免费的网站登录模板下载,股票跟单网站开发,网站和浏览器不兼容,网站建设代理平台有哪些引言 对于任意两个拓扑结构相似的表面#xff0c;可以计算它们之间的一一对应映射。如果其中一个表面由三角形网格表示#xff0c;那么计算这种映射的问题被称为网格参数化。映射到的表面通常被称为参数域。表面网格与各种域之间的参数化在计算机图形学和几何处理中有广泛的应…引言 对于任意两个拓扑结构相似的表面可以计算它们之间的一一对应映射。如果其中一个表面由三角形网格表示那么计算这种映射的问题被称为网格参数化。映射到的表面通常被称为参数域。表面网格与各种域之间的参数化在计算机图形学和几何处理中有广泛的应用如下所述。近年来针对参数化网格的方法层出不穷目标是不同的参数域并侧重于不同的参数化属性。
本课程将回顾各种参数化方法总结每种技术的主要思想并侧重于方法的实践方面。它还提供了许多更受欢迎的方法生成的结果示例。当几种方法解决相同的参数化问题时本综述努力基于参数化质量、效率和鲁棒性等标准提供客观比较。我们还将详细讨论从参数化中受益的应用并讨论实施不同技术时涉及的实际问题。
1.1 应用 表面参数化最初作为将纹理映射到表面的方法引入计算机图形学[Bennis等人1991年; Maillot等人1993年]。在过去的十年中它逐渐成为一种无处不在的工具适用于许多网格处理应用如下所述。
细节映射 复杂的对象可以通过一个粗糙的几何形状多边形网格或细分表面高效表示每个三角形对应细节存储在单独的二维数组中。在传统的纹理映射中细节是相应像素的颜色。通过存储凹凸、法线或位移图模型可以进一步丰富。最近的技术[Peng等人2004年; Porumbescu等人2005年]使用体积纹理而不是二维纹理来模拟表面附近的厚区域空间以建模具有复杂拓扑或不易通过高度场局部近似的细节例如稀疏交织的结构或动物皮毛。将细节映射到表面的自然方式是使用平面参数化。 细节合成 虽然纹理映射的目标是表现3D物体的复杂外观但有几种方法利用网格参数化来创建丰富外观所需的局部细节。这些技术可以使用平面补丁作为输入其中包含样本细节例如 [Soler et al., 2002]参数化或程序化模型或直接的用户输入和编辑 [Carr and Hart, 2004]。细节的类型可以非常多样用于创建它的中间表示与用于存储它的最终表示相似。
变形和细节转移 两个物体表面之间的映射允许将细节从一个物体转移到另一个物体例如 [Praun et al., 2001]或在几个物体的形状和外观之间进行插值 [Alexa, 2000; Kraevoy and Sheffer, 2004; Schreiner et al., 2004]。通过随时间改变插值比率可以产生变形动画。在空间变化和频率变化的变形中物体不同部分或不同频带被转换特征的粗细程度的变化率可以不同 [Allen et al., 2003; Kraevoy and Sheffer, 2004]。这种映射可以直接计算或者更常见的是通过将两个物体表面映射到一个共同的域来计算。除了转移表面的静态外观表面间参数化还允许在形状之间转移动画数据可以通过转移来自动画骨骼的局部表面影响或直接转移网格中每个三角形的局部仿射变换 [Sumner and Popović, 2004]。
网格补全 来自范围扫描的网格通常包含孔洞和多个组件。Lévy [2003] 使用平面参数化来获得孔洞边界的自然形状并对其进行三角剖分。在许多情况下关于扫描模型整体形状的先验知识是存在的。例如对于人体扫描通用人体形状的模板很容易获得。Allen et al. [2003] 和 Anguelov et al. [2005] 利用这种先验知识来促进扫描的补全方法是计算扫描与模板人体模型之间的映射。Kraevoy 和 Sheffer [2005] 开发了一种更通用和稳健的基于模板的方法用于补全任何类型的扫描。这些技术通常使用模板和扫描之间的表面间参数化。
网格编辑 编辑操作通常受益于模型对之间的局部参数化。Biermann等人[2002]使用局部参数化来促进模型之间的细节剪切和粘贴转移。他们在2D中局部参数化两个模型上的感兴趣区域并重叠这两个参数化。他们使用参数化将形状属性从一个模型转移到另一个模型。Lévy [2003]以类似的方式使用局部参数化进行网格组合。他们计算输入模型上靠近组合边界区域的重叠平面参数化并用它来提取和平滑混合两个模型的形状信息。
创建对象数据库 一旦大量模型在共同域上参数化就可以进行分析确定对象之间的共同因素和它们的区别特征。例如在人体形状数据库中[Allen等人2003]区别特征可能是性别、身高和体重。可以将对象与数据库进行比较并在这些维度上进行评分数据库可以通过插值或外推现有对象来创建新的合理对象实例。
重新网格化 有许多可能的三角剖分可以用相似的精度水平表示相同的形状。对于不同的应用某些三角剖分可能比其他的更理想。例如对于表面上的数值模拟具有良好纵横比的三角形不太小或不太细对于收敛性和数值精度很重要。重新网格化表面或用另一种三角剖分替换一种三角剖分的一种常见方法是参数化表面然后将域的理想的、易于理解和创建的三角剖分映射回原始表面。例如Gu等人[2002]使用平面正方形域的规则网格采样而其他方法如[Guskov等人2000]在简单域的面上使用规则细分通常是1比4三角形分割。这种局部规则网格通常可以支持通过应用细分规则的极限过程创建光滑表面。为了生成高质量的三角剖分Desbrun等人[2002]将输入网格参数化到平面中然后使用平面Delaunay三角剖分来获得表面的高质量重新网格化。这些方法面临的一个问题是沿着为促进参数化而创建的切割线出现可见的不连续性。Surazhsky和Gotsman [2003]避免全局参数化而是使用局部参数化作为显式重新网格化方案的一部分在网格上移动顶点。最近的方法如[Ray等人2006]使用全局参数化直接在3D表面上生成以四边形为主的网格。
网格压缩 网格压缩用于紧凑地存储或传输几何模型。与其他数据一样压缩率与数据熵成反比。因此当模型由尽可能规则的网格表示时无论在拓扑上还是几何上都可以获得更高的压缩率。拓扑规则性指的是几乎所有顶点都具有相同度数的网格。几何规则性意味着三角形在形状和大小上彼此相似且顶点接近其邻居的质心。这样的网格可以通过参数化原始对象然后用规则采样模式重新网格化来获得[Gu等人2002]。参数化的质量直接影响压缩效率。
表面拟合 网格参数化的早期应用之一是表面拟合[Floater2000]。几何处理中的许多应用需要从输入网格构建平滑的分析表面。网格在基础域上的参数化显著简化了这项任务。早期方法要么将整个网格参数化到平面要么将其分段并独立参数化每个片段。最近的方法例如[Li等人2006]专注于构建平滑的全局参数化并用于拟合实现了构建表面的全局连续性。
从材料片建模 虽然计算机图形学专注于虚拟模型但几何处理有许多现实世界的工程应用。特别是平面网格参数化是从材料片建模3D对象时的重要工具范围从服装建模到金属成型或锻造[Bennis等人1991; Julius等人2005]。所有这些应用都需要计算平面图案以形成所需的3D形状。通常模型首先被分割成几乎可展开的图表然后这些图表在平面中参数化。
医学可视化 复杂的几何结构通常通过将表面法线图、颜色和其他属性映射到更简单的规范域来更好地可视化和分析。人脑是这种映射特别有用的结构之一[Hurdal等人1999; Haker等人2000]。大多数脑映射方法利用大脑是零亏格的事实通过球面[Haker等人2000]或平面[Hurdal等人1999]参数化来可视化它。
第2章 微分几何入门 在我们详细讨论如何计算网格参数化及其应用之前让我们快速回顾一些来自微分几何的基本性质这些性质对于理解后面所描述的方法的动机至关重要。有关这些性质的详细信息和证明我们建议读者参考微分几何的标准文献特别是do Carmo [1976]、Klingenberg [1978]、Kreyszig [1991]和Morgan [1998]的书籍。
2.1 基本定义 假设Ω ⊂ R²是一个简单连通区域即没有任何孔例如
单位正方形Ω {(u,v) ∈ R² : u,v ∈ [0,1]}或单位圆盘Ω {(u,v) ∈ R² : u²v² ≤ 1}。
假设函数f : Ω → R³是连续且单射的即Ω中的任何两个不同点在R³中对应的点都不同。我们称Ω在f下的像S为一个曲面 [ S f(Ω) {f(u,v) : (u,v) ∈ Ω} ]
并称f是S在参数域Ω上的参数化。根据S的定义f实际上是Ω和S之间的双射因此可以定义它的逆函数f⁻¹ : S → Ω。以下是一些例子
简单线性函数 参数域Ω {(u,v) ∈ R² : u,v ∈ [0,1]}曲面S {(x,y,z) ∈ R³ : x,y,z ∈ [0,1], xy 1}参数化f(u,v) (u, 1−u, v)逆函数f⁻¹(x, y, z) (x, z) 圆柱
参数域Ω {(u,v) ∈ R² : u ∈ [0,2π), v ∈ [0,1]}曲面S {(x,y,z) ∈ R³ : x² y² 1, z ∈ [0,1]}参数化f(u, v) (cos u, sin u, v)逆函数f⁻¹(x, y, z) (arccos x, z) 抛物面
参数域Ω {(u, v) ∈ R² : u, v ∈ [−1, 1]}曲面S {(x, y, z) ∈ R³ : x, y ∈ [−2, 2], z 4(x² y²)}参数化f(u, v) (2u, 2v, u² v²)逆函数f⁻¹(x, y, z) (x/2, y/2) 半球面正投影
参数域Ω {(u, v) ∈ R² : u² v² ≤ 1}曲面S {(x, y, z) ∈ R³ : x² y² z² 1, z ≥ 0}参数化f(u, v) (u, v, √(1 − u² − v²))逆函数f⁻¹(x, y, z) (x, y) 定义了一个曲面S之后我们应该注意到函数f绝不是S在Ω上的唯一参数化。事实上给定任何双射φ : Ω → Ω很容易验证f和φ的复合函数即g f ◦ φ也是S在Ω上的一个参数化。例如我们可以通过定义从任何双射ρ : [0, 1] → [0, 1]轻松构造这样的重新参数化φ
对于单位正方形φ(u, v) (ρ(u), ρ(v))对于单位圆盘φ(u, v) (uρ(u² v²), vρ(u² v²))
特别地取函数ρ(x) 2/1 x并将这种重新参数化应用于上例中半球面的参数化得到以下替代参数化
半球面立体投影
参数域Ω {(u, v) ∈ R² : u² v² ≤ 1}
曲面S {(x, y, z) ∈ R³ : x² y² z² 1, z ≥ 0}
参数化$ f(u, v) (\left(\frac{2u}{1 u2 v2}, \frac{2v}{1 u2 v2}, \frac{1 - u2 - v2}{1 u2 v2}\right)) $
逆函数$ f⁻¹(x, y, z) (\left(\frac{x}{1 z}, \frac{y}{1 z}\right)) $ 这种参数化方法被称为立体投影它具有以下特点
保角性立体投影保持了角度这在某些应用中非常重要。共形映射它是一种共形映射意味着它在局部保持形状。无奇点除了北极点在这个半球面的情况下是(0,0,1)外映射是平滑的。双有理函数参数化和其逆都是有理函数这在某些计算中可能有优势。
立体投影在地图制图、复分析和其他数学领域中有重要应用。它提供了一种将球面或半球面上的点与平面上的点进行对应的方法这在处理球面几何问题时非常有用。
2.2 内在曲面性质
虽然曲面的参数化不是唯一的——我们将在后面讨论如何根据某些标准获得“最佳”参数化——但它仍然是一个非常方便的工具因为它可以用来计算曲面的各种性质。例如如果f是可微的那么它的偏导数
$ f_u \frac{\partial f}{\partial u} 和 f_v \frac{\partial f}{\partial v} $
展开了局部切平面通过简单地计算它们的叉积并归一化结果我们得到曲面的法向量
$ n_f \frac{f_u \times f_v}{||f_u \times f_v||} $
为了简化符号我们常将$ ( f_u )和( f_v ) f o n t s t y l e c o l o r : r g b a ( 0 , 0 , 0 , 0.82 ) ; 称为导数将 / f o n t font stylecolor:rgba(0, 0, 0, 0.82);称为导数将/font fontstylecolor:rgba(0,0,0,0.82);称为导数将/font ( n_f ) f o n t s t y l e c o l o r : r g b a ( 0 , 0 , 0 , 0.82 ) ; 称为曲面法向量但我们应当记住形式上这三者都是从 R 2 到 R 3 的函数。换句话说对于参数域 Ω 中的任意点 ( u , v ) 在曲面点 ( f ( u , v ) ) ∈ S 处的切平面由向量 / f o n t font stylecolor:rgba(0, 0, 0, 0.82);称为曲面法向量但我们应当记住形式上这三者都是从R²到R³的函数。换句话说对于参数域Ω中的任意点(u,v)在曲面点( f(u,v) )∈ S处的切平面由向量/font fontstylecolor:rgba(0,0,0,0.82);称为曲面法向量但我们应当记住形式上这三者都是从R2到R3的函数。换句话说对于参数域Ω中的任意点(u,v)在曲面点(f(u,v))∈S处的切平面由向量/font f_u(u,v) 和f_v(u,v)张成而n_f(u,v) $是此点的法向量。
我们通过考虑两个例子来澄清这一点
对于简单的线性函数$ f(u,v) (u,1−u,v) f o n t s t y l e c o l o r : r g b a ( 0 , 0 , 0 , 0.82 ) ; 我们得到 / f o n t font stylecolor:rgba(0, 0, 0, 0.82);我们得到/font fontstylecolor:rgba(0,0,0,0.82);我们得到/font f_u(u,v) (1,−1,0) $$ 和 f_v(u,v) (0,0,1) f o n t s t y l e c o l o r : r g b a ( 0 , 0 , 0 , 0.82 ) ; 进一步计算得到 / f o n t font stylecolor:rgba(0, 0, 0, 0.82);进一步计算得到/font fontstylecolor:rgba(0,0,0,0.82);进一步计算得到/font n_f(u,v) \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) $,这表明所有S上的点的法向量是一个常量。对于圆柱的参数化$ f(u,v) (\cos u, \sin u, v) f o n t s t y l e c o l o r : r g b a ( 0 , 0 , 0 , 0.82 ) ; 我们得到 / f o n t font stylecolor:rgba(0, 0, 0, 0.82);我们得到/font fontstylecolor:rgba(0,0,0,0.82);我们得到/font f_u(u,v) (−\sin u, \cos u, 0) 和 f_v(u,v) (0,0,1) f o n t s t y l e c o l o r : r g b a ( 0 , 0 , 0 , 0.82 ) ; 进一步计算得到 / f o n t font stylecolor:rgba(0, 0, 0, 0.82);进一步计算得到/font fontstylecolor:rgba(0,0,0,0.82);进一步计算得到/font n_f(u,v) (\cos u, \sin u, 0) $,这表明S上任意点(x, y, z)的法向量只是(x, y, 0)。
注意在两个例子中曲面法向量都与参数化无关。事实上这对所有曲面都成立因此称为曲面的内在性质。正式地我们还可以说曲面法向量是一个函数( n : S → S² )其中( S² {(x,y,z) ∈ R³ : x² y² z² 1} )是R³中的单位球面因此
$ n§ n_f(f^{-1}§) $
对于任何 p ∈ S 和任何参数化 f 。作为练习你可以验证这一点对于上面给出的半球面的两种替代参数化是否成立。其他内在曲面性质包括高斯曲率 K§ 和平均曲率 H§ 以及曲面的总面积 A(S) 。为了计算后者我们需要使用第一基本形式。
$ I_f \begin{pmatrix} f_u \cdot f_u f_u \cdot f_v \ f_v \cdot f_u f_v \cdot f_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E F \ F G \end{pmatrix}, $
其中偏导数之间的乘积是$ \mathbb{R}^3 中的常规点积。根据柯西 − 施瓦茨不等式这个对称的 中的常规点积。根据柯西-施瓦茨不等式这个对称的 中的常规点积。根据柯西−施瓦茨不等式这个对称的 2 \times 2 $矩阵的行列式总是非负的因此它的平方根总是实数。曲面的面积定义为
$ A(S) \int_{\Omega} \sqrt{\det I_f} , du , dv. $
例如考虑半球在单位圆盘上的正交参数化$ f(u, v) (u, v, \sqrt{1 - u^2 - v^2}) $。经过一些简化我们发现
$ \det I_f \frac{1}{1 - u^2 - v^2} $
可以计算半球的面积如下
$ A(S) \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-v2}}{\sqrt{1-v^2}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2 - v^2}} , du , dv\ \int_{-1}^{1} \left[ \arcsin \frac{u}{\sqrt{1 - v^2}} \right]{-\sqrt{1-v2}}{\sqrt{1-v^2}} , dv \ \int{-1}^{1} \pi , dv \ 2\pi, $
正如预期的那样。当然如果我们使用立体投影参数化也会得到相同的结果你可以尝试将其作为练习。
为了计算曲率我们必须首先假设参数化是二阶可微的以便其二阶偏导数
$ f_{uu} \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}, \quad f_{uv} \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}, \quad f_{vv} \frac{\partial^2 f}{\partial v^2} $
是良好定义的。将这些导数与曲面法向量进行点积然后得到称为第二基本形式的对称2×2矩阵
$ II_f \begin{pmatrix} f_{uu} \cdot n_f f_{uv} \cdot n_f \ f_{uv} \cdot n_f f_{vv} \cdot n_f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L M \ M N \end{pmatrix} $
其中
( f_{uu} )、( f_{uv} )、( f_{vv} ) 是参数化函数的二阶偏导数。( n_f ) 是曲面的法向量。( L )、( M )、( N ) 是矩阵的元素表示二阶基本形式的系数。
这个矩阵用于描述曲面的局部弯曲性质是微分几何中的一个重要工具。
如何计算曲面的曲率并引入了第二基本形式的概念
立体投影参数化文中提到使用立体投影参数化计算曲面面积会得到相同的结果。曲率计算的前提为了计算曲率参数化必须是二阶可微的这样才能定义二阶偏导数。二阶偏导数包括 ( f_{uu} )、( f_{uv} ) 和 ( f_{vv} )分别表示参数化函数关于 ( u ) 和 ( v ) 的二阶偏导数。第二基本形式通过将二阶偏导数与曲面法向量的点积得到一个对称的2×2矩阵称为第二基本形式。矩阵元素通常用 ( L )、( M )、( N ) 表示。
第二基本形式在微分几何中用于描述曲面的曲率性质。它与第一基本形式一起提供了关于曲面几何形状的完整信息。这些概念在计算机图形学、物理学和工程学中有广泛应用特别是在曲面建模和分析中。
高斯曲率和平均曲率分别定义为矩阵 $ I^{-1}II_f $的行列式和迹的一半高斯曲率 ( K ) 和平均曲率 ( H ) 的表达式为
$ K \det(I^{-1}I!I_f) \frac{\det I!I_f}{\det I_f} \frac{LN - M^2}{EG - F^2} $
$ H \frac{1}{2} \text{trace}(I^{-1}I!I_f) \frac{1}{2} \frac{LG - 2MF NE}{EG - F^2} $
例如通过进行这些计算可以发现对于上述大多数曲面其曲率是常数
简单线性函数( K 0 )、( H 0 )圆柱面( K 0 )、( $ H \frac{1}{2} $ )半球面( K 1 )、( H -1 )
作为练习证明抛物面在任一点 ( p (x, y, z) ) 的曲率为
$ K§ \frac{1}{4(1z)^2} $
$ H§ \frac{2z}{4(1z)^{3/2}} $
通过第一基本形式和第二基本形式的矩阵运算来定义曲面的高斯曲率和平均曲率并给出了具体的例子说明不同曲面上的曲率值。最后提出了一个练习要求读者证明抛物面上任一点的曲率公式。
2.3 度量失真 除了这些内在的曲面性质之外还有其他性质依赖于参数化最重要的是度量失真。例如考虑上面半球的两种参数化。在这两种情况下右侧的曲面图像上都叠加了一个规则的网格这实际上是左侧参数域中的相应网格的图像。你会注意到对于立体投影来说曲面网格看起来比正射投影更规则而后者在边界附近沿径向明显地拉伸网格。
为了更好地理解这种拉伸我们来看看当我们在参数域中稍微偏离点 (u, v) 时曲面点 f(u, v) 会发生什么。如果我们用 (Δu, Δv) 表示这个无穷小的参数位移那么新的曲面点 f(uΔu, vΔv) 可由 f 在 (u, v) 处的一阶泰勒展开近似表示
$ \tilde{f}(u \Delta u, v \Delta v) f(u, v) f_u(u, v)\Delta u f_v(u, v)\Delta v. $
这个线性函数将 u (u, v) 附近的所有点映射到切平面 T_p 上其中 p f(u, v) ∈ S并将围绕 u 的圆变换为围绕 p 的椭圆见图 2.1。如果我们更紧凑地写出泰勒展开式这一性质变得显而易见
$ \tilde{f}(u\Delta u, v\Delta v) p J_f(u) \begin{pmatrix} \Delta u \ \Delta v \end{pmatrix}, $
其中 J_f (f_u f_v) 是 f 的雅可比矩阵即一个以 f 的偏导数为列向量的 3 × 2 矩阵。然后利用雅可比矩阵的奇异值分解
$ J_f U\Sigma V^T U \begin{pmatrix} \sigma_1 0 \ 0 \sigma_2\ 0 0 \end{pmatrix} V^T, $
这里介绍了如何通过分析参数化曲面的雅可比矩阵来理解度量失真。这个过程展示了当在参数域中进行微小位移时曲面点如何被映射到其相应的切平面上以及这种映射如何扭曲空间结构例如将圆转换为椭圆。奇异值分解在理解这种变化的尺度和方向上起着关键作用。 对于奇异值 σ1 ≥ σ2 0 和正交矩阵 U ∈ R3×3 和 V ∈ R2×2其列向量分别为 U1, U2, U3 和 V1, V2我们可以将线性变换 f̃ 分解为如图2.2所示的步骤
变换 V^T 首先围绕 u 旋转所有点使得向量 V1 和 V2 分别与 u 轴和 v 轴对齐。变换 Σ 然后在 u 方向上以因子 σ1 拉伸在 v 方向上以因子 σ2 拉伸。最后变换 U 将单位向量 (1, 0) 和 (0, 1) 映射到切平面 T_p 上的向量 U1 和 U2。
这种将圆变为椭圆的变换被称为参数化的局部度量畸变它展示了 f 在参数域中某点 u ∈ Ω 附近以及相应的曲面点 p f(u) ∈ S 附近的局部行为。此外关于这种局部度量畸变的所有信息都包含在奇异值 σ1 和 σ2 中。例如
如果两个奇异值相等那么 J_f 就只是一个旋转加均匀缩放f 在 u 附近不会扭曲角度。如果奇异值的乘积为1那么参数域中任何圆的面积与切平面中相应椭圆的面积相同我们称 f 为局部保面积的。
直接计算奇异值比较复杂因此我们可以利用一个事实任何矩阵 A 的奇异值是矩阵 A^T A 的特征值的平方根。在我们的例子中矩阵 $ J_f^T J_f $就是我们熟悉的第一基本形式。
$ J_f^T J_f I_f \begin{pmatrix} f_u^T f_u f_u^T f_v \ f_v^T f_u f_v^T f_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E F \ F G \end{pmatrix} $
因此任何以 u 为中心、半径为 r 的圆将被映射为以 p 为中心、半轴长度为 rσ1 和 rσ2 的椭圆正交标架 [V1, V2] 被映射为正交标架 [σ1U1, σ2U2]。
我们可以使用一个巧妙的小公式轻松计算这个对称矩阵的两个特征值 λ1 和 λ2
λ1,2 1/2 (E G) ± √(4F² (E - G)²)
现在我们总结一下参数化在局部可能具有的主要性质
f 是等距的或保长的 ⇐⇒ σ1 σ2 1 ⇐⇒ λ1 λ2 1f 是共形的或保角的 ⇐⇒ σ1 σ2 ⇐⇒ λ1 λ2f 是等面积的或保面积的 ⇐⇒ σ1σ2 1 ⇐⇒ λ1λ2 1
显然任何等距映射都是共形的和等面积的而每个既是共形又是等面积的映射也是等距的。简而言之
等距 ⇐⇒ 共形 等面积
有了这些知识让我们回到之前的例子检查它们的性质 简单线性函数 参数化$ f(u, v) (u, 1 - u, v) $雅可比矩阵$ J_f \begin{pmatrix} 1 0 \\ -1 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} $第一基本形式$ I_f \begin{pmatrix} 2 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} $特征值$ \lambda_1 2, \quad \lambda_2 1 $这个参数化既不是共形的也不是等面积的。 圆柱 参数化$ f(u, v) (\cos u, \sin u, v) $雅可比矩阵$ J_f \begin{pmatrix} -\sin u 0 \\ \cos u 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} $第一基本形式$ I_f \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \end{pmatrix} $特征值$ \lambda_1 1, \quad \lambda_2 1 $这个参数化是等距的。抛物面 参数化$ f(u,v) (2u, 2v, u^2 v^2) $雅可比矩阵$ J_f \begin{pmatrix} 2 0 \\ 0 2 \\ 2u 2v \end{pmatrix} $第一基本形式$ I_f \begin{pmatrix} 4 4u^2 4uv \\ 4uv 4 4v^2 \end{pmatrix} $特征值$ \lambda_1 4, \quad \lambda_2 4(1 u^2 v^2) $这个映射不是等面积的仅在 $ (u,v) (0,0) $处是共形的。 半球正射投影 参数化$ f(u,v) (u, v, \frac{1}{d}) \quad \text{其中} \quad d \frac{1}{\sqrt{1 - u^2 - v^2}} $雅可比矩阵$ J_f \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \\ -ud -vd \end{pmatrix} $第一基本形式$ I_f \begin{pmatrix} 1 u^2 d^2 uvd^2 \\ uvd^2 1 v^2 d^2 \end{pmatrix} $特征值$ \lambda_1 1, \quad \lambda_2 d^2 $这个映射在 $ (u,v) (0,0) $ 处是等距的但在其他地方既不是共形的也不是等面积的。 5. 半球立体投影 参数化$ f(u,v) (2ud, 2vd, (1 - u^2 - v^2)d) $$ 其中 $$ d \frac{1}{1u^2v^2} $雅可比矩阵$ J_f \begin{pmatrix} 2d-4u^2d^2 -4uvd^2 \\ -4uvd^2 2d-4v^2d^2 \\ -4ud^2 -4vd^2 \end{pmatrix} $第一基本形式$ I_f \begin{pmatrix} 4d^2 0 \\ 0 4d^2 \end{pmatrix} $特征值$ \lambda_1 4d^2, \quad \lambda_2 4d^2 $这个映射始终是共形的但仅在 $ \Omega 的边界即 的边界即 的边界即 u^2 v^2 1 $处是等面积的因此也是等距的。
事实证明唯一在各处都是等距的、因此不引入任何扭曲的最优参数化是圆柱的参数化。实际上高斯在1827年证明全局等距参数化仅存在于可展曲面如平面、圆锥和圆柱这些曲面在所有表面点$ p \in S $处的高斯曲率 K§ 0。作为练习你可以尝试为第一个例子中的平面曲面片找到这样的全局等距参数化。
其他有趣的参数化包括那些全局共形的参数化如半球的立体投影。黎曼在1851年证明对于任何拓扑上等价于圆盘的曲面和任何单连通的参数域这样的参数化是存在的。
更一般地曲面 S在参数域$ \Omega $上的“最佳”参数化 f 是这样找到的。我们首先需要一个双变量的非负函数 $ E : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^{} 它用奇异值 它用奇异值 它用奇异值 \sigma_1 和 和 和 \sigma_2 $来衡量参数化的局部扭曲。通常这个函数在 (1,1) 处有全局最小值以偏好等距性但根据应用的不同它也可以被定义为在整条线 (x,x) 上取得最小值其中 $ x \in \mathbb{R}^ $例如如果需要优先共形映射。特定参数化 f的整体扭曲通过在整个域上简单地平均局部扭曲来衡量
$ E(f) \int_{\Omega} E(\sigma_1(u,v), \sigma_2(u,v)) , du , dv / A(\Omega), $
然后通过在所有可接受的参数化空间中最小化 E ( f ) E(f) E(f) 来找到相对于E的最佳参数化。
小结 本文探讨了曲面的参数化特别是全局和局部参数化的性质。首先介绍了雅可比矩阵、特征值和等距性在参数化中的作用并提供了计算特征值的方法。其次文章着重讨论了等距、共形和等面积的参数化性质及其条件指出任何等距映射都同时具有共形和等面积的属性。最后通过对各参数化性质的分析提供了对曲面映射局部行为的更深理解。
关键点 雅可比矩阵在曲面参数化中起基本作用有助于衡量参数化的局部扭曲。 高斯证明仅可展曲面如平面、圆锥和圆柱能做到全局等距参数化高斯曲率为零。 黎曼证明拓扑上等价于圆盘的曲面存在全局共形参数化。 特定参数化的整体扭曲可通过平均局部扭曲进行衡量。 可通过对称矩阵特征值计算公式获得两个特征值 λ1 和 λ2。 等距性、共形性和等面积性是曲面映射的主要局部性质。 等距映射同时也是共形和等面积的三者之间存在数学关系。
参数化的局部性质
特征值计算公式 对于对称矩阵我们可以使用以下简洁的公式计算两个特征值 λ1 和 λ2
λ1,2 1/2 (E G) ± √(4F² (E - G)²)
参数化的主要局部性质 1. **等距保长** - 条件σ1 σ2 1 - 等价于λ1 λ2 1 2. **共形保角** - 条件σ1 σ2 - 等价于λ1 λ2 3. **等面积保面积** - 条件σ1σ2 1 - 等价于λ1λ2 1
性质之间的关系 任何等距映射都是共形的和等面积的 任何既是共形又是等面积的映射也是等距的
简而言之等距 ⇐⇒ 共形 等面积
这些性质为我们提供了分析和设计参数化的强大工具使我们能够更好地理解和控制曲面映射的局部行为。 文章转载自： http://www.morning.zrpbf.cn.gov.cn.zrpbf.cn http://www.morning.nhdmh.cn.gov.cn.nhdmh.cn http://www.morning.mkhwx.cn.gov.cn.mkhwx.cn http://www.morning.tfzjl.cn.gov.cn.tfzjl.cn http://www.morning.yrgb.cn.gov.cn.yrgb.cn http://www.morning.hylbz.cn.gov.cn.hylbz.cn http://www.morning.yysqz.cn.gov.cn.yysqz.cn http://www.morning.ldwxj.cn.gov.cn.ldwxj.cn http://www.morning.fhcwm.cn.gov.cn.fhcwm.cn http://www.morning.lylkh.cn.gov.cn.lylkh.cn http://www.morning.pkwwq.cn.gov.cn.pkwwq.cn http://www.morning.btns.cn.gov.cn.btns.cn http://www.morning.mwlxk.cn.gov.cn.mwlxk.cn http://www.morning.mqbsm.cn.gov.cn.mqbsm.cn http://www.morning.wxlzr.cn.gov.cn.wxlzr.cn http://www.morning.thbkc.cn.gov.cn.thbkc.cn http://www.morning.kfldw.cn.gov.cn.kfldw.cn http://www.morning.ryxgk.cn.gov.cn.ryxgk.cn http://www.morning.mlbn.cn.gov.cn.mlbn.cn http://www.morning.xkhxl.cn.gov.cn.xkhxl.cn http://www.morning.nzlsm.cn.gov.cn.nzlsm.cn http://www.morning.rswfj.cn.gov.cn.rswfj.cn http://www.morning.qxgmp.cn.gov.cn.qxgmp.cn http://www.morning.yfrlk.cn.gov.cn.yfrlk.cn http://www.morning.bpmfr.cn.gov.cn.bpmfr.cn http://www.morning.xqmd.cn.gov.cn.xqmd.cn http://www.morning.drspc.cn.gov.cn.drspc.cn http://www.morning.qcwrm.cn.gov.cn.qcwrm.cn http://www.morning.fksxs.cn.gov.cn.fksxs.cn http://www.morning.jfsbs.cn.gov.cn.jfsbs.cn http://www.morning.ybmp.cn.gov.cn.ybmp.cn http://www.morning.yzfrh.cn.gov.cn.yzfrh.cn http://www.morning.ychrn.cn.gov.cn.ychrn.cn http://www.morning.pmmrb.cn.gov.cn.pmmrb.cn http://www.morning.mbmtn.cn.gov.cn.mbmtn.cn http://www.morning.krklj.cn.gov.cn.krklj.cn http://www.morning.kwksj.cn.gov.cn.kwksj.cn http://www.morning.gjsjt.cn.gov.cn.gjsjt.cn http://www.morning.qrcxh.cn.gov.cn.qrcxh.cn http://www.morning.lstmg.cn.gov.cn.lstmg.cn http://www.morning.sbdqy.cn.gov.cn.sbdqy.cn http://www.morning.rnzgf.cn.gov.cn.rnzgf.cn http://www.morning.trqzk.cn.gov.cn.trqzk.cn http://www.morning.zmbzl.cn.gov.cn.zmbzl.cn http://www.morning.gmgyt.cn.gov.cn.gmgyt.cn http://www.morning.sphft.cn.gov.cn.sphft.cn http://www.morning.jtdrz.cn.gov.cn.jtdrz.cn http://www.morning.czqqy.cn.gov.cn.czqqy.cn http://www.morning.lfpdc.cn.gov.cn.lfpdc.cn http://www.morning.zcrjq.cn.gov.cn.zcrjq.cn http://www.morning.qytyt.cn.gov.cn.qytyt.cn http://www.morning.bangaw.cn.gov.cn.bangaw.cn http://www.morning.xrqkm.cn.gov.cn.xrqkm.cn http://www.morning.fldsb.cn.gov.cn.fldsb.cn http://www.morning.fppzc.cn.gov.cn.fppzc.cn http://www.morning.jgcrr.cn.gov.cn.jgcrr.cn http://www.morning.rbkdg.cn.gov.cn.rbkdg.cn http://www.morning.gynkr.cn.gov.cn.gynkr.cn http://www.morning.cffwm.cn.gov.cn.cffwm.cn http://www.morning.mglqf.cn.gov.cn.mglqf.cn http://www.morning.nzklw.cn.gov.cn.nzklw.cn http://www.morning.blfll.cn.gov.cn.blfll.cn http://www.morning.hdscx.cn.gov.cn.hdscx.cn http://www.morning.mtsgx.cn.gov.cn.mtsgx.cn http://www.morning.lxcwh.cn.gov.cn.lxcwh.cn http://www.morning.qnpyz.cn.gov.cn.qnpyz.cn http://www.morning.dywgl.cn.gov.cn.dywgl.cn http://www.morning.bxbkq.cn.gov.cn.bxbkq.cn http://www.morning.xrrbj.cn.gov.cn.xrrbj.cn http://www.morning.qshxh.cn.gov.cn.qshxh.cn http://www.morning.yfnjk.cn.gov.cn.yfnjk.cn http://www.morning.pwgzh.cn.gov.cn.pwgzh.cn http://www.morning.xqltq.cn.gov.cn.xqltq.cn http://www.morning.lnbyk.cn.gov.cn.lnbyk.cn http://www.morning.qtkdn.cn.gov.cn.qtkdn.cn http://www.morning.yrddl.cn.gov.cn.yrddl.cn http://www.morning.ljhnn.cn.gov.cn.ljhnn.cn http://www.morning.tfbpz.cn.gov.cn.tfbpz.cn http://www.morning.qswws.cn.gov.cn.qswws.cn http://www.morning.bfkrf.cn.gov.cn.bfkrf.cn
