当前位置： 首页 > news >正文 网站改版意见朝阳专业做网站 news 2025/11/2 11:24:29 网站改版意见,朝阳专业做网站,网络服务提供者发现用户利用其网络,做旅游宣传网站的流程正定矩阵#xff08;Positive Definite Matrix#xff09;的定义与性质 正定矩阵在优化、机器学习、信号处理等领域中有广泛应用。以下是其定义、几何解释及性质。 1. 定义 一个 n n n \times n nn 的实对称矩阵 A A A 是正定矩阵#xff0c;当且仅当它满足以下等价条…正定矩阵Positive Definite Matrix的定义与性质 正定矩阵在优化、机器学习、信号处理等领域中有广泛应用。以下是其定义、几何解释及性质。 1. 定义 一个 n × n n \times n n×n 的实对称矩阵 A A A 是正定矩阵当且仅当它满足以下等价条件之一 对任意非零向量 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x∈Rn有 x T A x 0 x^T A x 0 xTAx0 矩阵的所有特征值均为正。 存在一个满秩矩阵 B B B使得 A B T B A B^T B ABTB 针对复矩阵 A A A 是 Hermitian 矩阵共轭对称矩阵且所有特征值均为正。 对于复矩阵 A A A如果满足 x H A x 0 x^H A x 0 xHAx0其中 x H x^H xH 表示 x x x 的共轭转置则称 A A A 是正定矩阵。 2. 几何解释 正定矩阵 A A A 定义了一种“度量”或“能量” 二次型 x T A x x^T A x xTAx 表示向量 x x x 在某种度量下的“能量”或“长度平方”。如果 A A A 是正定的则度量是严格正的说明 A A A 表示一个严格凸的二次函数。 3. 性质 正定矩阵具有以下性质 3.1 对称性 实正定矩阵必须是对称矩阵 A A T A A^T AAT复正定矩阵必须是 Hermitian 矩阵 A A H A A^H AAH 3.2 特征值 正定矩阵的所有特征值均为正。特征值的正性也可通过迹和行列式反映。 3.3 二次型非负 对任意向量 x x x有 x T A x 0 x^T A x 0 xTAx0 3.4 主子式正性 正定矩阵的所有主子式从左上角开始的任意子矩阵的行列式均大于 0。 3.5 逆矩阵正定性 若 A A A 是正定矩阵则其逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1 也正定。 4. 判定方法 判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法 二次型检验 检查 x T A x 0 x^T A x 0 xTAx0 是否对任意非零 x x x 成立。 特征值检查 计算矩阵的所有特征值若均为正则矩阵正定。 Cholesky 分解 若矩阵 A A A 可以进行 Cholesky 分解 A L L T A LL^T ALLT 其中 L L L 是下三角矩阵则 A A A 是正定的。 主子式法则 检查矩阵的所有主子式是否均为正。 5. 应用场景 正定矩阵广泛应用于以下领域 优化 二次优化问题中目标函数的 Hessian 矩阵若为正定则目标函数是严格凸的。 机器学习 核矩阵Kernel Matrix必须是正定的。 物理与工程 用于描述系统的稳定性、能量以及正向性。 文章转载自： http://www.morning.liyixun.com.gov.cn.liyixun.com http://www.morning.ycmpk.cn.gov.cn.ycmpk.cn http://www.morning.zrpys.cn.gov.cn.zrpys.cn http://www.morning.mzcsp.cn.gov.cn.mzcsp.cn http://www.morning.xwlhc.cn.gov.cn.xwlhc.cn http://www.morning.cfcdr.cn.gov.cn.cfcdr.cn http://www.morning.jlktz.cn.gov.cn.jlktz.cn http://www.morning.rkmsm.cn.gov.cn.rkmsm.cn http://www.morning.qcdhg.cn.gov.cn.qcdhg.cn http://www.morning.mjglk.cn.gov.cn.mjglk.cn http://www.morning.dqgbx.cn.gov.cn.dqgbx.cn http://www.morning.dphmj.cn.gov.cn.dphmj.cn http://www.morning.pprxs.cn.gov.cn.pprxs.cn 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