一步一步教你做网站后台视频,辽宁建设科技信息网网站,房山成都网站建设,网站如何取消验证码文章目录 SVM求两线段上距离最近的两个点问题描述#xff1a;距离函数#xff1a;解法#xff1a;具体步骤#xff1a;特别注意#xff1a;示例代码 SVM思想的介入1. **SVM 的基本思想**超平面#xff1a; 2. **分类间隔#xff08;Margin#xff09;**1. **分类间隔的… 文章目录 SVM求两线段上距离最近的两个点问题描述距离函数解法具体步骤特别注意示例代码 SVM思想的介入1. **SVM 的基本思想**超平面 2. **分类间隔Margin**1. **分类间隔的定义**2. **几何间隔与函数间隔**3. **最大化分类间隔**4. **支持向量与分类间隔**5. **最大化间隔的意义** 3. **硬间隔与软间隔**4. **对偶问题与核技巧**核函数 5. **支持向量**1. **支持向量的定义**2. **支持向量的性质**3. **支持向量的作用**4. **支持向量的计算**5. **支持向量的重要性**总结6. **优化目标与拉格朗日乘子法**1. **SVM 的原始优化问题**2. **拉格朗日乘子法**3. **求解原始问题的对偶问题**计算最优 w w w 和 b b b 4. **对偶问题**5. **支持向量的定义**6. **核函数与对偶问题的扩展**7. **最终分类器**总结 7. **SVM 的扩展**1. **核方法Kernel Methods**核函数的作用常见的核函数2. **软间隔 SVMSoft Margin SVM**软间隔 SVM 的优化问题 3. **多分类 SVM**一对多One-vs-All, OvA一对一One-vs-One, OvO直接多分类 SVM 4. **支持向量回归Support Vector Regression, SVR**SVR 的目标函数 5. **在线 SVMOnline SVM**在线学习的特点 6. **结构化 SVMStructured SVM**应用场景 7. **概率 SVM**8. **增强型 SVM** 8. **SVM 的优势与局限**总结 在Julia中SVM实现 参考文献 SVM
求两线段上距离最近的两个点
在支持向量机SVM的框架下求解两条线段之间距离最近的两个点可以视为一个最优化问题。通常这个问题不直接涉及传统的SVM模型用于分类或回归而是与凸优化更为相关。这里我们可以使用几何方法和最优化技术来解决该问题。以下是求解思路
问题描述
给定两条线段
第一条线段上的点为 P 1 ( t ) ( 1 − t ) A 1 t B 1 P_1(t) (1 - t) A_1 t B_1 P1(t)(1−t)A1tB1, 其中 A 1 A_1 A1 和 B 1 B_1 B1是线段的两个端点 t ∈ [ 0 , 1 ] t \in [0, 1] t∈[0,1]。第二条线段上的点为 P 2 ( s ) ( 1 − s ) A 2 s B 2 P_2(s) (1 - s) A_2 s B_2 P2(s)(1−s)A2sB2, 其中 A 2 A_2 A2和 B 2 B_2 B2 是线段的两个端点 s ∈ [ 0 , 1 ] s \in [0, 1] s∈[0,1]。
我们需要找到 P 1 ( t ) P_1(t) P1(t) 和 P 2 ( s ) P_2(s) P2(s)之间的最小距离即最小化两个点之间的欧氏距离。
距离函数
两个点之间的距离函数可以写为 d ( t , s ) ∥ P 1 ( t ) − P 2 ( s ) ∥ ∥ ( 1 − t ) A 1 t B 1 − ( ( 1 − s ) A 2 s B 2 ) ∥ d(t, s) \| P_1(t) - P_2(s) \| \left\| (1 - t) A_1 t B_1 - \left( (1 - s) A_2 s B_2 \right) \right\| d(t,s)∥P1(t)−P2(s)∥∥(1−t)A1tB1−((1−s)A2sB2)∥ 我们希望最小化 ( d(t, s) )即 min t , s ∈ [ 0 , 1 ] d ( t , s ) \min_{t, s \in [0, 1]} d(t, s) t,s∈[0,1]mind(t,s)
解法
该问题本质上是一个二元函数的约束最优化问题。可以通过以下步骤求解 构造目标函数 展开距离平方 ( d(t, s)^2 )这样我们避免求平方根简化最小化问题 f ( t , s ) ( ( 1 − t ) A 1 t B 1 − ( 1 − s ) A 2 − s B 2 ) 2 f(t, s) \left( (1 - t) A_1 t B_1 - (1 - s) A_2 - s B_2 \right)^2 f(t,s)((1−t)A1tB1−(1−s)A2−sB2)2 优化求解 为了求解最小值可以对 t t t和 s s s 分别求偏导数 ∂ f ∂ t 0 , ∂ f ∂ s 0 \frac{\partial f}{\partial t} 0, \quad \frac{\partial f}{\partial s} 0 ∂t∂f0,∂s∂f0 这些方程可能是非线性的可以通过数值优化算法如梯度下降法、牛顿法等来求解。同时我们需要保证 ( t ) 和 ( s ) 在区间 ( [0, 1] ) 之内必要时可以使用投影来处理约束。 检查边界条件 除了对内部点进行优化还需要检查线段的端点即 t 0 t 0 t0或 t 1 t 1 t1以及 s 0 s 0 s0或 ( s 1 ) 的情况。比较这些端点条件下的距离以确保找到全局最小值。
具体步骤
确定 A 1 A_1 A1、 B 1 B_1 B1、 A 2 A_2 A2 和 B 2 B_2 B2 的坐标。根据上述公式计算目标函数 f ( t , s ) f(t, s) f(t,s)。使用数值方法如梯度下降或其他优化工具求解最优 t t t 和 s s s。比较端点与内部的结果找到最小距离。
特别注意
这类问题通常不是直接通过SVM求解而是通过凸优化或几何算法来处理。然而类似的支持向量思想可以应用于“寻找两组数据之间的最小距离”问题中。如果你希望利用SVM框架去解决两类数据之间的“最近点”问题可以通过最小化分类间隔margin来实现。
示例代码 要求两线段距离最近的两个点我们可以使用之前提到的向量和参数方程方法然后利用微积分中的优化技术如求导并令导数为零来找到最小距离。 不过对于具体的实现我们可以选择一种更直观且易于编码的方法遍历其中一条线段的点并在另一条线段上找到与其距离最近的点然后记录并更新最小距离和对应的点。虽然这种方法可能不是最高效的因为它的时间复杂度接近O(n)其中n是遍历的细粒度但它易于理解和实现。 为了更高效地解决这个问题我们可以使用一种基于几何的算法该算法通过计算两线段之间的最短向量该向量垂直于其中一条线段或同时垂直于两条线段的公垂线如果存在的话来找到最近点。这种方法通常涉及解一个二次方程或利用向量的投影和拒绝性质。
下面是一个在Julia中实现这种高效算法的例子
using LinearAlgebrafunction closest_points_on_segments(A, B, C, D)# Convert points to vectorsu B - Av D - Cw A - C# Compute dot productsa dot(u, u)b dot(u, v)c dot(v, v)d dot(u, w)e dot(v, w)# Compute the parameter of the closest point on segment AB (t) and CD (s)DENOM a * c - b * bif DENOM 0 # Segments are parallelif e 0 # Segments are collinear# In this case, any point on one segment is the closest to any point on the other# We choose the endpoints of segment AB and the corresponding point on CDt 0.0if dot(w, v) 0s 0.0elseif dot(w u, v) 0s 1.0elses -d / b # or s e / c, since b 0 when segments are parallelendelse # Segments are not collinear but parallel# The closest points are the endpoints of the segments that are closest to each other# We can project one segment onto the other and find the closest points# Here we assume that the segments do not overlap, so we only need to check endpointst0 -d / at1 (e - b) / cif t0 0t 0.0s e / celseif t0 1t 1.0s (e - b) / celset t0s 0.0end# If t1 is within [0, 1], use it instead of s computed aboveif 0 t1 1s t1# Recompute t based on s if necessary (usually not needed if we only care about one of the segments)# t (d b * s) / a # This is not needed since we already have t from aboveendendelse # Segments are not parallels (b * e - c * d) / DENOMt (a * e - b * d) / DENOM# Clamp s and t to be within [0, 1] since they represent parameters on the segmentss clamp(s, 0.0, 1.0)t clamp(t, 0.0, 1.0)end# Compute the closest pointsP A t * uQ C s * vreturn P, Q
end# Example usage
A [1.0, 2.0, 3.0]
B [4.0, 5.0, 6.0]
C [7.0, 8.0, 0.0]
D [10.0, 11.0, -1.0]P, Q closest_points_on_segments(A, B, C, D)
println(Closest point on AB: $P)
println(Closest point on CD: $Q)注意
这个实现考虑了线段平行和共线的情况。当线段平行但不共线时它会找到与另一条线段距离最近的端点。当线段共线时它会找到重叠部分如果存在内的任意一点或最接近的端点。clamp 函数用于确保参数 s 和 t 在 [0, 1] 范围内这样计算出的点就一定在线段上。这个算法的时间复杂度是 O(1)因为它只涉及基本的数学运算和条件检查。
SVM思想的介入
支持向量机SVMSupport Vector Machine是一种用于分类、回归和异常检测的监督学习模型。SVM 的理论基础源自统计学习理论主要用于解决二分类问题但它也可以扩展到多分类任务和回归问题。
在Julia中实现支持向量机SVM通常可以利用现有的机器学习库如LIBSVM、scikit-learn的Julia接口通过scikit-learn-kit或者使用Julia自身的机器学习库如MLJ。不过如果你想要从头开始实现SVM以更好地理解其工作原理你可以使用Julia的基础数学和优化功能。
这里我将提供一个简单的SVM实现的框架用于求解两线段之间距离最近的两个点。不过请注意标准的SVM是用于分类任务的而我们这里的问题更类似于一个几何问题。为了使用SVM的思想我们可以将其转化为一个优化问题即寻找一个超平面在这里是一条直线使得这条直线能够最大化两线段上点到它的距离的最小值即边际。
然而对于两线段之间距离最近的两个点的问题更直接的方法是使用几何算法而不是SVM。不过为了展示如何在Julia中实现SVM的基本思想我将提供一个简化的SVM风格的优化问题。
首先我们需要定义线段的端点并创建一个函数来计算点到直线的距离。然后我们可以设置一个优化问题使用Julia的优化库如Optim来求解。
以下是一个简化的Julia代码示例用于求解两线段上距离最近的两个点但请注意这不是标准的SVM实现
using Optim# 定义线段的端点
A [1.0, 2.0]
B [4.0, 6.0]
C [3.0, 1.0]
D [6.0, 3.0]# 计算点到直线的距离
function point_to_line_distance(p, l1, l2)# l1, l2 是直线上的两点p 是要计算距离的点normal_vector [l2[2] - l1[2], -(l2[1] - l1[1])] # 直线的法向量numerator dot(normal_vector, [p[1] - l1[1], p[2] - l1[2]])denominator norm(normal_vector)return abs(numerator / denominator)
end# 定义一个函数用于优化
function objective_function(params)# params 包含两个点 P 和 Q 的坐标分别在线段 AB 和 CD 上P [params[1], A[2] (B[2] - A[2]) * params[1]] # P 点在 AB 上由参数 params[1] 确定Q [params[2], C[2] (D[2] - C[2]) * params[2]] # Q 点在 CD 上由参数 params[2] 确定# 计算 P 和 Q 之间的距离return norm(P - Q)
end# 设置优化问题的初始猜测和边界
initial_guess [0.5, 0.5] # 假设 P 和 Q 分别在 AB 和 CD 的中点
lower_bounds [0.0, 0.0] # 参数的下界
upper_bounds [1.0, 1.0] # 参数的上界# 使用 Optim 库进行优化
options Optim.options(iterations 1000, g_tol 1e-6)
result Optim.optimize(objective_function, lower_bounds, upper_bounds, initial_guess, Fminbox(LBFGSBox()), options)# 输出结果
optimized_params Optim.minimizer(result)
P [optimized_params[1], A[2] (B[2] - A[2]) * optimized_params[1]]
Q [optimized_params[2], C[2] (D[2] - C[2]) * optimized_params[2]]
println(Closest point on AB: $P)
println(Closest point on CD: $Q)
println(Minimum distance: $(norm(P - Q)))注意
上面的代码示例并不是一个真正的SVM实现而是一个简化的优化问题用于找到两线段上距离最近的两个点。我使用了Optim库来进行优化但你需要确保已经安装了这个库使用Pkg.add(Optim)。代码中的objective_function函数计算了由params参数确定的两个点P和Q之间的距离。这里假设了线段是线性的并且点P和Q分别由线段AB和CD上的参数即它们在各自线段上的位置比例来确定。这个优化问题假设了线段的端点是已知的并且线段是直线。对于更复杂的情况比如曲线或者未知端点需要不同的方法来处理。
以下是 SVM 的核心理论与原理
1. SVM 的基本思想
SVM 的主要目的是在特征空间中找到一个超平面将不同类别的数据尽可能分开并使得分类间隔margin最大化。换句话说SVM 寻找一个分隔两类数据的最佳超平面使得离超平面最近的样本点支持向量到超平面的距离最大化。
超平面
对于二维空间超平面就是一条线对于三维空间超平面就是一个平面在更高维空间中超平面就是一个更高维的分隔空间。它的数学形式是 w T x b 0 w^T x b 0 wTxb0 其中 w w w是法向量决定了超平面的方向 b b b是偏置项决定了超平面与原点的距离。
2. 分类间隔Margin
在支持向量机SVM中分类间隔Margin 是一个非常重要的概念。它是指分离超平面到离它最近的正类和负类样本点之间的距离。SVM 的目标就是要找到能够最大化这个间隔的分离超平面因为更大的分类间隔通常意味着模型的泛化能力更强。
1. 分类间隔的定义
设 w w w是超平面的法向量 b b b 是偏置项超平面的方程为 w T x b 0 w^T x b 0 wTxb0 对于任意的样本点 $x_i $它到超平面的距离 d d d可以通过以下公式计算 d ∣ w T x i b ∣ ∥ w ∥ d \frac{|w^T x_i b|}{\|w\|} d∥w∥∣wTxib∣ 其中 w T x i b w^T x_i b wTxib是点 x i x_i xi到超平面的代数距离 ∥ w ∥ \|w\| ∥w∥是法向量 w w w的欧氏范数。
2. 几何间隔与函数间隔 几何间隔Geometric Margin几何间隔是超平面到最近点的距离。在 SVM 中我们希望最大化分类间隔以增强模型的泛化能力。 函数间隔Functional Margin对于每个样本 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)函数间隔定义为 γ i y i ( w T x i b ) \gamma_i y_i (w^T x_i b) γiyi(wTxib) 其中 y i y_i yi是样本的标签1 或 -1。函数间隔表示样本点在超平面一侧的代数距离。SVM 的目标是最大化函数间隔同时满足所有样本点正确分类的约束。
3. 最大化分类间隔
SVM 的核心思想是最大化最小的几何间隔即找到一个能够使得两类样本尽可能分开的超平面。具体来说分类间隔是指正类和负类支持向量到分离超平面的距离之和。
假设数据是线性可分的SVM 的优化目标为 min w , b 1 2 ∥ w ∥ 2 \min_{w, b} \frac{1}{2} \|w\|^2 w,bmin21∥w∥2 其中 ∥ w ∥ 2 \|w\|^2 ∥w∥2是正则化项约束条件是每个样本都要被正确分类即 y i ( w T x i b ) ≥ 1 ∀ i y_i (w^T x_i b) \geq 1 \quad \forall i yi(wTxib)≥1∀i 这是一个凸优化问题可以通过拉格朗日对偶问题来求解。
4. 支持向量与分类间隔
支持向量是那些位于间隔边界上的样本点这些点到超平面的距离等于分类间隔。因此支持向量对最终的超平面起到了决定性的作用而非支持向量的样本点不会影响超平面的构建。
对于硬间隔 SVM分类间隔可以通过这些支持向量的距离来定义并且这些支持向量满足 y i ( w T x i b ) 1 y_i (w^T x_i b) 1 yi(wTxib)1
在软间隔 SVM 中引入了松弛变量 ( \xi_i )允许部分样本点出现在错误的一侧以实现更好的泛化效果。软间隔的优化目标是平衡分类间隔的大小与分类错误的数量 min w , b , ξ 1 2 ∥ w ∥ 2 C ∑ i 1 n ξ i \min_{w, b, \xi} \frac{1}{2} \|w\|^2 C \sum_{i1}^n \xi_i w,b,ξmin21∥w∥2Ci1∑nξi 其中 C C C是惩罚参数控制分类间隔与错误分类之间的权衡。
5. 最大化间隔的意义
最大化分类间隔的意义在于它能提高模型的鲁棒性和泛化能力。较大的间隔意味着分类器对噪声和数据分布的变化不太敏感从而降低了过拟合的风险。
3. 硬间隔与软间隔 硬间隔 SVM假设数据是线性可分的SVM 通过严格最大化分类间隔来构造一个完美的分离超平面。在这种情况下不允许任何数据点落在错误的一侧或超平面上。 软间隔 SVM当数据不可线性分时引入松弛变量 ( \xi_i )允许一些点可以出现在分类间隔或者错误分类的情况下。目标是在最大化分类间隔的同时最小化分类错误。软间隔问题的目标函数为 min w , b , ξ 1 2 ∥ w ∥ 2 C ∑ i 1 n ξ i \min_{w, b, \xi} \frac{1}{2} \|w\|^2 C \sum_{i1}^n \xi_i w,b,ξmin21∥w∥2Ci1∑nξi 其中 C C C 是正则化参数用于权衡分类间隔的大小和分类错误的惩罚。
4. 对偶问题与核技巧
SVM 的原始问题可以通过拉格朗日对偶性转换为一个对偶问题从而避免直接处理高维空间中的数据。对偶问题的优化目标是通过拉格朗日乘子 ( \alpha ) 来定义的 max α ∑ i 1 n α i − 1 2 ∑ i 1 n ∑ j 1 n α i α j y i y j K ( x i , x j ) \max_{\alpha} \sum_{i1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i1}^n \sum_{j1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j) αmaxi1∑nαi−21i1∑nj1∑nαiαjyiyjK(xi,xj) 其中 K ( x i , x j ) K(x_i, x_j) K(xi,xj) 是核函数用于计算数据点在高维空间中的内积。
核函数
当数据在原始空间中不可分时可以通过核函数将数据映射到一个高维空间使得数据在该空间中线性可分。常用的核函数包括
线性核 K ( x , x ′ ) x T x ′ K(x, x) x^T x K(x,x′)xTx′多项式核 K ( x , x ′ ) ( x T x ′ c ) d K(x, x) (x^T x c)^d K(x,x′)(xTx′c)d高斯核RBF 核 K ( x , x ′ ) exp ( − ∥ x − x ′ ∥ 2 2 σ 2 ) K(x, x) \exp(-\frac{\|x - x\|^2}{2\sigma^2}) K(x,x′)exp(−2σ2∥x−x′∥2)Sigmoid 核 K ( x , x ′ ) tanh ( κ x T x ′ θ ) K(x, x) \tanh(\kappa x^T x \theta) K(x,x′)tanh(κxTx′θ)
5. 支持向量
SVM 模型的决策只依赖于那些位于分类间隔边界上的数据点这些点称为支持向量。支持向量是那些最接近分离超平面的点它们决定了最终的超平面的位置。如果移除这些点超平面的位置将会改变。
在支持向量机SVM中支持向量Support Vectors 是位于分类间隔边界上的数据点它们在确定超平面的过程中起到了至关重要的作用。支持向量与超平面的距离等于分类间隔并且它们是使得分类间隔最大化的关键。
1. 支持向量的定义
支持向量是那些位于分类间隔边界上的样本点。SVM 的决策边界超平面是通过这些支持向量来确定的而非支持向量的点对最终的超平面没有影响。设定决策边界的目标是让正负类样本的分类间隔最大化因此只有那些紧贴分类间隔的点即支持向量对超平面的位置有贡献。
在二分类问题中SVM 通过找到能将数据正确分类并且最大化分类间隔的超平面来构建模型。数学上超平面的方程是 w T x b 0 w^T x b 0 wTxb0 其中 w w w 是法向量决定超平面的方向 b b b 是偏置决定超平面到原点的距离。
2. 支持向量的性质
距离最近支持向量是距离超平面最近的点位于间隔的边界上。正类支持向量满足 w T x i b 1 w^T x_i b 1 wTxib1负类支持向量满足 w T x i b − 1 w^T x_i b -1 wTxib−1。定义超平面超平面的最终位置完全由这些支持向量决定移除非支持向量的点不会影响超平面的位置。满足约束在优化过程中支持向量是那些对应的拉格朗日乘子 $\alpha_i4 不为零的点。优化问题的拉格朗日乘子形式为 max α ∑ i 1 n α i − 1 2 ∑ i 1 n ∑ j 1 n α i α j y i y j K ( x i , x j ) \max_{\alpha} \sum_{i1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i1}^n \sum_{j1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j) αmaxi1∑nαi−21i1∑nj1∑nαiαjyiyjK(xi,xj) 其中 α i \alpha_i αi 为支持向量的拉格朗日乘子。对于非支持向量 α i 0 \alpha_i 0 αi0而支持向量对应的 α i 0 \alpha_i 0 αi0。
3. 支持向量的作用
支持向量起到了以下几个关键作用 决定分类边界支持向量是超平面两侧最近的点决定了分类边界的位置和方向。超平面和分类间隔的大小由支持向量完全确定。 优化问题中的关键点在 SVM 的凸优化问题中支持向量是那些约束条件处于“活跃”状态的点即满足 y i ( w T x i b ) 1 y_i (w^T x_i b) 1 yi(wTxib)1或 y i ( w T x i b ) − 1 y_i (w^T x_i b) -1 yi(wTxib)−1的点。 泛化性能支持向量的数目直接影响 SVM 的泛化能力。较少的支持向量通常意味着分类器的复杂度较低从而提升模型的泛化能力。
4. 支持向量的计算
支持向量是在优化过程中通过求解二次规划问题找到的。SVM 的目标是最大化分类间隔并找到最优的超平面。通过引入拉格朗日乘子和对偶问题SVM 解决了如下问题 min w , b 1 2 ∥ w ∥ 2 \min_{w, b} \frac{1}{2} \|w\|^2 w,bmin21∥w∥2 约束条件为 y i ( w T x i b ) ≥ 1 ∀ i y_i (w^T x_i b) \geq 1 \quad \forall i yi(wTxib)≥1∀i 优化求解过程中支持向量是那些对应的拉格朗日乘子 ( \alpha_i 0 ) 的点它们决定了超平面的最终位置。
5. 支持向量的重要性
支持向量的存在体现了 SVM 的高效性即使在数据量较大的情况下只有一部分数据点即支持向量对最终模型产生影响。这种特性使得 SVM 在高维数据的分类任务中表现良好。
此外支持向量对于 SVM 的泛化能力至关重要。通过支持向量来确定的超平面在数据分布上具有良好的鲁棒性因此即使面对新的测试样本SVM 通常仍能保持较好的分类性能。
总结
支持向量是 SVM 中的核心概念它们位于分类间隔的边界上决定了超平面的最终位置。支持向量通过最大化分类间隔来确保模型的泛化能力并且它们是 SVM 模型的主要决策依据。
6. 优化目标与拉格朗日乘子法
为了最大化分类间隔SVM 引入了一个凸二次规划QP问题 min w , b 1 2 ∥ w ∥ 2 \min_{w, b} \frac{1}{2} \|w\|^2 w,bmin21∥w∥2 并且满足约束条件 y i ( w T x i b ) ≥ 1 ∀ i y_i (w^T x_i b) \geq 1 \quad \forall i yi(wTxib)≥1∀i 该问题可以通过引入拉格朗日乘子法来求解并通过对偶问题使优化问题简化最终求得最优解。
SVM 的拉格朗日乘子法用于将其优化问题从原始空间转换为对偶问题从而简化求解过程特别是在处理高维或非线性数据时起到了关键作用。
1. SVM 的原始优化问题
SVM 的目标是找到一个分离超平面使得分类间隔最大化并满足正确分类的约束条件。假设我们有一个二分类问题训练数据集为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x n , y n ) (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n) (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)其中 x i ∈ R d x_i \in \mathbb{R}^d xi∈Rd 是样本点 y i ∈ { − 1 , 1 } y_i \in \{-1, 1\} yi∈{−1,1} 是标签。
在 SVM 中最优的超平面 w T x b 0 w^T x b 0 wTxb0 需要满足两个目标
最大化分类间隔即最小化 ∥ w ∥ 2 \|w\|^2 ∥w∥2。满足每个样本点的分类约束条件即 y i ( w T x i b ) ≥ 1 ∀ i y_i (w^T x_i b) \geq 1 \quad \forall i yi(wTxib)≥1∀i
因此SVM 的优化问题可以表示为 min w , b 1 2 ∥ w ∥ 2 \min_{w, b} \frac{1}{2} \|w\|^2 w,bmin21∥w∥2 并且满足约束条件 y i ( w T x i b ) ≥ 1 ∀ i y_i (w^T x_i b) \geq 1 \quad \forall i yi(wTxib)≥1∀i
2. 拉格朗日乘子法
为了将这个约束优化问题转化为无约束的优化问题可以引入拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法通过引入一组非负的拉格朗日乘子 α i \alpha_i αi 来处理不等式约束将约束问题转化为拉格朗日函数。
拉格朗日函数定义为 L ( w , b , α ) 1 2 ∥ w ∥ 2 − ∑ i 1 n α i ( y i ( w T x i b ) − 1 ) L(w, b, \alpha) \frac{1}{2} \|w\|^2 - \sum_{i1}^n \alpha_i \left( y_i (w^T x_i b) - 1 \right) L(w,b,α)21∥w∥2−i1∑nαi(yi(wTxib)−1) 其中 α i ≥ 0 \alpha_i \geq 0 αi≥0 是拉格朗日乘子代表对每个样本点的约束的重要性。
3. 求解原始问题的对偶问题
通过拉格朗日乘子法原始问题的目标是同时最小化 w w w 和 b b b并最大化 α \alpha α 以满足约束条件。我们首先对 L ( w , b , α ) L(w, b, \alpha) L(w,b,α) 对 w w w 和 b b b 进行最小化然后对 α \alpha α 进行最大化。
计算最优 w w w 和 b b b
对 L ( w , b , α ) L(w, b, \alpha) L(w,b,α) 分别对 w w w 和 b b b 求导得到以下结果 对 w w w 求导 ∂ L ∂ w w − ∑ i 1 n α i y i x i 0 \frac{\partial L}{\partial w} w - \sum_{i1}^n \alpha_i y_i x_i 0 ∂w∂Lw−i1∑nαiyixi0 所以 w ∑ i 1 n α i y i x i w \sum_{i1}^n \alpha_i y_i x_i wi1∑nαiyixi 对 b b b 求导 ∂ L ∂ b − ∑ i 1 n α i y i 0 \frac{\partial L}{\partial b} - \sum_{i1}^n \alpha_i y_i 0 ∂b∂L−i1∑nαiyi0 因此 ∑ i 1 n α i y i 0 \sum_{i1}^n \alpha_i y_i 0 i1∑nαiyi0
将 w w w 的表达式代入拉格朗日函数中消去 w w w 和 b b b可以得到对偶问题
4. 对偶问题
SVM 的对偶问题可以表示为 max α ∑ i 1 n α i − 1 2 ∑ i 1 n ∑ j 1 n α i α j y i y j ( x i T x j ) \max_{\alpha} \sum_{i1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i1}^n \sum_{j1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j (x_i^T x_j) αmaxi1∑nαi−21i1∑nj1∑nαiαjyiyj(xiTxj) 其中约束条件为 α i ≥ 0 ∀ i \alpha_i \geq 0 \quad \forall i αi≥0∀i ∑ i 1 n α i y i 0 \sum_{i1}^n \alpha_i y_i 0 i1∑nαiyi0
这是一个凸优化问题可以使用二次规划算法Quadratic Programming, QP来求解。
5. 支持向量的定义
在优化过程中只有 α i 0 \alpha_i 0 αi0 的点称为支持向量支持向量是对最终超平面起作用的点。这意味着那些 α i 0 \alpha_i 0 αi0 的点不会影响分类超平面的构建而支持向量决定了超平面的具体位置和分类边界。
6. 核函数与对偶问题的扩展
SVM 的对偶问题形式化之后核函数可以方便地应用于非线性分类问题。在非线性分类中数据点在原始空间中可能不可分但通过核函数将数据映射到一个高维特征空间数据在高维空间中是线性可分的。
对偶问题中的 x i T x j x_i^T x_j xiTxj 可以用核函数 K ( x i , x j ) K(x_i, x_j) K(xi,xj) 替代这样我们就不需要显式地进行高维映射而是通过核函数直接计算高维空间中样本点之间的内积。
常用的核函数包括
线性核 K ( x i , x j ) x i T x j K(x_i, x_j) x_i^T x_j K(xi,xj)xiTxj多项式核 K ( x i , x j ) ( x i T x j c ) d K(x_i, x_j) (x_i^T x_j c)^d K(xi,xj)(xiTxjc)d高斯核RBF 核 K ( x i , x j ) exp ( − ∥ x i − x j ∥ 2 2 σ 2 ) K(x_i, x_j) \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\right) K(xi,xj)exp(−2σ2∥xi−xj∥2)Sigmoid 核 K ( x i , x j ) tanh ( κ x i T x j θ ) K(x_i, x_j) \tanh(\kappa x_i^T x_j \theta) K(xi,xj)tanh(κxiTxjθ)
7. 最终分类器
通过求解对偶问题得到最优的 α i \alpha_i αi我们可以构建最终的分类决策函数 f ( x ) sign ( ∑ i 1 n α i y i K ( x i , x ) b ) f(x) \text{sign}\left( \sum_{i1}^n \alpha_i y_i K(x_i, x) b \right) f(x)sign(i1∑nαiyiK(xi,x)b) 其中 K ( x i , x ) K(x_i, x) K(xi,x) 是核函数表示在高维空间中样本点之间的关系。
总结
SVM 的拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子将约束优化问题转化为对偶问题从而简化了求解过程。对偶问题能够很好地利用核函数进行非线性映射允许我们在高维空间中处理复杂的分类问题。支持向量是那些对分类决策有关键作用的点最终的分类器依赖于支持向量的拉格朗日乘子 α i \alpha_i αi。
7. SVM 的扩展
SVM 不仅可以解决二分类问题还可以通过不同的扩展方法解决多分类和回归问题。
多分类 SVM可以通过“一对一”或“一对多”的策略扩展到多分类任务。支持向量回归SVRSVM 还可以用于回归任务通过控制预测值与真实值之间的偏差来构建回归模型。 支持向量机SVM最初设计用于线性可分的二分类问题但其强大的理论基础和可扩展性使其能够适应各种更复杂的任务。以下是 SVM 的主要扩展形式涵盖非线性问题、多分类问题、回归问题等。
1. 核方法Kernel Methods
核方法是 SVM 最常见且最重要的扩展之一用于处理非线性问题。原始的 SVM 仅适用于线性可分的数据但通过使用核函数SVM 能够在更高维的特征空间中解决非线性可分的问题。
核函数的作用
核函数 K ( x i , x j ) K(x_i, x_j) K(xi,xj) 通过将数据映射到高维空间隐式映射在这个高维空间中进行线性分类而不需要显式地计算映射后的特征。核技巧的优点在于只需要计算原始空间中数据点的内积就能避免直接处理高维空间中复杂的计算。
常见的核函数
线性核函数适用于线性可分的数据。 K ( x i , x j ) x i T x j K(x_i, x_j) x_i^T x_j K(xi,xj)xiTxj多项式核函数用于某些多项式分布的数据。 K ( x i , x j ) ( x i T x j c ) d K(x_i, x_j) (x_i^T x_j c)^d K(xi,xj)(xiTxjc)d高斯核RBF 核函数常用于处理复杂非线性数据。 K ( x i , x j ) exp ( − ∥ x i − x j ∥ 2 2 σ 2 ) K(x_i, x_j) \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\right) K(xi,xj)exp(−2σ2∥xi−xj∥2)Sigmoid 核函数与神经网络中的激活函数类似。 K ( x i , x j ) tanh ( κ x i T x j θ ) K(x_i, x_j) \tanh(\kappa x_i^T x_j \theta) K(xi,xj)tanh(κxiTxjθ)
2. 软间隔 SVMSoft Margin SVM
现实中的数据往往是线性不可分的存在噪声和异常点。因此软间隔 SVM 允许某些样本点违反分类间隔但通过引入松弛变量 ξ i \xi_i ξi 来控制这些点的数量和程度。
软间隔 SVM 的优化问题 min w , b , ξ 1 2 ∥ w ∥ 2 C ∑ i 1 n ξ i \min_{w, b, \xi} \frac{1}{2} \|w\|^2 C \sum_{i1}^n \xi_i w,b,ξmin21∥w∥2Ci1∑nξi 其中 C C C是正则化参数用来权衡分类间隔的大小与误分类的惩罚松弛变量 ξ i ≥ 0 \xi_i \geq 0 ξi≥0 允许部分数据点位于错误的一侧。 C C C值较大时模型更注重分类正确性较小时则更注重间隔的最大化。
3. 多分类 SVM
SVM 本质上是二分类模型但可以通过策略扩展为多分类器。
一对多One-vs-All, OvA
为每一个类别训练一个二分类器将该类别与其他所有类别进行区分。适用于类别数量较少的情况。
一对一One-vs-One, OvO
为每一对类别训练一个分类器对 k k k 个类别训练 k ( k − 1 ) / 2 k(k-1)/2 k(k−1)/2 个分类器。投票法确定最终分类结果。
直接多分类 SVM
尝试通过一个优化问题同时解决多个分类器的构建。虽然理论上可行但在实践中通常较复杂且较少使用。
4. 支持向量回归Support Vector Regression, SVR
SVM 也可以扩展用于回归任务这就是支持向量回归SVR。SVR 不再试图找到分类超平面而是寻找一个函数使得大多数数据点落入一个允许的误差范围内称为 ϵ \epsilon ϵ-tube。SVR 通过最大化间隔并最小化超出 ( \epsilon )-tube 的点的惩罚来达到最优的回归效果。
SVR 的目标函数 min w , b , ξ , ξ ∗ 1 2 ∥ w ∥ 2 C ∑ i 1 n ( ξ i ξ i ∗ ) \min_{w, b, \xi, \xi^*} \frac{1}{2} \|w\|^2 C \sum_{i1}^n (\xi_i \xi_i^*) w,b,ξ,ξ∗min21∥w∥2Ci1∑n(ξiξi∗) 其中 ξ i \xi_i ξi 和 ξ i ∗ \xi_i^* ξi∗是松弛变量表示预测值偏离 ϵ \epsilon ϵ-tube 的程度。
5. 在线 SVMOnline SVM
传统的 SVM 是批处理模型要求一次处理所有数据然而在一些应用中如流数据、实时系统数据是动态变化的。因此在线 SVM 提出了一种逐步学习模型的方法即每次只用新到的数据对模型进行更新。
在线学习的特点
处理动态数据适用于流数据的场景。逐步更新模型而不必每次从头开始训练。
6. 结构化 SVMStructured SVM
结构化 SVM 是用于处理复杂输出结构的扩展模型通常用于自然语言处理、图像分析等任务中。输出不再是简单的标量或类别标签而是可能是序列、树结构、图等更复杂的形式。
应用场景
序列标注如 POS 标注、命名实体识别依存句法分析图像分割等
7. 概率 SVM
SVM 本身是一个确定性模型即在分类时直接给出类别标签而非概率。但在某些情况下预测结果的概率分布信息可能更加有用。概率 SVM 的目标是通过后处理技术如 Platt 缩放法将 SVM 的输出转换为概率估计。
8. 增强型 SVM
增强型 SVM 将 SVM 与其他技术结合起来以提高模型性能或适应特定的任务需求。例如
集成 SVMEnsemble SVM通过多个 SVM 的集成如 Bagging、Boosting来提高预测精度。混合模型将 SVM 与其他机器学习算法如神经网络、决策树结合使用形成混合模型。
8. SVM 的优势与局限 优势 能有效处理高维空间数据尤其适合于维度较高的场景。对于数据集中的噪声具有较强的鲁棒性。在合适的核函数选择下SVM 具有良好的泛化能力。 局限 对于大规模数据集训练时间较长且内存需求较高。在处理噪声和重叠数据时参数 ( C ) 和核函数的选择较为敏感。核函数的选择和参数调整相对复杂依赖经验和调参技巧。
总结
SVM 是一种强大的监督学习模型其核心思想是通过最大化分类间隔来实现良好的分类效果。核技巧的引入使得它能够应对非线性分类问题。SVM 的优化问题通过凸二次规划求解在理论上具有稳健性和收敛性。
在Julia中SVM实现
MLJMachine Learning in Julia是一个非常流行的机器学习库它提供了统一的接口来访问多种机器学习算法包括支持向量机SVM。MLJ不仅简化了模型训练和评估的过程还允许用户轻松地比较和组合不同的机器学习算法。
要使用MLJ中的SVM你需要首先安装MLJ库以及相关的SVM实现。在Julia中你可以使用以下命令来安装这些库
using Pkg
Pkg.add(MLJ)
Pkg.add(MLJLinearModels) # 对于线性SVM
# 或者如果你需要非线性SVM比如使用RBF核你可能需要安装另一个包如
# Pkg.add(LibSVM) # 注意LibSVM在MLJ中可能需要通过特定的接口来使用安装完成后你可以按照以下步骤来使用MLJ中的SVM 导入库 首先你需要导入MLJ库以及任何其他相关的库。 using MLJ
using MLJLinearModels # 对于线性SVM
# 或者如果你安装了LibSVM也可以导入它但请注意下面的示例将使用线性SVM准备数据 你需要将你的数据准备为MLJ可以处理的格式。通常这意味着将数据存储在DataFrame中并将特征和目标变量分开。 定义模型 在MLJ中你可以使用load宏来加载特定的机器学习算法。对于线性SVM你可以这样做 svm_model load LinearSVC请注意LinearSVC是线性支持向量分类器的缩写。如果你需要其他类型的SVM比如使用不同的核函数你可能需要查找并加载相应的模型。 训练模型 使用MLJ的fit!函数来训练你的模型。你需要提供模型、数据以及任何必要的参数。 # 假设你有一个DataFrame df其中X是特征y是目标变量
X df[:, :-1] # 所有列除了最后一列都是特征
y df[:, end] # 最后一列是目标变量# 将数据划分为训练集和测试集可选
train, test partition(eachindex(y), 0.8, shuffletrue)# 训练模型
fit_result fit!(svm_model, X[train, :], y[train])评估模型 使用MLJ的evaluate!函数或其他相关函数来评估你的模型性能。 # 预测测试集
predictions predict(svm_model, fit_result, X[test, :])# 评估性能
performance evaluate!(predictions, y[test], accuracy)
println(Accuracy: , performance)调整参数可选 MLJ允许你轻松地调整模型的参数。你可以使用param_grid或RandomSearch等函数来进行参数搜索。
请注意上面的代码是一个简化的示例它假设你已经有了适当格式的数据并且没有进行任何数据预处理或特征工程。在实际应用中你可能需要花费更多的时间来准备和清洗数据以及选择和调整模型的参数。
参考文献
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