灵犀科技 高端网站建设,平台网站建设的公司,上海外贸官网,python语言编程入门机器学习笔记之生成模型综述——重参数化技巧[随机反向传播]引言回顾神经网络的执行过程变分推断——重参数化技巧重参数化技巧(随机反向传播)介绍示例描述——联合概率分布示例描述——条件概率分布总结引言
本节将系统介绍重参数化技巧。
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神经网络的执行过程
上一节…
机器学习笔记之生成模型综述——重参数化技巧[随机反向传播]引言回顾神经网络的执行过程变分推断——重参数化技巧重参数化技巧(随机反向传播)介绍示例描述——联合概率分布示例描述——条件概率分布总结引言
本节将系统介绍重参数化技巧。
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神经网络的执行过程
上一节比较了概率图模型与神经网络结构介绍了它们的各自特点。神经网络(这里指前馈神经网络结构)本质上是一个 函数逼近器
基于一个复杂函数Yf(X)\mathcal Y f(\mathcal X)Yf(X)可通过神经网络进行学习并对该函数进行近似描述。 根据具体任务以及输出信息Y\mathcal YY的性质去构建对应策略(目标函数/损失函数) 例如线性回归(Linear Regression\text{Linear Regression}Linear Regression)任务中使用最小二乘估计对预测结果WTx(i)\mathcal W^Tx^{(i)}WTx(i)和真实标签y(i)y^{(i)}y(i)之间的关联关系进行描述 这里省略了偏置信息bbb,并且(x(i),y(i))(x^{(i)},y^{(i)})(x(i),y(i))是数据集合中的一个样本。 L(W)∑i1N∣∣WTx(i)−y(i)∣∣2\mathcal L(\mathcal W) \sum_{i1}^N ||\mathcal W^Tx^{(i)} - y^{(i)}||^2L(W)i1∑N∣∣WTx(i)−y(i)∣∣2在确定目标函数后使用梯度下降(Gradient Descent,GD\text{Gradient Descent,GD}Gradient Descent,GD)方法配合反向传播算法(Backward Propagation,BP\text{Backward Propagation,BP}Backward Propagation,BP)对神经网络内部权重、偏置参数进行学习与更新。
变分推断——重参数化技巧
在变分推断——重参数化技巧中我们同样介绍过重参数化技巧
针对难求解的(Intractable\text{Intractable}Intractable)关于隐变量Z\mathcal ZZ的后验概率分布P(Z∣X)\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)P(Z∣X)通过变分推断(Variational Inference,VI\text{Variational Inference,VI}Variational Inference,VI)的手段人为定义一个概率分布Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)Q(Z)去近似P(Z∣X)\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)P(Z∣X) 需要注意的是这里的Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)Q(Z)并非指的关于隐变量Z\mathcal ZZ‘边缘概率分布’,而是条件概率分布Q(Z∣X)\mathcal Q(\mathcal Z \mid \mathcal X)Q(Z∣X)缩写而成。 logP(X)∫ZQ(Z)⋅[P(X,Z)Q(Z)]dZ−∫ZQ(Z)⋅[P(Z∣X)Q(Z)]dZELBOKL[Q(Z)∣∣P(Z∣X)]\begin{aligned} \log \mathcal P(\mathcal X) \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z) \cdot \left[\frac{\mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z)}{\mathcal Q(\mathcal Z)}\right] d\mathcal Z - \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z) \cdot \left[\frac{\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)}{\mathcal Q(\mathcal Z)}\right] d\mathcal Z \\ \text{ELBO} \text{KL} [\mathcal Q(\mathcal Z)||\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)] \\ \end{aligned}logP(X)∫ZQ(Z)⋅[Q(Z)P(X,Z)]dZ−∫ZQ(Z)⋅[Q(Z)P(Z∣X)]dZELBOKL[Q(Z)∣∣P(Z∣X)]将证据下界(Evidence of Lower Bound,ELBO\text{Evidence of Lower Bound,ELBO}Evidence of Lower Bound,ELBO)看作关于Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)Q(Z)的一个函数。称作Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)Q(Z)的变分(Variation\text{Variation}Variation)。记作L[Q(Z)]\mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)]L[Q(Z)] ELBO∫ZQ(Z)⋅[P(X,Z)Q(Z)]dZL[Q(Z)]\begin{aligned} \text{ELBO} \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z) \cdot \left[\frac{\mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z)}{\mathcal Q(\mathcal Z)}\right] d\mathcal Z \mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)] \end{aligned}ELBO∫ZQ(Z)⋅[Q(Z)P(X,Z)]dZL[Q(Z)]在随机梯度变分推断(Stochastic Gradient Variational Inference, SGVI\text{Stochastic Gradient Variational Inference, SGVI}Stochastic Gradient Variational Inference, SGVI)的思路中将条件概率分布Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)Q(Z)视作一个关于参数ϕ\phiϕ的函数形式Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)Q(Z;ϕ)那么对应变分L[Q(Z)]\mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)]L[Q(Z)]也可描述成关于ϕ\phiϕ的函数形式 此时将求解分布Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)Q(Z)的问题转化为求解最优参数ϕ^\hat \phiϕ^的问题。 L[Q(Z)]L[Q(Z;ϕ)]⇒L(ϕ)\mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)] \mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)] \Rightarrow \mathcal L(\phi)L[Q(Z)]L[Q(Z;ϕ)]⇒L(ϕ) 基于L(ϕ)\mathcal L(\phi)L(ϕ)求解最大值使用梯度上升(Gradient Ascent,GA\text{Gradient Ascent,GA}Gradient Ascent,GA)方法近似求解。对应函数梯度表示如下 {ϕ(t1)⇐ϕ(t)η∇ϕL(ϕ)∇ϕL(ϕ)EQ(Z;ϕ){∇ϕlogQ(Z;ϕ)⋅[logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ)]}\begin{cases} \phi^{(t1)} \Leftarrow \phi^{(t)} \eta \nabla_{\phi} \mathcal L(\phi) \\ \nabla_{\phi} \mathcal L(\phi) \mathbb E_{\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)} \left\{\nabla_{\phi}\log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi) \cdot [\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)] \right\} \end{cases}{ϕ(t1)⇐ϕ(t)η∇ϕL(ϕ)∇ϕL(ϕ)EQ(Z;ϕ){∇ϕlogQ(Z;ϕ)⋅[logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ)]}在使用蒙特卡洛方法进行采样近似过程中关于∇ϕlogQ(Z;ϕ)\nabla_{\phi}\log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)∇ϕlogQ(Z;ϕ)极容易出现高方差现象(High Variance\text{High Variance}High Variance)导致采样出的梯度结果∇ϕL(ϕ)\nabla_{\phi} \mathcal L(\phi)∇ϕL(ϕ)极不稳定 ∇ϕL(ϕ)≈1N∑n1N{∇ϕlogQ(z(n);ϕ)⏟High Variance[logP(X,z(n))−logQ(z(n);ϕ)]}\nabla_{\phi}\mathcal L(\phi) \approx \frac{1}{N} \sum_{n1}^N \left\{\underbrace{\nabla_{\phi} \log \mathcal Q(z^{(n)};\phi)}_{\text{High Variance}} \left[\log \mathcal P(\mathcal X,z^{(n)}) - \log \mathcal Q(z^{(n)};\phi)\right]\right\}∇ϕL(ϕ)≈N1n1∑N⎩⎨⎧High Variance∇ϕlogQ(z(n);ϕ)[logP(X,z(n))−logQ(z(n);ϕ)]⎭⎬⎫ 针对已经被视作函数的Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)Q(Z;ϕ)通过重参数化技巧通过构建一个 随机变量ϵ\epsilonϵ使得ϵ\epsilonϵ与隐变量Z\mathcal ZZ之间存在如下函数关系 ZG(ϵ,X;ϕ)\mathcal Z \mathcal G(\epsilon,\mathcal X ;\phi)ZG(ϵ,X;ϕ) 从而使得ϵ\epsilonϵ对应的概率分布P(ϵ)\mathcal P(\epsilon)P(ϵ)与分布Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)Q(Z;ϕ)之间存在如下关系 EQ(Z;ϕ)[f(Z)]EP(ϵ){f[G(ϵ,X;ϕ)]}\mathbb E_{\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)} \left[f(\mathcal Z)\right] \mathbb E_{\mathcal P(\epsilon)} \left\{f[\mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)]\right\}EQ(Z;ϕ)[f(Z)]EP(ϵ){f[G(ϵ,X;ϕ)]} 将上述关系带回原式通过链式求导法则可以表示成如下形式 将期望形式化简回积分形式。牛顿-莱布尼兹公式将∇ϕ\nabla_{\phi}∇ϕ提到积分号前后面再带回去。将ZG(ϵ,X;ϕ)\mathcal Z \mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)ZG(ϵ,X;ϕ)代入并将采样分布Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)Q(Z;ϕ)替换为P(ϵ)\mathcal P(\epsilon)P(ϵ). ∇ϕL(ϕ)EQ(Z;ϕ){∇ϕlogQ(Z;ϕ)⋅[logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ)]}∇ϕ∫ZQ(Z;ϕ)⋅[logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ)]dZEP(ϵ)[∇ϕ(logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ))]EP(ϵ)[∇Z(logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ))⋅∇ϕG(ϵ,X;ϕ)]\begin{aligned} \nabla_{\phi}\mathcal L(\phi) \mathbb E_{\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)} \left\{\nabla_{\phi}\log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi) \cdot [\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)] \right\} \\ \nabla_{\phi} \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z;\phi) \cdot \left[\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)\right] d\mathcal Z \\ \mathbb E_{\mathcal P(\epsilon)} \left[\nabla_{\phi}(\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi))\right] \\ \mathbb E_{\mathcal P(\epsilon)} [\nabla_{\mathcal Z}(\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)) \cdot \nabla_{\phi}\mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)] \end{aligned}∇ϕL(ϕ)EQ(Z;ϕ){∇ϕlogQ(Z;ϕ)⋅[logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ)]}∇ϕ∫ZQ(Z;ϕ)⋅[logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ)]dZEP(ϵ)[∇ϕ(logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ))]EP(ϵ)[∇Z(logP(X,Z)−logQ(Z;ϕ))⋅∇ϕG(ϵ,X;ϕ)]
通过这种重参数化技巧——将 变量Z\mathcal ZZ 与 简单分布对应变量ϵ\epsilonϵ 之间构建关联关系的方式仅需要从简单分布P(ϵ)\mathcal P(\epsilon)P(ϵ)中进行采样也可以采集出∇ϕL(ϕ)\nabla_{\phi}\mathcal L(\phi)∇ϕL(ϕ)中的样本。
重参数化技巧(随机反向传播)介绍
关于神经网络可以通过通用逼近定理(Universal Approximation Theorem\text{Universal Approximation Theorem}Universal Approximation Theorem)来逼近任意函数。那么神经网络是否也可以用来 逼近概率分布 呢 从概率图模型的视角概率分布P(X)\mathcal P(\mathcal X)P(X)就是概率图模型结构的表示(Representation\text{Representation}Representation)。如果能够直接使用神经网络直接将P(X)\mathcal P(\mathcal X)P(X)描述出来就称之为随机反向传播(Stochastic Backward Propagation\text{Stochastic Backward Propagation}Stochastic Backward Propagation)也称重参数化技巧(Reparametrization Trick\text{Reparametrization Trick}Reparametrization Trick)。
在上面关于变分推断——重参数化技巧的过程中关于ZG(ϵ,X;ϕ)\mathcal Z \mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)ZG(ϵ,X;ϕ)中的函数G\mathcal GG同样可以描述成如下结构
这里从简单的概率分布开始观察如何使用重参数化技巧对概率分布进行描述的。
示例描述——联合概率分布
假设某随机变量Y\mathcal YY服从均值为μ\muμ方差为σ2\sigma^2σ2的一维正态分布 P(Y)N(μ,σ2)\mathcal P(\mathcal Y) \mathcal N(\mu,\sigma^2)P(Y)N(μ,σ2) 如果直接从这个分布中进行采样可能是复杂的。但是如果可以假定一个变量Z\mathcal ZZ服从标准正态分布N(0,1)\mathcal N(0,1)N(0,1)并且Y,Z\mathcal Y,\mathcal ZY,Z之间满足如下关系 Yμσ×Z\mathcal Y \mu \sigma \times \mathcal ZYμσ×Z 那么则有 该部分推导过程详见变分推断——重参数化技巧 EP(Y)[f(Y)]EP(Z)[f(μσ×Z)]\mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Y)} [f(\mathcal Y)] \mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Z)} [f(\mu \sigma \times \mathcal Z)]EP(Y)[f(Y)]EP(Z)[f(μσ×Z)] 这种替换采样分布的操作意味着在给定Z\mathcal ZZ分布的条件下完全可以通过采样Z\mathcal ZZ分布得到Y\mathcal YY分布的样本 这里的Z(i),Y(i)\mathcal Z^{(i)},\mathcal Y^{(i)}Z(i),Y(i)分别表示概率分布P(Z),P(Y)\mathcal P(\mathcal Z),\mathcal P(\mathcal Y)P(Z),P(Y)中采集的样本。 {Z(i)∼N(0,1)Y(i)μσ×Z(i)\begin{cases} \mathcal Z^{(i)} \sim \mathcal N(0,1) \\ \mathcal Y^{(i)} \mu \sigma \times \mathcal Z^{(i)} \end{cases}{Z(i)∼N(0,1)Y(i)μσ×Z(i) 重新观察Yμσ×Z\mathcal Y \mu \sigma \times \mathcal ZYμσ×Z这明显就是一个简单的一次函数。从广义的角度观察可以将Y,Z\mathcal Y,\mathcal ZY,Z之间满足如下函数关系 其中Z\mathcal ZZ在函数中表示变量;μ,σ\mu,\sigmaμ,σ在函数中表示权重参数。 Yf(Z;μ,σ)\mathcal Y f(\mathcal Z;\mu,\sigma)Yf(Z;μ,σ) 这意味着我们不否认变量Y\mathcal YY具有随机性只不过变量Y\mathcal YY的随机性由变量Z\mathcal ZZ决定。也就是说除了Z\mathcal ZZ的随机性其他变量(这里指的Y\mathcal YY)都是确定性变换那么完全可以使用神经网络对函数f(Z;μ,σ)f(\mathcal Z;\mu,\sigma)f(Z;μ,σ)进行逼近
这里的‘确定性变换’是指当变量Z\mathcal ZZ确定的条件下那么变量Y\mathcal YY根据函数f(Z;μ,σ)f(\mathcal Z;\mu,\sigma)f(Z;μ,σ)也跟着确定。也就是说Z,Y\mathcal Z,\mathcal YZ,Y之间存在明确的映射关系。使用神经网络逼近函数完全不用担心原始函数中的参数μ,σ\mu,\sigmaμ,σ,因为被替代的神经网络权重参数θ\thetaθ本身没有实际意义。 如果定义J(Y)\mathcal J(\mathcal Y)J(Y)为目标函数在对目标函数求解极值的过程中对模型参数θ\thetaθ求解梯度。根据链式求导法则梯度∇θJ(Y)\nabla_{\theta}\mathcal J(\mathcal Y)∇θJ(Y) 可表示为如下形式 {J(Y)J[f(Z;μ,σ)]∇θJ(Y)∇YJ(Y)⋅∇θf(Z;μ,σ)\begin{cases} \mathcal J(\mathcal Y) \mathcal J[f(\mathcal Z;\mu,\sigma)] \\ \nabla_{\theta} \mathcal J(\mathcal Y) \nabla_{\mathcal Y} \mathcal J(\mathcal Y) \cdot \nabla_{\theta}f(\mathcal Z;\mu,\sigma) \end{cases}{J(Y)J[f(Z;μ,σ)]∇θJ(Y)∇YJ(Y)⋅∇θf(Z;μ,σ)
示例描述——条件概率分布
假设给定随机变量X\mathcal XX条件下随机变量Y\mathcal YY的条件概率分布满足如下关系 P(Y∣X)N(μ,σ2∣X)\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X) \mathcal N(\mu,\sigma^2 \mid \mathcal X)P(Y∣X)N(μ,σ2∣X) 与上面描述对应可以根据分布N(μ,σ2∣X)\mathcal N(\mu,\sigma^2 \mid \mathcal X)N(μ,σ2∣X)可以将随机变量Y\mathcal YY与随机变量X\mathcal XX之间描述成如下函数关系 {Z∼N(0,1)Yμ(X)σ(X)×Z\begin{cases} \mathcal Z \sim \mathcal N(0,1) \\ \mathcal Y \mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z \end{cases}{Z∼N(0,1)Yμ(X)σ(X)×Z 同样可以使用上述方法对随机变量Y\mathcal YY与随机变量Z\mathcal ZZ之间的关系进行验证
关键点1从概率密度函数的角度观察由于X\mathcal XX是条件是已知量。因而可以将N(μ,σ2∣X)\mathcal N(\mu,\sigma^2 \mid \mathcal X)N(μ,σ2∣X)看作是随机变量X\mathcal XX参与的概率密度函数:N[μ(X),σ2(X)]\mathcal N[\mu(\mathcal X),\sigma^2(\mathcal X)]N[μ(X),σ2(X)]证明期望EP(Y∣X)[f(Y)]\mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)} [f(\mathcal Y)]EP(Y∣X)[f(Y)]转换成期望EP(Z){f[μ(X)σ(X)×Z]}\mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Z)} \{f[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z]\}EP(Z){f[μ(X)σ(X)×Z]}的过程实际上是描述Y\mathcal YY被替换成μ(X)σ(X)×Z\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Zμ(X)σ(X)×Z后其采样分布也会由P(Y∣X)\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)P(Y∣X)转换成P(Z)\mathcal P(\mathcal Z)P(Z),而不仅仅是单纯意义上的替换。关键点2将Yμ(X)σ(X)×Z\mathcal Y \mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal ZYμ(X)σ(X)×Z代入的过程中由于是对Z\mathcal ZZ求解偏导因而有dYd[μ(X)σ(X)×Z]σ(X)dZd\mathcal Y d[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] \sigma(\mathcal X) d\mathcal ZdYd[μ(X)σ(X)×Z]σ(X)dZ
EP(Y∣X)[f(Y)]∫YP(Y∣X)⋅f(Y)dY∫Y1σ(X)⋅2πexp{−[Y−μ(X)]22σ2(X)}⏟N[μ(X),σ2(X)]⋅f(Y)dY∫Z1σ(X)⋅2πexp{−[μ(X)σ(X)×Z−μ(X)]22σ2(X)}⋅f[μ(X)σ(X)×Z]⋅σ(X)dZ⏟d[μ(X)σ(X)×Z]∫Z12π⋅exp(−Z22)⏟P(Z)N(0,1)⋅f[μ(X)σ(X)×Z]dZ∫ZP(Z)⋅f[μ(X)σ(X)×Z]dZEP(Z){f[μ(X)σ(X)×Z]}\begin{aligned} \mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)} [f(\mathcal Y)] \int_{\mathcal Y} \mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X) \cdot f(\mathcal Y) d\mathcal Y \\ \int_{\mathcal Y} \underbrace{\frac{1}{\sigma(\mathcal X) \cdot \sqrt{2\pi}}\exp \left\{-\frac{[\mathcal Y - \mu(\mathcal X)]^2}{2\sigma^2(\mathcal X)}\right\}}_{\mathcal N[\mu(\mathcal X),\sigma^2(\mathcal X)]} \cdot f(\mathcal Y) d\mathcal Y \\ \int_\mathcal Z \frac{1}{\sigma(\mathcal X) \cdot \sqrt{2\pi}} \exp \left\{-\frac{[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z - \mu(\mathcal X)]^2}{2\sigma^2(\mathcal X)}\right\} \cdot f[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] \cdot \underbrace{\sigma(\mathcal X) d\mathcal Z}_{d[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z]} \\ \int_{\mathcal Z} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp \left(-\frac{\mathcal Z^2}{2}\right)}_{\mathcal P(\mathcal Z) \mathcal N(0,1)} \cdot f[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] d\mathcal Z \\ \int_{\mathcal Z}\mathcal P(\mathcal Z) \cdot f[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] d\mathcal Z \\ \mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Z)} \{f[\mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z]\} \end{aligned}EP(Y∣X)[f(Y)]∫YP(Y∣X)⋅f(Y)dY∫YN[μ(X),σ2(X)]σ(X)⋅2π1exp{−2σ2(X)[Y−μ(X)]2}⋅f(Y)dY∫Zσ(X)⋅2π1exp{−2σ2(X)[μ(X)σ(X)×Z−μ(X)]2}⋅f[μ(X)σ(X)×Z]⋅d[μ(X)σ(X)×Z]σ(X)dZ∫ZP(Z)N(0,1)2π1⋅exp(−2Z2)⋅f[μ(X)σ(X)×Z]dZ∫ZP(Z)⋅f[μ(X)σ(X)×Z]dZEP(Z){f[μ(X)σ(X)×Z]} 同理基于上述的神经网络描述同样也可以随机变量X,Z∼N(0,1)\mathcal X,\mathcal Z \sim \mathcal N(0,1)X,Z∼N(0,1)为输入Y\mathcal YY作为输出学习并逼近函数Yμ(X)σ(X)×Z\mathcal Y \mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal ZYμ(X)σ(X)×Z 继续向下观察。从Yμ(X)σ(X)×Z\mathcal Y \mu(\mathcal X) \sigma(\mathcal X) \times \mathcal ZYμ(X)σ(X)×Z中可以观察到
Y\mathcal YY是关于Z\mathcal ZZ的函数其中参数是μ(X),σ(X)\mu(\mathcal X),\sigma(\mathcal X)μ(X),σ(X)而μ,σ\mu,\sigmaμ,σ均是关于X\mathcal XX的函数。
既然μ,σ\mu,\sigmaμ,σ函数均以随机变量X\mathcal XX作为输入这里将这两个函数的参数统一描述成θ\thetaθ。即μ(X;θ),σ(X;θ)\mu(\mathcal X;\theta),\sigma(\mathcal X;\theta)μ(X;θ),σ(X;θ)。这种变换意味着仅通过学习模型参数θ\thetaθ就可以将μ(X),σ(X)\mu(\mathcal X),\sigma(\mathcal X)μ(X),σ(X)均给表示出来。上述神经网络结构可细化成如下形式 其中⊙\odot⊙表示点乘;⊕\oplus⊕表示数学加法。 关于模型参数θ\thetaθ的参数学习过程可以很灵活。关于函数μ(X),σ(X)\mu(\mathcal X),\sigma(\mathcal X)μ(X),σ(X)可以再详细分成不同的模型参数μ(X;θ),σ(X;ϕ)\mu(\mathcal X;\theta),\sigma(\mathcal X;\phi)μ(X;θ),σ(X;ϕ)进行学习 神经网络仅是一个‘函数逼近器’的作用如何将模型参数学习的更好可以有很深的挖掘空间。只不过这里我们事先知道Y\mathcal YY的分布是N(μ,σ∣X)\mathcal N(\mu,\sigma\mid \mathcal X)N(μ,σ∣X),这里的μ,σ\mu,\sigmaμ,σ被赋予了实际意义。但真实情况是这个条件概率分布Y\mathcal YY可能非常复杂。我们对模型参数组成可能一无所知。 同样可以构建一个目标函数J(Y)\mathcal J(\mathcal Y)J(Y)通过链式求导法则将对应的模型参数梯度进行求解。 示例如果通过重参数化技巧产生样本所代表的概率分布Ypred\mathcal Y_{pred}Ypred与真实分布Y\mathcal YY之间的差距(可以看成一个基于分布的回归任务)可以通过最小二乘估计对差距进行描述
这里以第一种模型结构为例。其中Ygene(i)\mathcal Y_{gene}^{(i)}Ygene(i)就是图中Y\mathcal YY通过上述模型结构产生的一个样本(幻想粒子)与对应真实分布中的Y(i)\mathcal Y^{(i)}Y(i)样本进行比较。 J(Ygene;θ)∑i1N∣∣Ygene(i)−Y(i)∣∣2\mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta) \sum_{i1}^N ||\mathcal Y_{gene}^{(i)} - \mathcal Y^{(i)}||^2J(Ygene;θ)i1∑N∣∣Ygene(i)−Y(i)∣∣2 对应梯度∇θJ(Ygene;θ)\nabla_{\theta}\mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta)∇θJ(Ygene;θ)可表示为 ∇θJ(Ygene;θ)∂J(Ygene;θ)∂Ygene⋅∂Ygene∂μ(X;θ)⋅∂μ(X;θ)∂θ∂J(Ygene;θ)∂Ygene⋅∂Ygene∂σ(X;θ)⋅∂σ(X;θ)∂θ\nabla_{\theta} \mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta) \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta)}{\partial \mathcal Y_{gene}} \cdot \frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \mu(\mathcal X;\theta)} \cdot \frac{\partial \mu(\mathcal X;\theta)}{\partial \theta} \frac{\partial \mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta)}{\partial \mathcal Y_{gene}} \cdot \frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \sigma(\mathcal X;\theta)} \cdot \frac{\partial \sigma(\mathcal X;\theta)}{\partial \theta} \end{aligned} ∇θJ(Ygene;θ)∂Ygene∂J(Ygene;θ)⋅∂μ(X;θ)∂Ygene⋅∂θ∂μ(X;θ)∂Ygene∂J(Ygene;θ)⋅∂σ(X;θ)∂Ygene⋅∂θ∂σ(X;θ)
总结
通过上面的描述通过重参数化技巧构造神经网络去逼近联合概率分布、条件概率分布。关于这种表示方式对于生成分布Y\mathcal YY是存在约束条件的。即Y\mathcal YY是一个 连续分布。这才能使∂Ygene∂μ(X;θ),∂Ygene∂σ(X;θ)\frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \mu(\mathcal X;\theta)},\frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \sigma(\mathcal X;\theta)}∂μ(X;θ)∂Ygene,∂σ(X;θ)∂Ygene有解。
至此生成模型部分介绍结束下一节将介绍流模型(Flow-based Model\text{Flow-based Model}Flow-based Model)。
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