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目录
递归的起源
什么是递归?
利用递归解决列表求和问题
递归三定律
递归应用-整数转换为任意进制数
递归可视化
画一个正方形
画一个五角星
画一个九边形
画圆形
画一个等腰三角形
利用递归画一个螺旋
利用递归画一颗分形树
利用递归画一个谢尔平斯基三角形
递归的起源
递归是一种算法，它利用函数的自身调用来解决问题。递归的历史可以追溯到古代的数学家和逻辑学家，如希腊哲学家亚里士多德和印度数学家阿耶尔巴塔。然而，递归算法的实际应用可以追溯到早期的计算机科学，尤其是在20世纪40年代和50年代的计算机发展初期。
在20世纪初，数学家David Hilbert提出了“希尔伯特问题”，其中包括一个著名的问题——哥德尔不完备定理。这个定理表明，任何一个形式化的系统都无法证明自身完备。这导致了一些数学家开始研究递归函数，因为递归函数是一种强大的工具，可以用来刻画数学中的可计算性概念。在20世纪40年代，递归理论被广泛研究，它为计算机科学的发展奠定了基础。
早期计算机（如ENIAC）是通过执行单个指令来执行操作的，因此递归算法在这些机器上的执行效率较低。然而，随着计算机硬件和编程语言的发展，递归算法变得更加普遍和有效。今天，递归算法被广泛用于计算机科学中的许多应用领域，如数据结构设计、图像处理、机器学习和自然语言处理。
什么是递归?
递归是一种解决问题的方法，其精髓在于将问题分解为规模更小的相同问题持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决。
递归的问题分解方式非常独特，其算法方面的明显特征就是:在算法流程中调用自身。
递归为我们提供了一种对复杂问题的优雅解决方案，精妙的递归算法常会出奇简单令人赞叹。
问题:
给定一个列表，返回所有数的和列表中数的个数不定，需要一个循环和一个累加变量来迭代求和
def Listsum(nl):sum = 0for i in nl:sum += ireturn sumprint(Listsum([1,2,3,4]))利用递归解决列表求和问题
程序很简单，但假如没有循环语句 ?既不能用for，也不能用while还能对不确定长度的列表求和么?
递归三定律
1.结束条件
2.向基态前进
3.自己调用自己
递归应用-整数转换为任意进制数
我们用最熟悉的十进制分析下这个问题
十进制有十个不同符号: convString =0123456789"
比十小的整数，转换成十进制，直接查表就可以了: convString[n]
比十大的整数，想办法把比十大的整数拆成一系列比十小的整数，逐个查表
比如七百六十九，拆成七、六、九，查表得到769就可以了
所以，在递归三定律里，我们找到了“基，就是小于十的整数本结束条件”
拆解整数的过程就是向“基本结束条件”演进的过程
我们用整数除，和求余数两个计算来将整数一步步拆开除以“进制基base(// base)对“进制基”求余数 (% base)
#n为转换的数字 base为进制数
def tostring(n,base):coverstring = "0123456789"if n < base :return coverstring[n]else:return tostring(n // base , base) + coverstring[n % base]
print(tostring(1999,10))
递归可视化
画一个正方形
import turtle
t = turtle.Turtle()
#通过四次向右转90度画一个边长为100的正方形
for i in range(4):t.forward(100)t.right(90)
turtle.done() 
画一个五角星
#画五角星
import turtle
t = turtle.Turtle()
t.pencolor("red")
t.pensize(3)
for i in range(5):t.forward(100)t.right(144)
t.hideturtle()turtle.done()
画一个九边形
#画九边形
import turtle
t = turtle.Turtle()
t.pencolor("blue")
t.pensize(10)
for i in range(9):t.forward(100)t.left(320)
t.hideturtle()
turtle.done()
画圆形
#画圆形
import turtle
t = turtle.Turtle()
t.pencolor("blue")
t.pensize(10)
for i in range(1):t.circle(180)
t.hideturtle()
turtle.done()
画一个等腰三角形
#画等腰三角形
import turtle
t = turtle.Turtle()
t.pencolor("blue")
t.pensize(10)
for i in range(4):t.forward(100)t.left(120)
t.hideturtle()
turtle.done()
利用递归画一个螺旋
#内置库,用于画图的模块
import turtle
#实例化turtle对象
my_turtle = turtle.Turtle()
#调用窗口
my_win = turtle.Screen()def draw_spiral(my_turtle,line_len):if line_len > 0:# 向当前方向走line_len 个像素my_turtle.forward(line_len)#箭头向右转90度my_turtle.left(90)#调用自己draw_spiral(my_turtle,line_len - 5)#♥这个图告诉我们递归不一定要有返回值
draw_spiral(my_turtle,300)
my_win.exitonclick()
利用递归画一颗分形树
def tree(branch_len, t):if branch_len > 5:t.forward(branch_len)t.right(20)tree(branch_len-15, t)t.left(40)tree(branch_len-15, t)t.right(20)t.backward(branch_len)import turtle
t = turtle.Turtle()
my_win = turtle.Screen()
t.left(90)
t.up()
t.backward(200)
t.down()
t.color("black")
tree(110,t)
my_win.exitonclick() 
利用递归画一个谢尔平斯基三角形
#绘制谢尔平斯基三角形的辅助函数
import turtle
def draw_triangle(points , color, my_turtle ):my_turtle.fillcolor ( color )my_turtle.up()my_turtle.goto(points[0][0],points[0][1])my_turtle.down()my_turtle.begin_fill()my_turtle.goto(points[1][0],points [1][1])my_turtle.goto(points[2][0],points [2][1])my_turtle.goto(points[0][0],points [0][1])my_turtle.end_fill()def get_mid(p1,p2 ):return ((p1[0] + p2[0]) / 2 , (p1[1] + p2[1]) / 2)# 绘制谢尔平斯基三角形
def sierpinski(points, degree, my_turtle):colormap = ["blue","red","green","white","yellow","violet","orange",]draw_triangle(points, colormap[degree], my_turtle)if degree > 0:sierpinski([points[0],get_mid(points[0], points[1]),get_mid(points[0], points[2]),],degree - 1,my_turtle,)sierpinski([points[1],get_mid(points[0],points[1]),get_mid(points[1],points[2]),],degree - 1,my_turtle,)sierpinski([points[2],get_mid(points[2],points[1]),get_mid(points[0],points[2]),],degree - 1,my_turtle,)def main():my_turtle = turtle.Turtle()my_win = turtle.Screen()my_points = [[-100,-50],[0,100],[100,-50]]sierpinski(my_points, 5, my_turtle)my_win.exitonclick()print(main()) 
📝全文总结
本文主要讲解：
本文主要讲解了递归的历史起源以及使用规则 —— 我们通过递归可以将复杂问题简单化,并且我们还学习了如何通过递归进行进制转换,以及如何通过递归去画出我们想要的图形---螺旋图,分形树,谢尔基三角形。
今天的干货分享到这里就结束啦！如果觉得文章还可以的话，希望能给个三连支持一下，Aileen的主页还有很多有趣的文章，欢迎小伙伴们前去点评，您的支持就我前进的最大动力！
