佛山正规网站建设报价,湖南网站建设怎么样,哪有定制开发,网站菜单栏代码文章目录复数#x1f388;复矩阵和复向量共轭矩阵性质定理实对称阵的相关定理复数#x1f388; 复数 (数学) (wikipedia.org) 加法#xff1a;(abi)(cdi)(ac)(bd)i)减法#xff1a;(abi)−(cdi)(a−c)(b−d)i)乘法#xff1a;(abi)(cdi)acbciadibdi2(ac−bd)(bcad)i除法复矩阵和复向量共轭矩阵性质定理实对称阵的相关定理复数 复数 (数学) (wikipedia.org) 加法(abi)(cdi)(ac)(bd)i)减法(abi)−(cdi)(a−c)(b−d)i)乘法(abi)(cdi)acbciadibdi2(ac−bd)(bcad)i除法(abi)(cdi)(abi)(c−di)(cdi)(c−di)acbci−adi−bdi2c2−(di)2(acbd)(bc−ad)ic2d2(acbdc2d2)(bc−adc2d2)i加法(abi)(cdi)(ac)(bd)i)\\ 减法(abi)-(cdi)(a-c)(b-d)i)\\ 乘法(abi)(cdi)acbciadibdi^{2}(ac-bd)(bcad)i\\ 除法{\frac {(abi)}{(cdi)}} {\frac {(abi)(c-di)}{(cdi)(c-di)}} {\frac {acbci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}\\ {\frac {(acbd)(bc-ad)i}{c^{2}d^{2}}} \left({acbd \over c^{2}d^{2}}\right)\left({bc-ad \over c^{2}d^{2}}\right)i 加法(abi)(cdi)(ac)(bd)i)减法(abi)−(cdi)(a−c)(b−d)i)乘法(abi)(cdi)acbciadibdi2(ac−bd)(bcad)i除法(cdi)(abi)(cdi)(c−di)(abi)(c−di)c2−(di)2acbci−adi−bdi2c2d2(acbd)(bc−ad)i(c2d2acbd)(c2d2bc−ad)i zaib的共轭复数定义为za−ib;记作z‾或z∗zaib的共轭复数定义为 za-ib;记作 \overline {z}或z^{*}zaib的共轭复数定义为za−ib;记作z或z∗ zzˉ(abi)(a−bi)a2−b2i2a2b2z\bar{z}(abi)(a-bi)a^2-b^2i^2a^2b^2zzˉ(abi)(a−bi)a2−b2i2a2b2−z−a−ib-z-a-ib−z−a−ibz‾a−ib\overline{z}a-ibza−ib−z‾−aib\overline{-z}-aib−z−aib−z‾−z‾\overline{-z}-\overline{z}−z−z z‾是z关于实数轴的对称点。有zw‾z‾w‾zw‾z‾⋅w‾(zw)‾z‾w‾z‾‾zz‾z当且仅当z是实数∣z∣∣z‾∣∣z∣2zz‾z−1z‾∣z∣−2若z非零。这是计算乘法逆最常用的等式。\overline {z}是z关于实数轴的对称点。有\\ \overline {zw}\overline {z}\overline {w}\\ \overline {zw}\overline {z}\cdot \overline {w}\\ \overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}{\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\\ \overline {\overline {z}}z\\ \\ \overline {z}z 当且仅当z是实数\\ |z||\overline {z}|\\ |z|^{2}z\overline {z}\\ z^{{-1}}\overline {z}|z|^{{-2}}若z非零。这是计算乘法逆最常用的等式。 z是z关于实数轴的对称点。有zwzwzwz⋅w(wz)wzzzzz当且仅当z是实数∣z∣∣z∣∣z∣2zzz−1z∣z∣−2若z非零。这是计算乘法逆最常用的等式。 xy‾x‾y‾\overline{xy}\overline{x}\overline{y}xyxy xy(x1y1i)(x2y2i)(x1x2)(y1y2)ixy(x_1y_1i)(x_2y_2i)(x_1x_2)(y_1y_2)ixy(x1y1i)(x2y2i)(x1x2)(y1y2)ix‾y‾x1−y1ix2−y2i(x1x2)−(y1y2)i\overline{x}\overline{y}x_1-y_1ix_2-y_2i(x_1x_2)-(y_1y_2)ixyx1−y1ix2−y2i(x1x2)−(y1y2)ixy‾(x1x2)−(y1y2)i\overline{xy}(x_1x_2)-(y_1y_2)ixy(x1x2)−(y1y2)i xy‾xˉyˉ\overline{xy}\bar{x}\bar{y}xyxˉyˉ −x‾−x‾\overline{-x}-\overline{x}−x−x
复矩阵和复向量
元素是复数的矩阵和向量分别称为复矩阵和复向量
共轭矩阵
设aija_{ij}aij是复数,A(aij)m×n,A‾(aij‾)m×nA(a_{ij})_{m\times{n}},\overline{A}(\overline{a_{ij}})_{m\times{n}}A(aij)m×n,A(aij)m×n,aij‾\overline{a_{ij}}aij和aija_{ij}aij互为共轭复数,则称A,A‾A,\overline{A}A,A互为共轭矩阵
性质 A‾‾A\overline{\overline{A}}AAA AT‾A‾T\overline{A^T}\overline{A}^TATAT 如果A是实矩阵,则A‾A\overline{A}AAA 如果A是实对称阵,则AT‾A\overline{A^T}AATA 对称阵:ATAA^TAATAAT‾A‾A\overline{A^T}\overline{A}AATAA kA‾kˉA‾\overline{kA}\bar{k}\overline{A}kAkˉA k∈Ck\in\mathbb{C}k∈C 对于复数x,y,x,y,x,y,有xˉyˉxy‾\bar{x}\bar{y}\overline{xy}xˉyˉxy 特别的,a∈R,aˉaa\in\mathbb{R},\bar{a}aa∈R,aˉa a⋅x‾ax‾a\cdot\overline{x}\overline{ax}a⋅xax −x‾−x‾-\overline{x}\overline{-x}−x−xx‾x‾\overline{x}\overline{x}xx AB‾A‾B‾\overline{AB}\overline A\overline BABAB AB‾AˉBˉ\overline{AB}\bar{A}\bar{B}ABAˉBˉ cij∑ilaikbkjc_{ij}\sum_{i}^{l}a_{ik}b_{kj}cij∑ilaikbkjcijˉ∑inaikbkj‾\bar{c_{ij}}\sum_{i}^{n}\overline{a_{ik}b_{kj}}cijˉ∑inaikbkj ∑inaˉikbkjˉ\sum_i^n{\bar a_{ik}\bar{b_{kj}}}∑inaˉikbkjˉ (AB)T‾BTAT‾BT‾AT‾\overline{(AB)^T}\overline{B^TA^T}\overline{B^T}\ \overline{A^T}(AB)TBTATBT AT 注意公式的逆用 A‾B‾AB‾\overline A\overline B\overline{AB}ABABAˉBˉAB‾\bar{A}\bar{B}\overline{AB}AˉBˉAB 公式推广 ∑ai‾∑ai‾∏iai‾∏iai‾∑i∏jai,ji‾∑i∏jai,ji‾∑iki∏jai,ji‾∑iki∏jai,ji‾\sum{\overline{a_i}}\overline{\sum{a_i}} \\ \prod_{i}\overline{a_i}\overline{\prod_{i}a_i} \\ \sum_{i}{\prod_{j}\overline{a_{i,j_i}}} \overline{\sum_{i}{\prod_{j}a_{i,j_i}}} \\ \sum_{i}k_i{\prod_{j}\overline{a_{i,j_i}}} \overline{\sum_{i}k_i{\prod_{j}a_{i,j_i}}} ∑ai∑aii∏aii∏aii∑j∏ai,jii∑j∏ai,jii∑kij∏ai,jii∑kij∏ai,ji 若A可逆,则A−1‾(A‾)−1\overline{A^{-1}}(\overline{A})^{-1}A−1(A)−1 A‾(A‾)−1EA‾(A−1‾)AA−1‾E‾E\overline{A}(\overline{A})^{-1}E \\ \overline{A}(\overline{A^{-1}})\overline{AA^{-1}}\overline{E}E A(A)−1EA(A−1)AA−1EE ∣A‾∣∣A∣‾\large |\overline{A}|\overline{|A|}∣A∣∣A∣ ∣A‾∣∑k(−1)τ(pk)∏i1nθi‾∑k(−1)τ(pk)∏i1nθi‾∣A∣‾|\overline{A}| \sum\limits_{k}{(-1)}^{\tau(p_k)}\prod_{i1}^{n}{\overline{\theta_{i}}} \overline{\sum\limits_{k}{(-1)}^{\tau(p_k)}\prod_{i1}^{n}{\theta_{i}}} \overline{|A|} ∣A∣k∑(−1)τ(pk)i1∏nθik∑(−1)τ(pk)i1∏nθi∣A∣
定理实对称阵的相关定理 实对称阵的特征值都是实数 设λ\lambdaλ是实对称阵A的任意一个特征值 Aαλα,α≠0A\alpha\lambda\alpha,\alpha\neq{0}Aαλα,α0 αˉ≠0\bar\alpha\neq{0}αˉ0(αˉ)Tα0(\bar\alpha)^T\alpha0(αˉ)Tα0 (αˉ)Tα∑in(ai2bi2)(\bar\alpha)^T\alpha\sum_{i}^{n}(a_i^2b_i^2)(αˉ)Tα∑in(ai2bi2) A‾A,ATA\overline{A}A,A^TAAA,ATA(A‾)TAT‾(\overline{A})^T\overline{A^T}(A)TAT 需要证明的内容是λˉλ\bar\lambda\lambdaλˉλ (αˉ)T(Aα)(αˉ)TATα(Aαˉ)Tα(Aˉαˉ)Tα(Aα‾)Tα两端分别用Aαλα代入(αˉ)Tλα(λα‾)Tαλ(αˉ)Tα(λ‾αˉ)Tαλ‾(αˉ)Tα(λ−λˉ)(αˉ)Tα0(\bar\alpha)^T(A\alpha)(\bar\alpha)^TA^T\alpha (A\bar\alpha )^T\alpha(\bar{A}\bar\alpha)^T\alpha (\overline{A\alpha})^T\alpha \\两端分别用A\alpha\lambda{\alpha}代入 \\ (\bar{\alpha})^T\lambda\alpha(\overline{\lambda\alpha})^T\alpha \\ \lambda(\bar\alpha)^T\alpha(\overline{\lambda}\bar\alpha)^T\alpha \overline{\lambda}(\bar\alpha)^T\alpha \\ (\lambda-\bar\lambda)(\bar\alpha)^T\alpha0 \\ (αˉ)T(Aα)(αˉ)TATα(Aαˉ)Tα(Aˉαˉ)Tα(Aα)Tα两端分别用Aαλα代入(αˉ)Tλα(λα)Tαλ(αˉ)Tα(λαˉ)Tαλ(αˉ)Tα(λ−λˉ)(αˉ)Tα0 这里左乘的是(αˉ)T(\bar{\alpha})^T(αˉ)T而不是αˉ\bar{\alpha}αˉ是为了使得乘法可以执行(规格)(αˉ)Tα0(\bar\alpha)^T\alpha0(αˉ)Tα0,所以λ−λˉ0\lambda-\bar{\lambda}0λ−λˉ0,即λλˉ\lambda\bar\lambdaλλˉ 实对称阵的关于不同特征值的特征向量彼此正交 设λ,μ\lambda,\muλ,μ是实对称阵的两个不同的特征值(λ≠μ\lambda\neq{\mu}λμ),Aαλα;AβμβA\alpha\lambda\alpha;A\beta\mu\betaAαλα;Aβμβ λ(α,β)(λα,β)(Aα,β)(Aα)TβαTATβαTAβαT(Aβ)(α,Aβ)(α,μβ)μ(α,β)(λ−μ)(α,β)0∵λ≠μ∴(α,β)0\lambda(\alpha,\beta)(\lambda\alpha,\beta)(A\alpha,\beta) \\(A\alpha)^T\beta\alpha^TA^T\beta \alpha^TA\beta\alpha^T(A\beta) \\(\alpha,A\beta)(\alpha,\mu\beta)\mu(\alpha,\beta) \\ (\lambda-\mu)(\alpha,\beta)0 \\ \because{\lambda}\neq{\mu} \\ \therefore (\alpha,\beta)0 λ(α,β)(λα,β)(Aα,β)(Aα)TβαTATβαTAβαT(Aβ)(α,Aβ)(α,μβ)μ(α,β)(λ−μ)(α,β)0∵λμ∴(α,β)0 AαiλiαiA\alpha_i\lambda_i\alpha_iAαiλiαi,i1,⋯,si1,\cdots,si1,⋯,s,(αi,αj)0,(λi≠λj)(\alpha_i,\alpha_j)0,(\lambda_i\neq{\lambda_j})(αi,αj)0,(λiλj) s表示A有s个互异的特征值 实对称阵的可对角化条件和一般方阵可对角化的条件相仿 n阶实对称阵一定有n个正交的单位特征向量Φα1,⋯,αn\Phi\alpha_1,\cdots,\alpha_nΦα1,⋯,αn 因为可以将可对角化实对称阵的n个线性无关向量进行 Gram-Schmidt orthogonalization方法正交化再进行单位化 记Q(Φ)Q(\Phi)Q(Φ),则:Q−1AQΛdiag(λ1,⋯,λn)Q^{-1}AQ\Lambdadiag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)Q−1AQΛdiag(λ1,⋯,λn) 一定存在正交矩阵Q使得实对称阵A满足Q−1AQΛQ^{-1}AQ\LambdaQ−1AQΛ(Λ\LambdaΛ为某个对角阵) 换句话说,实对称阵一定可以正交相似对角化 如果实矩阵A和某个对角阵Q正交相似(Q−1AQΛQ^{-1}AQ\LambdaQ−1AQΛ),则A一定是对称阵 (QTQEQ^TQEQTQE)当AAA正交相似于对角阵Λ\LambdaΛ时,即QTAQΛQ^TAQ\LambdaQTAQΛ A(QT)−1ΛQ−1(Q−1)TΛQ−1A(Q^T)^{-1}\Lambda{Q^{-1}}(Q^{-1})^T\Lambda{Q^{-1}}A(QT)−1ΛQ−1(Q−1)TΛQ−1而ΛTΛ\Lambda^T\LambdaΛTΛ则: AT(Q−1)TΛTQ−1(Q−1)TΛQ−1A^T(Q^{-1})^T\Lambda^TQ^{-1}(Q^{-1})^T\Lambda Q^{-1}AT(Q−1)TΛTQ−1(Q−1)TΛQ−1 可见AAT(Q−1)TΛQ−1AA^T(Q^{-1})^T\Lambda Q^{-1}AAT(Q−1)TΛQ−1,说明A是一个对称阵 方阵A正交相似于对角阵Λ\LambdaΛ当且仅当ATAA^TAATA 换句话说,方阵A正交相似对角化当且仅当A是个对称阵 文章转载自： http://www.morning.szoptic.com.gov.cn.szoptic.com http://www.morning.ppqjh.cn.gov.cn.ppqjh.cn http://www.morning.frnjm.cn.gov.cn.frnjm.cn http://www.morning.rdng.cn.gov.cn.rdng.cn http://www.morning.mjxgs.cn.gov.cn.mjxgs.cn http://www.morning.kzyr.cn.gov.cn.kzyr.cn 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