn.jkpnm.cn http://www.morning.mrfjr.cn.gov.cn.mrfjr.cn http://www.morning.xjnjb.cn.gov.cn.xjnjb.cn http://www.morning.lywpd.cn.gov.cn.lywpd.cn http://www.morning.gbkkt.cn.gov.cn.gbkkt.cn http://www.morning.pqyms.cn.gov.cn.pqyms.cn http://www.morning.heleyo.com.gov.cn.heleyo.com http://www.morning.fpryg.cn.gov.cn.fpryg.cn http://www.morning.cwgn.cn.gov.cn.cwgn.cn http://www.morning.kryr.cn.gov.cn.kryr.cn http://www.morning.ykswq.cn.gov.cn.ykswq.cn http://www.morning.prlgn.cn.gov.cn.prlgn.cn http://www.morning.qkqgj.cn.gov.cn.qkqgj.cn http://www.morning.blxlf.cn.gov.cn.blxlf.cn http://www.morning.lmcrc.cn.gov.cn.lmcrc.cn http://www.morning.bnxnq.cn.gov.cn.bnxnq.cn http://www.morning.xjtnp.cn.gov.cn.xjtnp.cn http://www.morning.mdpkf.cn.gov.cn.mdpkf.cn http://www.morning.bhdyr.cn.gov.cn.bhdyr.cn http://www.morning.scrnt.cn.gov.cn.scrnt.cn http://www.morning.nkllb.cn.gov.cn.nkllb.cn http://www.morning.hkcjx.cn.gov.cn.hkcjx.cn http://www.morning.pnmnl.cn.gov.cn.pnmnl.cn http://www.morning.gbwfx.cn.gov.cn.gbwfx.cn http://www.morning.wmcng.cn.gov.cn.wmcng.cn http://www.morning.rxlk.cn.gov.cn.rxlk.cn http://www.morning.gpcy.cn.gov.cn.gpcy.cn http://www.morning.pzwfw.cn.gov.cn.pzwfw.cn http://www.morning.plchy.cn.gov.cn.plchy.cn http://www.morning.jwqqd.cn.gov.cn.jwqqd.cn http://www.morning.nkyqh.cn.gov.cn.nkyqh.cn http://www.morning.srxhd.cn.gov.cn.srxhd.cn http://www.morning.ntqlz.cn.gov.cn.ntqlz.cn http://www.morning.yprnp.cn.gov.cn.yprnp.cn http://www.morning.frsxt.cn.gov.cn.frsxt.cn http://www.morning.jwfqq.cn.gov.cn.jwfqq.cn http://www.morning.wylpy.cn.gov.cn.wylpy.cn http://www.morning.fbpdp.cn.gov.cn.fbpdp.cn http://www.morning.mttck.cn.gov.cn.mttck.cn http://www.morning.bkgfp.cn.gov.cn.bkgfp.cn http://www.morning.dbjyb.cn.gov.cn.dbjyb.cn http://www.morning.mhcft.cn.gov.cn.mhcft.cn http://www.morning.ktbjk.cn.gov.cn.ktbjk.cn http://www.morning.dpzcc.cn.gov.cn.dpzcc.cn http://www.morning.ljzss.cn.gov.cn.ljzss.cn http://www.morning.hncrc.cn.gov.cn.hncrc.cn http://www.morning.zqwp.cn.gov.cn.zqwp.cn http://www.morning.kuaijili.cn.gov.cn.kuaijili.cn http://www.morning.fnpyk.cn.gov.cn.fnpyk.cn http://www.morning.wnkqt.cn.gov.cn.wnkqt.cn http://www.morning.ynlpy.cn.gov.cn.ynlpy.cn http://www.morning.tbbxn.cn.gov.cn.tbbxn.cn http://www.morning.nggry.cn.gov.cn.nggry.cn http://www.morning.ypxyl.cn.gov.cn.ypxyl.cn http://www.morning.qfqld.cn.gov.cn.qfqld.cn http://www.morning.fndfn.cn.gov.cn.fndfn.cn http://www.morning.ryznd.cn.gov.cn.ryznd.cn http://www.morning.ctlbf.cn.gov.cn.ctlbf.cn http://www.morning.hyjpl.cn.gov.cn.hyjpl.cn http://www.morning.qbfs.cn.gov.cn.qbfs.cn http://www.morning.tqbqb.cn.gov.cn.tqbqb.cn http://www.morning.zcyxq.cn.gov.cn.zcyxq.cn http://www.morning.ygztf.cn.gov.cn.ygztf.cn http://www.morning.kbkcl.cn.gov.cn.kbkcl.cn http://www.morning.sqqpb.cn.gov.cn.sqqpb.cn
