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根据样本#xff08;小流量#xff09;的观测结果#xff0c;拒绝或接受关于总体#xff08;全部流量#xff09;的某个假设#xff0c;称为假设检验。
假设检验的基本依据是小概率事件原理#xff08;小概率事件几乎不发生#xff09;#xff0c;如果…一、假设检验
根据样本小流量的观测结果拒绝或接受关于总体全部流量的某个假设称为假设检验。
假设检验的基本依据是小概率事件原理小概率事件几乎不发生如果小概率事件发生了则有充分理由推翻原假设否则接受原假设检验的具体过程是 首先假定原假设成立并寻找一个原假设成立条件下的发生概率微小的事件称为检验事件对应的统计量称为检验统计量 其次是采集样本 最后观测步骤 1 所定义的小概率事件是否发生 若小概率事件发生则拒绝原假设接受备用假设若小搞错了时间未发生则接受原假设拒绝备用假设
具体到AB实验中涉及实验组和对照组组两个总体假设实验的某个目标指标满足正态分布实验组和对照组分别记为 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X\sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2), Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2) X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22)常见检验问题是判断实验组对比对照组是否有效具体又分为几类情况
I. 原假设 H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H_0: \mu_1\le \mu_2 H0:μ1≤μ2实验组对比对照组负向或无效备用假设 H 1 : μ 1 μ 2 H_1:\mu_1 \mu_2 H1:μ1μ2实验组对比对照组正向
II. 原假设 H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H_0:\mu_1\ge \mu_2 H0:μ1≥μ2实验对比对照组正向或无效备用假设 H 1 : μ 1 μ 2 H_1:\mu_1 \mu_2 H1:μ1μ2实验组对比对照组负向
III. 原假设 H 0 : μ 1 μ 2 H_0:\mu_1 \mu_2 H0:μ1μ2实验对比对照组无效备用假设 H 1 : μ 1 ≠ μ 2 H_1:\mu_1 \ne \mu_2 H1:μ1μ2实验有效但未区分正向还是负向效果
与之等价的三个假设检验问题是
I. 原假设 H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H_0:\mu_1 - \mu_2 \le 0 H0:μ1−μ2≤0备用假设 H 1 : μ 1 − μ 2 0 H_1:\mu_1 - \mu_2 0 H1:μ1−μ20
II. 原假设 H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 0 H_0:\mu_1- \mu_2\ge 0 H0:μ1−μ2≥0备用假设 H 1 : μ 1 − μ 2 0 H_1:\mu_1 - \mu_2 0 H1:μ1−μ20
III. 原假设 H 0 : μ 1 − μ 2 0 H_0:\mu_1- \mu_2 0 H0:μ1−μ20备用假设 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_1:\mu_1 - \mu_2 \ne 0 H1:μ1−μ20
如何寻找一个事件满足在原假设成立条件下发生的概率微小 发生概率多小能满足要求
第二个问题比较好回答一般取 0.01 或 0.05记为 α 0.01 ∣ 0.05 \alpha 0.01|0.05 α0.01∣0.05称为检验的显著性。第一个问题需要费一番推导。
以假设检验问题 I 为例实验收集的样本记为 { X 1 , X 2 . . . , X n } , { Y 1 , Y 2 , . . . , Y 3 } \{X_1, X_2...,X_n\}, \{Y_1, Y_2, ..., Y_3\} {X1,X2...,Xn},{Y1,Y2,...,Y3}, 样本均值 X ‾ ∑ i X i n , Y ‾ ∑ i Y I m \overline{X} \frac{\sum_i X_i}{n},\overline{Y} \frac{\sum_iY_I}{m} Xn∑iXi,Ym∑iYI分别总体均值 μ 1 , μ 2 \mu_1, \mu_2 μ1,μ2的无偏相合估计样本均值之差 X ‾ − Y ‾ \overline{X}-\overline{Y} X−Y是总体均值差 μ 1 − μ 2 \mu_1-\mu_2 μ1−μ2的无偏相合估计因此样本均值之差 X ‾ − Y ‾ \overline{X}-\overline{Y} X−Y大概率是分布在 μ 1 − μ 2 \mu_1-\mu_2 μ1−μ2附近直观思考原假设成立的条件下 X ‾ − Y ‾ \overline{X}-\overline{Y} X−Y大概率落在非正数附近 X ‾ − Y ‾ \overline{X}-\overline{Y} X−Y取值为较大的正数的概率较小如下图 因此假设检验问题 I 原假设成立条件下的小概率事件定义为$ {\overline{X}-\overline{Y} c}$
下面需要做的是在给定小概率值 α \alpha α也就是检验的显著性的条件下确定阈值 c 也就是满足不等式 P ( X ‾ − Y ‾ c ) ≤ α P(\overline{X}-\overline{Y} c) \le \alpha P(X−Yc)≤α的实数 c.
由中心极限定理得到 X ‾ ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 / n ) Y ‾ ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 / m ) \overline{X} \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2/n)\\ \overline{Y} \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2/m) X∼N(μ1,σ12/n)Y∼N(μ2,σ22/m)
为了确定阈值 c需要分几种情况
总体方差 σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2, \sigma_2^2 σ12,σ22已知总体方差 σ 1 2 σ 2 2 σ 2 \sigma_1^2 \sigma_2^2 \sigma^2 σ12σ22σ2且未知总体方差 σ 1 2 ≠ σ 2 2 \sigma_1^2\ne\sigma_2^2 σ12σ22且未知总体方差 σ 1 2 ≠ σ 2 2 \sigma_1^2\ne \sigma_2^2 σ12σ22且未知大样本场景
首先考虑最简单的情况1, 由独立正态分布特性得到 X ‾ − Y ‾ ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 n σ 2 2 m ) \overline{X}-\overline{Y} \sim \mathcal{N}(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m} ) X−Y∼N(μ1−μ2,nσ12mσ22) ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} \sim \mathcal{N}(0, 1) nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)∼N(0,1) 正态分布性质 P ( ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m z α ) α P(\frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha}) \alpha P(nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)zα)α 由正态分布的上分位z_{\alpha}数定义 P H 0 ( X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m − μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m z α ) α P_{H_0}(\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} - \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha}) \alpha PH0(nσ12mσ22 X−Y−nσ12mσ22 μ1−μ2zα)α P H 0 ( X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m z α μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m ) α P_{H_0}(\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha} \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}}) \alpha PH0(nσ12mσ22 X−Yzαnσ12mσ22 μ1−μ2)α P H 0 ( X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m z α ) ≤ P H 0 ( X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m z α μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m ) α P_{H_0}(\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha}) \le P_{H_0}(\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha} \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}}) \alpha PH0(nσ12mσ22 X−Yzα)≤PH0(nσ12mσ22 X−Yzαnσ12mσ22 μ1−μ2)α: 由事件和子事件概率关系 P H 0 ( X ‾ − Y ‾ z α ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m ) ≤ α P_{H_0}(\overline{X}-\overline{Y} z_{\alpha} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}) \le \alpha PH0(X−Yzα∗nσ12mσ22 )≤α c z α ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m c z_{\alpha} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}} czα∗nσ12mσ22
概念整理 检验显著性 α \alpha α 检验统计量$Z \overline{X}-\overline{Y} $ 拒绝域 W I { Z z α ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m } W_I \{ Z z_{\alpha} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}\} WI{Zzα∗nσ12mσ22 }
因为 { X ‾ − Y ‾ z α ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m } \{\overline{X} - \overline{Y} z_{\alpha} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}\} {X−Yzα∗nσ12mσ22 }与 { X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m z α } \{ \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha} \} {nσ12mσ22 X−Yzα}是等价事件因此检验问题 1 经常采用的
检验统计量是 u X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m u \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} unσ12mσ22 X−Y拒绝域为 W I { u z α } W_I \{u z_{\alpha}\} WI{uzα}
p-value
以检验问题 I 为例 在一个假设检验问题中拒绝原假设的最小显著性水平成为 p 值。 X ‾ − Y ‾ ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 n σ 2 2 m ) \overline{X}-\overline{Y} \sim \mathcal{N}(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m} ) X−Y∼N(μ1−μ2,nσ12mσ22) p P ( T X ‾ − T ‾ ) p P(T \overline{X} - \overline{T}) pP(TX−T)
利用p值和给定的显著性水平 α \alpha α:
若 α ≥ p \alpha \ge p α≥p则拒绝原假设若 α p \alpha p αp则接受原假设
p 值越小拒绝原假设的理由越充分。
检验错误
原假设实际成立但被拒绝的错误称为 I 类错误对应AB实验中推全了一个没有效果的实验错误发生的概率记为 α \alpha α
原假设实际不成立但被接受的错误称为 II 类错误对应AB实验中一个有效果的实验没被推全错误发生概率记为 β \beta β.
以上的检验过程保证原假设成立但被推翻的概率小于\alpha.
样本量一定的情况下无法同事降低I类错误和II类错误的概率一般通过保证 I 类错误不高于一个阈值的情况下通过增大样本量控制II错误概率。
最小样本量
以检验问题 I 为例考察接受原假设的概率 P ( X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n σ 2 2 m z α ) P ( ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m z α − μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m ) P(\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha}) P(\frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha} - \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} ) P(nσ12mσ22 X−Yzα)P(nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)zα−nσ12mσ22 μ1−μ2) ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} \sim \mathcal{N}(0, 1) nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)∼N(0,1) P ( ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m z α − μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m ) Φ ( z α − μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m ) β P(\frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{\alpha} - \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}}) \Phi(z_{\alpha} - \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}}) \beta P(nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)zα−nσ12mσ22 μ1−μ2)Φ(zα−nσ12mσ22 μ1−μ2)β z α − μ 1 − μ 2 σ 1 2 n σ 2 2 m z 1 − β z_{\alpha} - \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} z_{1 - \beta} zα−nσ12mσ22 μ1−μ2z1−β
假设 m n n ( z α z β ) σ 1 2 σ 2 2 μ 1 − μ 2 1 \sqrt{n} \frac{(z_\alpha z_\beta)\sqrt{\sigma_1^2 \sigma^2_2}}{\mu_1 - \mu_2} \space\space\space\space\space\space1 n μ1−μ2(zαzβ)σ12σ22 1
启发 指标总体的方差越大需要的最小样本量越大 控制错误概率越低需要的最小样本量越大一般 α 0.01 、 0.05 β 0.2 \alpha 0.01、0.05 \beta 0.2 α0.01、0.05β0.2 实验组相对对照组提升 μ 1 − μ 2 \mu_1 - \mu_2 μ1−μ2越大需要的样本量越小提升越小需要的最小样本量越大 当 μ 1 \mu_1 μ1从左侧无限接近 μ 2 \mu_2 μ2,所需要的最小样本量接近无限大 实验最短观测周期T ( z α z β ) σ 1 2 σ 2 2 μ 1 − μ 2 \frac{(z_\alpha z_\beta)\sqrt{\sigma_1^2 \sigma^2_2}}{\mu_1 - \mu_2} μ1−μ2(zαzβ)σ12σ22 / 单位时长累积样本数量
第2种情况样本方差未知但相等 s x 2 1 n − 1 ∑ ( x i − x ‾ ) 2 s y 2 1 m − 1 ∑ ( y i − y ‾ ) 2 s w 2 ( n − 1 ) s x 2 ( m − 1 ) s y 2 n m − 2 s_x^2 \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \overline{x})^2 \\ s_y^2 \frac{1}{m-1}\sum(y_i - \overline{y})^2 \\ s_w^2 \frac{(n-1)s_x^2 (m-1)s_y^2}{nm-2} sx2n−11∑(xi−x)2sy2m−11∑(yi−y)2sw2nm−2(n−1)sx2(m−1)sy2 ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) s w 1 n 1 m ∼ t ( n m − 2 ) \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_w\sqrt{\frac{1}{n} \frac{1}{m}}} \sim t(n m - 2) swn1m1 (X−Y)−(μ1−μ2)∼t(nm−2) 检验统计量 t X ‾ − Y ‾ s w 1 n 1 m t \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{s_w\sqrt{\frac{1}{n} \frac{1}{m}}} tswn1m1 X−Y 拒绝域 W I { t t 1 − α ( n m − 2 ) } W_I \{ t t_{1-\alpha}(n m- 2) \} WI{tt1−α(nm−2)}
第3中情况样本样本方差未知但不等 检验统计量 t X ‾ − Y ‾ s x 2 n s y 2 m t \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{s^2_x}{n} \frac{s_y^2}{m}}} tnsx2msy2 X−Y 拒绝域 W I { t t 1 − α ( l ) } l ( s x 2 n s y 2 m ) 2 / [ s x 4 n 2 ( n − 1 ) s y 4 m 2 ( m − 1 ) ] W_I \{ t t_{1-\alpha}(l) \} \\ l (\frac{s_x^2}{n} \frac{s_y^2}{m})^2/[\frac{s_x^4}{n^2(n-1)} \frac{s_y^4}{m^2(m-1)} ] WI{tt1−α(l)}l(nsx2msy2)2/[n2(n−1)sx4m2(m−1)sy4]
第4种情况大样本情况
检验统计量 u X ‾ − Y ‾ s x 2 n s y 2 m u \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{s^2_x}{n} \frac{s_y^2}{m}}} unsx2msy2 X−Y拒绝域 W I { u z α } W_I \{u z_{\alpha}\} WI{uzα}
二、区间估计
点估计不能提供估计参数的估计误差大小所以点估计主要用在定性分析的场景或在对总体参数要求不精确时使用而在需要用精确总体参数的数据进行决策时则很少使用这种场景主要使用区间估计。
第1种情况总体方差已知 ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} \sim \mathcal{N}(0, 1) nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)∼N(0,1) P ( − z α / 2 ≤ ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n σ 2 2 m ≤ z α / 2 ) 1 − α P(-z_{\alpha/2}\le\frac{(\overline{X}-\overline{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}} \le z_{\alpha/2}) 1- \alpha P(−zα/2≤nσ12mσ22 (X−Y)−(μ1−μ2)≤zα/2)1−α P ( X ‾ − Y ‾ − z α / 2 ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m ≤ μ 1 − μ 2 ≤ X ‾ − Y ‾ z α / 2 ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m ) 1 − α P(\overline{X}-\overline{Y} - z_{\alpha/2} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}\le \mu_1-\mu_2\le \overline{X}-\overline{Y} z_{\alpha/2} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}) 1 - \alpha P(X−Y−zα/2∗nσ12mσ22 ≤μ1−μ2≤X−Yzα/2∗nσ12mσ22 )1−α μ 1 − μ 2 \mu_1 - \mu_2 μ1−μ2的 1 − α 1 -\alpha 1−α置信区间 [ X ‾ − Y ‾ − z α / 2 ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m , X ‾ − Y ‾ z α / 2 ∗ σ 1 2 n σ 2 2 m ] [\overline{X}-\overline{Y} - z_{\alpha/2} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}, \overline{X}-\overline{Y} z_{\alpha/2} * \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} \frac{\sigma_2^2}{m}}] [X−Y−zα/2∗nσ12mσ22 ,X−Yzα/2∗nσ12mσ22 ]
第2种情况总体方差未知但相等 μ 1 − μ 2 \mu_1 - \mu_2 μ1−μ2的 1 − α 1 -\alpha 1−α置信区间 [ X ‾ − Y ‾ − t 1 − α / 2 ( n m − 2 ) ∗ s w ∗ 1 n 1 m , X ‾ − Y ‾ t 1 − α / 2 ( n m − 2 ) ∗ s w ∗ 1 n 1 m ] [\overline{X}-\overline{Y} - t_{1-\alpha/2}(nm-2)*s_w * \sqrt{\frac{1}{n} \frac{1}{m}}, \overline{X}-\overline{Y} t_{1-\alpha/2}(nm-2) *s_w* \sqrt{\frac{1}{n} \frac{1}{m}}] [X−Y−t1−α/2(nm−2)∗sw∗n1m1 ,X−Yt1−α/2(nm−2)∗sw∗n1m1 ]
第3种情况 μ 1 − μ 2 \mu_1 - \mu_2 μ1−μ2的 1 − α 1 -\alpha 1−α置信区间 [ X ‾ − Y ‾ − t 1 − α / 2 ( 1 ) ∗ s x 2 n s y 2 m , X ‾ − Y ‾ t 1 − α / 2 ( l ) ∗ s x 2 n s y 2 m ] [\overline{X}-\overline{Y} - t_{1-\alpha/2}(1) * \sqrt{\frac{s_x^2}{n} \frac{s_y^2}{m}}, \overline{X}-\overline{Y} t_{1-\alpha/2}(l) * \sqrt{\frac{s_x^2}{n} \frac{s_y^2}{m}}] [X−Y−t1−α/2(1)∗nsx2msy2 ,X−Yt1−α/2(l)∗nsx2msy2 ]
第4种情况 μ 1 − μ 2 \mu_1 - \mu_2 μ1−μ2的 1 − α 1 -\alpha 1−α置信区间 [ X ‾ − Y ‾ − u 1 − α / 2 ∗ s x 2 n s y 2 m , X ‾ − Y ‾ u 1 − α / 2 ∗ s x 2 n s y 2 m ] [\overline{X}-\overline{Y} - u_{1-\alpha/2} * \sqrt{\frac{s_x^2}{n} \frac{s_y^2}{m}}, \overline{X}-\overline{Y} u_{1-\alpha/2} * \sqrt{\frac{s_x^2}{n} \frac{s_y^2}{m}}] [X−Y−u1−α/2∗nsx2msy2 ,X−Yu1−α/2∗nsx2msy2 ]
三、区间估计与假设检验的关系
若检验显著水平 α \alpha α 拒绝域为W则对立事件 W ‾ \overline{W} W就是相应参数的 1 − α 1 - \alpha 1−α置信区间 W ‾ \overline{W} W为相应参数 1 − α 1 - \alpha 1−α置信区间则对立事件W为检验显著水平 α \alpha α的拒绝域
四、更多
两个二项分布指标的分析
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