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news 2025/11/1 6:56:57

成都武侯区建设厅官方网站,小说网站排名,学做衣服网站,多语言社交网站开发B站网课来自 3Blue1Brown的翻译版#xff0c;看完醍醐灌顶#xff0c;强烈推荐#xff1a; 线性代数的本质本课程从几何的角度翻译了线代中各种核心的概念及性质#xff0c;对做题和练习效果有实质性的提高#xff0c;下面博主来总结一下自己的理解 1.向量的本质在物…B站网课来自 3Blue1Brown的翻译版看完醍醐灌顶强烈推荐线性代数的本质本课程从几何的角度翻译了线代中各种核心的概念及性质对做题和练习效果有实质性的提高下面博主来总结一下自己的理解 1.向量的本质在物理中的理解是一个有起点和终点的方向矢量而在计算机科学中的理解——更像是某种类似于列表的结构体只不过这是一种以数字为元素的列表。对应在数学的领域可以理解为一种坐标——分别用列表中的项来对应起点与终点二维向量。而向量加法的本质即为对应维度上的线性相消。而另一种理解为向量是空间中的某种运动在不同维度上的线性抵消如下图——这一性质也可以扩展到n维。 2.向量的坐标首先理解单位向量的概念——i1,0j0,1由i与j的线性相加可以得到空间中的任一向量~ 而向量【-3,2】可以将两个元素理解为2个标量——即对向量的拉伸与压缩。而基向量也就是单位向量即为所谓拉伸与压缩的对象两个数型向量的相加被称为这2个向量的线性组合~ 对于线性的一种理解只允许1个标量变化其余n-1个维度的坐标固定所产生的向量集即为一条直线 3.张成空间定义所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合。对于二维表示所有二维空间中向量的集合亦或终点相同的向量的集合对于三维表示一个平面或者一个空间 4.线性相关与线性无关所谓线性相关即向量组中至少有一个是多余的即没有对张成空间的形成做出贡献——换句话说有至少一个向量可由其他向量线性相加获得线性组合而所谓线性无关即每一个向量的存在都会使得张成空间的维度增加 5.矩阵的本质——线性变换所谓变化其实就是函数的一种花哨说法~ 本质上向量a是由i和j的一个线性组合而空间发生变化后a1则变为了同样发生变化的i1与j1与原来保持一致的线性组合所以如果将变化后的i1与j1按照列向量合集表示如下图即形成了所谓的矩阵也就是说在二维空间的线性变换仅由4个数就可以决定此刻若给出一个矩阵和一个已知变量即可得出对该向量进行目标矩阵的变换后可以得出的新向量! 关于上面的一个理解不要晕所谓的5/7本质上的意味是a5i7j也就是说所谓的目标向量本质也是对i和j的一种变化而为什么有的变化就是向量而有的变化就是矩阵呢那是因为所谓的5/7他对应的均为当前方向上的变化——即翻倍延长而矩阵中第一行的变化均为在i方向上的变化而第二行则全部对应j方向的变化——也就是说矩阵变化后的i1和j1实际上是在两个方向上同时变化因此不难理解矩阵乘法的底层逻辑:这里第一行乘以第一列的意义实际上是原来对应的5i在i变成i1后所需要对应的变化——即i方向变3j方向变2第二行也是同理~此刻即使扩展到n维这一原理仍成立再进行一个更炸裂的理解所谓m行n列的矩阵m即为当前基向量的个数——即坐标系的维度而所谓的mn列即为对原始的基向量需要进行几维的线性变换因此我们可以说矩阵的本质就是一种线性变换也就是作用于向量的函数 6.矩阵的乘法如果将矩阵理解为一种线性变换那么矩阵的相乘本质即为连续的线性变换~ 注意一个细节——同函数一致需要向右往左看对于相乘后得到的矩阵第一列即为第一个矩阵进行变换变为i1后第二个矩阵使他变换为了i2j2的诞生亦是如此~ 至于乘法的规则再描述一遍如上的1/1即为对i的变化现在需要将i1变化为i2则需要再对i1进行i和j两个维度上的一次变化所以i1的i方向1在i上变0j上变1j1的i方向上2而j方向上变0 非常抽象需要反复琢磨 7.三维空间中的线性变换同二维平面一致此处仅需要9个数即可完成三维空间下的线性变换将这9个数组为三维向量。此处对3维方阵与向量的乘积做出如下两种理解首先按列看1~3列可以分别对应为基向量i、j、k的线性变换而按行看则代表i、j、k向量在当前所对应的维度上各自的变化量。另一种解释如上图xyz后面的向量实际意义是经过线性变换后坐标系里的基向量而此刻把xyz可以理解为一种给定的标量并作用于当前变换后的基向量 8.行列式单位正方形在二维平面内以i和j两个基向量为边所圈成的正方形行列式的本质即为线性变换对原面积改变的比例——行列式的值即为对面积的缩放比例数值在二维平面里如果行列式的值为负本质是在将矩阵翻转~在三维空间里行雷士的值即为对应体积的缩放比例~ 在三维的情况下当行列式为0时即当前的体积被压缩为0几何角度的理解为存在共线向量、共面甚至重合的一个点——这便是所谓线性相关的几何意义。这也从某种角度解释了——为什么对应的行列式为0的向量组必然线性相关实质上还是那个理解存在未对维度变化做出贡献的向量可以说空间压缩的本质是行列式为0 9.线性方程组首先要注意——线性方程组存在的意义和向量的乘法非常的类似~ 如上是一种非常具有技巧性的理解方程组可以表示为矩阵与向量的积其中系数矩阵A本质上就是对于向量的某种函数而这里的向量是一个未知数由x/y/z三个未知的数值表示。上述Axv的理解可以有两种矩阵代表一种线性变换在一元函数中可以理解为k、b这样的常数而xyz组成的向量本质上就是一元函数中的自变量同理依旧可以理解为xyz是对当前经过矩阵A变换后的新的基向量的数值则这一方程本质上变为了求解标量xyz的过程 10.逆矩阵顾名思义几何意义即为逆向的线性变换。存在的意义为A-1和A可以相互抵消形成一个本质上什么都做的变换这样的变换又被称为恒等变换单位矩阵E的集合意义在这里就解释得同了对角线为1的性质带来了仅对当前向量的基向量所对应维度的变换且倍数为1。 11.秩本质为线性变换后的空间维数国内的课本定义为非0子式的最高阶数...... 秩为1表示变换后的直线落在一条一维的线上秩为2表示为二维空间列空间所有可能得输出向量所构成的集合——所以秩也可以定义为列空间的维数满秩秩数与列数相等 12.非方阵的矩阵如上图结合一个具体的例子产生矩阵的数值意义2列代表着输入空间有两个基向量即该向量的张成空间可以理解为是二维的而3行又意味着每一个基向量又有3个坐标组成。而这样一个三行两列的句子意味着空间中的一个平面。总的来说矩阵的行数即为当前向量坐标的个数而列数则是基向量的个数~ 因此这里提出一个比较炸裂的理解为什么不是方阵的矩阵均没有行列式呢这是因为方阵与向量的积不会改变向量的维度而矩阵本身又是一个线性变换所以可以理解为乘以对应的行列式——即某个倍数而矩阵乘以一个向量会改变向量的维度因此在不同的维度下讨论倍数便不再具有意义。这里打个比方有一桶水所谓的伸缩本质上就是给水桶里添加/减少容量的过程而如果水洒了一地维度改变即不再具有倍数的讨论。 13.特征值与特征向量特征值衡量特征向量在变换中拉伸或压缩的比例的因子~ 特征向量线性变换中不离开自己张成空间的特殊向量~ 一部分暂不展开更细的讲解之后有机会更新
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