国外产品网站,给个网站做导航违法吗,网站源码下载地址是什么,韩城市住房和城乡建设局网站文章目录 Ch7. 参数估计7.1 点估计1.矩估计2.最大似然估计(1)离散型(2)连续型 7.2 评价估计量优良性的标准(1)无偏性 (无偏估计)(2)有效性(3)一致性 7.3 区间估计1.置信区间、置信度2.求μ的置信区间 Ch8. 假设检验1.拒绝域α、接受域1-α、H₀原假设、H₁备择假设2.双边检验、… 文章目录 Ch7. 参数估计7.1 点估计1.矩估计2.最大似然估计(1)离散型(2)连续型 7.2 评价估计量优良性的标准(1)无偏性 (无偏估计)(2)有效性(3)一致性 7.3 区间估计1.置信区间、置信度2.求μ的置信区间 Ch8. 假设检验1.拒绝域α、接受域1-α、H₀原假设、H₁备择假设2.双边检验、单边检验3.第一类错误、第二类错误 Ch7. 参数估计
7.1 点估计
1.矩估计 p i ( θ ) p_i(θ) pi(θ)、 f ( x i , θ ) f(x_i,θ) f(xi,θ)用矩估计法来估计未知参数θ { X ˉ E ( X ) 1 n ∑ i 1 n X i 2 E ( X 2 ) \left\{\begin{aligned} \bar{X} E(X) \\ \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^nX_i^2 E(X^2) \end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧Xˉn1i1∑nXi2E(X)E(X2)
注意 1.矩估计量大写 矩估计值小写
2.离散型和连续型随机变量 求矩估计的区别只在于求期望的方法不一样。 而求最大似然估计则是似然函数的求法不一样。 例题123李林六套卷(三)22.(2) 若θ为未知参数利用总体Z的样本值 − 2 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 -2,0,0,0,2,2 −2,0,0,0,2,2求 θ θ θ的矩估计值。且Z的分布律为 Z Z Z − 2 -2 −2 0 0 0 2 2 2 P k P_k Pk θ θ θ 1 − 2 θ 1-2θ 1−2θ θ θ θ
答案 例题209年23(1)
分析 ①矩估计求期望 ②最大似然估计求似然函数L(θ)取对数lnL(θ)令导数为0即令 d l n L ( θ ) d θ 0 \frac{\rm dlnL(θ)}{\rm dθ}0 dθdlnL(θ)0
答案 例题313年23.难度易 2.最大似然估计
最大似然估计求的是θ为多少时使得L(θ)最大 (1)离散型
求离散型随机变量的最大似然估计量 离散型的似然函数 L ( θ ) ∏ i 1 n p ( x i , θ ) L(θ)\prod\limits_{i1}^n{p(x_i,θ)} L(θ)i1∏np(xi,θ) p ( x 1 , θ ) ⋅ p ( x 2 , θ ) ⋅ . . . ⋅ p ( x n , θ ) p(x_1,θ)·p(x_2,θ)·...·p(x_n,θ) p(x1,θ)⋅p(x2,θ)⋅...⋅p(xn,θ) x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn为离散型样本值根据样本来确定是哪些概率相乘。 (2)连续型
求连续型随机变量的最大似然估计量连续型的似然函数L(θ) L ( θ ) L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; θ ) ∏ i 1 n f ( x i ; θ ) ( x i 0 , i 1 , 2 , . . . n ) L(θ) L(x_1,x_2,...,x_n;θ) \prod_{i1}^n f(x_i;θ) \qquad (x_i0,i1,2,...n) L(θ)L(x1,x2,...,xn;θ)i1∏nf(xi;θ)(xi0,i1,2,...n)
求最大似然估计量/值 ①求似然函数 L(θ) (xi0/θ,i1,2,…n) ②取对数求 lnL(θ) ③令 d l n L ( θ ) d θ 0 \frac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} 0 dθdlnL(θ)0求出 θ ^ \hat{θ} θ^ ④最大似然估计值为xi最大似然估计量为Xi 若 d l n L ( θ ) d θ ≠ 0 \frac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} ≠ 0 dθdlnL(θ)0 有的题在③这一步发现 d l n L ( θ ) d θ ≠ 0 \frac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} ≠ 0 dθdlnL(θ)0为0就说明 L(θ)为增函数。见2000年21. 例题12002年20. 离散型的参数估计
答案 例题219年23(2)
分析 求σ2的最大似然函数 ①求似然函数L(σ2) ②取对数lnL(σ2) ③令 d l n L ( σ 2 ) d σ 2 0 \frac{\rm d lnL(σ^2)}{\rm dσ^2} 0 dσ2dlnL(σ2)0 答案 σ2的最大似然估计值为 σ ^ 2 1 n ∑ i 1 n ( x i − μ ) 2 \hat{σ}^2\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(x_i-μ)^2 σ^2n1i1∑n(xi−μ)2 σ2的最大似然估计量为 σ ^ 2 1 n ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 \hat{σ}^2\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i1}^n(X_i-μ)^2 σ^2n1i1∑n(Xi−μ)2 例题318年23(2) 例题42000年21.
分析 d l n L ( θ ) d θ 2 n 0 \frac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} 2n 0 dθdlnL(θ)2n0∴lnL(θ)为关于θ的增函数 ∴θ的最大似然估计值为 θ ^ \hat{θ} θ^min1≤i≤n{xi} 例题509年23(2) 习题123李林四(三)16.
分析 答案 X ˉ \bar{X} Xˉ 习题223李林四(二)16.
分析∵|x|≤θ ∴θ的最大似然估计量为 θ ^ \hat{θ} θ^max{|X₁|,|X₂|,…,|Xn|}
答案max{|X₁|,|X₂|,…,|Xn|} 习题323李林六套卷(六)16. 二维随机变量求θ的最大似然估计
分析
答案 1 2 n ∑ i 1 n ( X i Y i ) \dfrac{1}{2n}\sum\limits_{i1}^n(X_iY_i) 2n1i1∑n(XiYi) 习题422年22. 两个随机变量求最大似然估计量
答案 7.2 评价估计量优良性的标准
(1)无偏性 (无偏估计)
若参数θ的估计量 θ ^ θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{θ}\hat{θ}(X_1,X_2,...,X_n) θ^θ^(X1,X2,...,Xn)对一切n及θ∈I有 E ( θ ^ ) θ E(\hat{θ})θ E(θ^)θ则称 θ ^ \hat{θ} θ^为 θ θ θ的无偏估计量
即若 θ ^ \hat{θ} θ^是θ的无偏估计量则 E ( θ ^ ) θ E(\hat{θ})θ E(θ^)θ E ( X ˉ ) μ E ( X ) E ( S 2 ) σ 2 D ( X ) E(\bar X)μE(X)E(S^2)σ²D(X) E(Xˉ)μE(X)E(S2)σ2D(X) (2)有效性
有效性(最小方差性)都是无偏估计量的情况下方差小的更有效 (3)一致性
一致性(相合性) θ ^ → P θ \hat{θ}\xrightarrow{P}θ θ^P θ依概率收敛 例题114年14.
分析
答案 2 5 n \dfrac{2}{5n} 5n2 例题209年14. 无偏估计、二项分布的数字特征
分析 θ ^ \hat{θ} θ^是θ的无偏估计量 E ( θ ^ ) θ E(\hat{θ})θ E(θ^)θ。 E ( X ˉ ) μ E ( X ) E ( S 2 ) σ 2 D ( X ) E(\bar X)μE(X)E(S^2)σ²D(X) E(Xˉ)μE(X)E(S2)σ2D(X) 则 E ( X ˉ k S 2 ) n p 2 E(\bar XkS^2)np^2 E(XˉkS2)np2即 E ( X ˉ ) k E ( S 2 ) n p k n p ( 1 − p ) n p 2 E(\bar X)kE(S^2)npknp(1-p)np^2 E(Xˉ)kE(S2)npknp(1−p)np2化简得 k-1
答案-1 例题316年23(2)
例题412年23(3) 7.3 区间估计
1.置信区间、置信度 P { θ 1 θ θ 2 } 1 − α P\{θ_1θθ_2\}1-α P{θ1θθ2}1−α 1 − α 1-α 1−α称为置信度(置信水平) α α α称为显著性水平
区间 ( θ 1 , θ 2 ) (θ_1,θ_2) (θ1,θ2)称为参数θ的置信度为1-α的置信区间。 θ 1 θ₁ θ1和 θ 2 θ₂ θ2分别称为置信度为 1 − α 1-α 1−α的置信区间的置信下限和置信上限 2.求μ的置信区间
正态总体均值μ的置信区间(置信水平为1-α)
待估参数其他参数枢轴量的分布置信区间μσ²已知 Z X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) Z\dfrac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}}\sim N(0,1) Zσ/n X−μ∼N(0,1) ( X ‾ − Z α 2 σ n , X ‾ Z α 2 σ n ) (\overline{X}-Z_{\frac{α}{2}}\dfrac{σ}{\sqrt{n}},\overline{X}Z_{\frac{α}{2}}\dfrac{σ}{\sqrt{n}}) (X−Z2αn σ,XZ2αn σ)μσ²未知 t X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t\dfrac{\overline{X}-μ}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) tS/n X−μ∼t(n−1) ( X ‾ − t α 2 ( n − 1 ) S n , X ‾ t α 2 ( n − 1 ) S n ) (\overline{X}-t_{\frac{α}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}t_{\frac{α}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}}) (X−t2α(n−1)n S,Xt2α(n−1)n S) 例题116年14. 置信区间、置信上限
分析置信区间是以 X ˉ \bar{X} Xˉ为中心对称的 X ˉ 9.5 \bar{X}9.5 Xˉ9.5 X ˉ \bar{X} Xˉ到置信下限是1.3则 X ˉ \bar{X} Xˉ到置信上限也是1.3
答案 ( 8.2 10.8 ) (8.210.8) (8.210.8) 例题203年6.
分析
答案 ( 39.51 40.49 ) (39.5140.49) (39.5140.49) Ch8. 假设检验
1.拒绝域α、接受域1-α、H₀原假设、H₁备择假设
检验水平(显著性水平)α即为拒绝域面积。α越小接受域越大。 例题118年8. 假设检验
分析α为拒绝域。若拒绝说明落在α内。若接受说明落在α外。
答案D 2.双边检验、单边检验
①接受域看H₀拒绝域看H₁ ②易错点求未知数时要代入原假设H₀中μ的值 μ 0 μ_0 μ0
(1)双边检验 ①H₀μμ₀H₁μ≠μ₀ ②α/2
(2)单边检验 ①H₀μ≥或≤μ₀H₁μ或μ₀ ②α 例题1
分析 答案求出拒绝域得 x ˉ 10 \bar{x}10 xˉ10落入拒绝域拒绝原假设H₀ 3.第一类错误、第二类错误
1.犯第一类错误(弃真)H₀为真的情况下拒绝了H₀。 犯第一类错误的概率 α P { 拒绝了 H 0 ∣ H 0 为真 } P { 落在拒绝域 } αP\{拒绝了H_0|H_0为真 \}P\{落在拒绝域\} αP{拒绝了H0∣H0为真}P{落在拒绝域} 2.犯第二类错误(取伪)H₀为假的情况下接受了H₀。 犯第二类错误的概率 β P { 接受了 H 0 ∣ H 0 为假 } P { 落在接受域 } βP\{接受了H_0|H_0为假\}P\{落在接受域\} βP{接受了H0∣H0为假}P{落在接受域} 常用性质 ① P { x a } 1 − P { x ≤ a } P\{xa\}1-P\{x≤a\} P{xa}1−P{x≤a}
② Φ ( − x ) 1 − Φ ( x ) Φ(-x)1-Φ(x) Φ(−x)1−Φ(x) 例题123李林六套卷(四)10. 犯第一类错误
分析 答案C 例题221年10. 犯第二类错误
分析 答案B 例题3
分析 犯第一类错误的概率α P{H0为真落在拒绝域} 犯第二类错误的概率βP{H1为真落在接受域}
答案
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