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1.公式 w i j n e w w i j o l d − α ∂ E ∂ w i j w_{ij}^{new} w_{ij}^{old} - \alpha \frac{\partial E}{\partial w_{ij}} wijnewwijold−α∂wij∂E α为学习率 当α过小时#xff0c;训练时间过久增加算力成本#xff0c;α过大则容易造成越过最…梯度下降
1.公式 w i j n e w w i j o l d − α ∂ E ∂ w i j w_{ij}^{new} w_{ij}^{old} - \alpha \frac{\partial E}{\partial w_{ij}} wijnewwijold−α∂wij∂E α为学习率 当α过小时训练时间过久增加算力成本α过大则容易造成越过最优解导致震荡。
2.梯度下降过程
1.初始化参数权重W偏置b 2.求梯度利用损失函数求出权重W的导数。 3.参数更新按照梯度下降公式求出新的W。 4.循环迭代按照设定的条件或次数循环更新W。
3.常见梯度下降方法
3.1批量梯度下降
Batch Gradient Descent BGD 特点 每次更新参数时使用整个训练集来计算梯度。 优点 收敛稳定能准确地沿着损失函数的真实梯度方向下降。适用于小型数据集。 缺点 对于大型数据集计算量巨大更新速度慢。需要大量内存来存储整个数据集。 公式 θ : θ − α 1 m ∑ i 1 m ∇ θ L ( θ ; x ( i ) , y ( i ) ) \theta : \theta - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i1}^{m} \nabla_\theta L(\theta; x^{(i)}, y^{(i)}) θ:θ−αm1i1∑m∇θL(θ;x(i),y(i)) 其中 m m m 是训练集样本总数$x^{(i)}, y^{(i)} $是第 i i i 个样本及其标签。
3.2随机梯度下降
Stochastic Gradient Descent, SGD 特点 每次更新参数时仅使用一个样本来计算梯度。 优点 更新频率高计算快适合大规模数据集。能够跳出局部最小值有助于找到全局最优解。 缺点 收敛不稳定容易震荡因为每个样本的梯度可能都不完全代表整体方向。需要较小的学习率来缓解震荡。 公式 θ : θ − α ∇ θ L ( θ ; x ( i ) , y ( i ) ) \theta : \theta - \alpha \nabla_\theta L(\theta; x^{(i)}, y^{(i)}) θ:θ−α∇θL(θ;x(i),y(i))
3.3小批量梯度下降
Mini-batch Gradient Descent MGBD 特点 每次更新参数时使用一小部分训练集小批量来计算梯度。 优点 在计算效率和收敛稳定性之间取得平衡。能够利用向量化加速计算适合现代硬件如GPU。 缺点 选择适当的批量大小比较困难批量太小则接近SGD批量太大则接近批量梯度下降。通常会根据硬件算力设置为32\64\128\256等2的次方。 公式 θ : θ − α 1 b ∑ i 1 b ∇ θ L ( θ ; x ( i ) , y ( i ) ) \theta : \theta - \alpha \frac{1}{b} \sum_{i1}^{b} \nabla_\theta L(\theta; x^{(i)}, y^{(i)}) θ:θ−αb1i1∑b∇θL(θ;x(i),y(i)) 其中 b b b 是小批量的样本数量也就是 b a t c h _ s i z e batch\_size batch_size。 其中 x ( i ) , y ( i ) x^{(i)}, y^{(i)} x(i),y(i) 是当前随机抽取的样本及其标签。
4.存在问题 收敛速度慢BGD和MBGD使用固定学习率太大会导致震荡太小又收敛缓慢。 局部最小值和鞍点问题SGD在遇到局部最小值或鞍点时容易停滞导致模型难以达到全局最优。 训练不稳定SGD中的噪声容易导致训练过程中不稳定使得训练陷入震荡或不收敛。
5.优化方法
5.1指数加权平均数 其中
St 表示指数加权平均值(EMA)Yt 表示 t 时刻的值 β \beta β 是平滑系数取值范围为 0 ≤ β 1 0\leq \beta 1 0≤β1。 β \beta β 越接近 1 1 1表示对历史数据依赖性越高越接近 0 0 0 则越依赖当前数据。该值越大平均数越平缓
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef test01():np.random.seed(666)y np.random.randint(5,40,30)print(y)x np.arange(30)plt.plot(x,y,colorb)plt.scatter(x,y,colorr)plt.show()def test02(beta 0.9):np.random.seed(666)y np.random.randint(5,40,30)print(y)x np.arange(30)y_e []for i in range(30):if i 0:y_e.append(y[0])else:st beta*y_e[-1](1-beta)*y[i]y_e.append(st)plt.plot(x,np.array(y_e),colorb)plt.scatter(x,y,colorr)plt.show()if __name__ __main__:test01()test02() 5.2Momentum
Momentum 的基本思想 在传统的梯度下降法中参数的更新仅依赖于当前的梯度方向。Momentum 方法通过引入一个累积的动量来加速参数的更新。具体来说Momentum 方法在参数更新时不仅考虑当前的梯度方向还考虑了过去梯度的方向。
惯性效应 该方法加入前面梯度的累积这种惯性使得算法沿着当前的方向继续更新。如遇到鞍点也不会因梯度逼近零而停滞。减少震荡 该方法平滑了梯度更新减少在鞍点附近的震荡帮助优化过程稳定向前推进。加速收敛 该方法在优化过程中持续沿着某个方向前进能够更快地穿越鞍点区域避免在鞍点附近长时间停留。
梯度计算公式 D t β ∗ S t − 1 ( 1 − β ) ∗ D t Dt β * S_{t-1} (1- β) * Dt Dtβ∗St−1(1−β)∗Dt S t − 1 S_{t-1} St−1 表示历史梯度移动加权平均值Dt 表示当前时刻的梯度值β 为权重系数
Momentum 算法是对梯度值的平滑调整但是并没有对梯度下降中的学习率进行优化。
import torch# 1.创建一个神经网络继承官方的nn.Module
class mynet(torch.nn.Module):# 2.定义网络结构def __init__(self, input_size, output_size):# 3.初始化父类python语法要求调用super方法生成父类的功能让子类对象去继承super(mynet, self).__init__()# 4.定义网络结构self.hide1 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(input_size, 3), torch.nn.Sigmoid())self.hide2 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(3, 2), torch.nn.Sigmoid())self.hide3 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(2, 12), torch.nn.Sigmoid())self.out torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(12, output_size), torch.nn.Sigmoid())def forward(self, input):# input.shape[1]x self.hide1(input)x self.hide2(x)x self.hide3(x)pred self.out(x)return preddef train():# 数据集input torch.tensor([[0.5, 0.1],[0.05, 0.180],[0.05, 0.310]])target torch.tensor([[1, 2],[0, 3],[1, 123]], dtypetorch.float32)# 5.创建网络net mynet(2, 2)# 6.定义损失函数loss_func torch.nn.MSELoss()# 7.定义优化器optimizer torch.optim.SGD(net.parameters(), lr0.1,momentum0.6)# 8.训练for epoch in range(100):# 9.前向传播y_pred net(input)# 10.计算损失loss loss_func(y_pred, target)# 11.梯度清零optimizer.zero_grad()# 12.反向传播计算每一层的w的梯度值loss.backward()# print(net.hide1[0].weight.data)# 13.梯度更新optimizer.step() # w w -lr*当前的移动指数加权平均s momentum*s (1-momentum)*w.gradprint(loss)if __name__ __main__:train()5.3AdaGrad
AdaGradAdaptive Gradient Algorithm为每个参数引入独立的学习率它根据历史梯度的平方和来调整这些学习率这样就使得参数具有较大的历史梯度的学习率减小而参数具有较小的历史梯度的学习率保持较大从而实现更有效的学习。AdaGrad避免了统一学习率的不足更多用于处理稀疏数据和梯度变化较大的问题。
AdaGrad流程 初始化学习率 α、初始化参数 θ、小常数 σ 1e-6 初始化梯度累积变量 s 0 从训练集中采样 m 个样本的小批量计算梯度 g 累积平方梯度 s s g ⊙ g⊙ 表示各个分量相乘 学习率 α 的计算公式如下 参数更新公式如下
其中 α \alpha α 是全局的初始学习率。 $ \sigma$ 是一个非常小的常数用于避免除零操作通常取$ 10^{-8}$。 $ \frac{\alpha}{\sqrt{s }\sigma} $ 是自适应调整后的学习率。
import torch# 1.创建一个神经网络继承官方的nn.Module
class mynet(torch.nn.Module):# 2.定义网络结构def __init__(self, input_size, output_size):# 3.初始化父类python语法要求调用super方法生成父类的功能让子类对象去继承super(mynet, self).__init__()# 4.定义网络结构self.hide1 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(input_size, 3), torch.nn.Sigmoid())self.hide2 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(3, 2), torch.nn.Sigmoid())self.hide3 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(2, 12), torch.nn.Sigmoid())self.out torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(12, output_size), torch.nn.Sigmoid())def forward(self, input):# input.shape[1]x self.hide1(input)x self.hide2(x)x self.hide3(x)pred self.out(x)return preddef train():# 数据集input torch.tensor([[0.5, 0.1],[0.05, 0.180],[0.05, 0.310]])target torch.tensor([[1, 2],[0, 3],[1, 123]], dtypetorch.float32)# 5.创建网络net mynet(2, 2)# 6.定义损失函数loss_func torch.nn.MSELoss()# 7.定义优化器optimizer torch.optim.Adagrad(net.parameters(), lr0.1)# 8.训练for epoch in range(100):# 9.前向传播y_pred net(input)# 10.计算损失loss loss_func(y_pred, target)# 11.梯度清零optimizer.zero_grad()# 12.反向传播计算每一层的w的梯度值loss.backward()# print(net.hide1[0].weight.data)# 13.梯度更新optimizer.step() # w w -lr*当前的移动指数加权平均s momentum*s (1-momentum)*w.gradprint(loss)if __name__ __main__:train()5.4RMSProp
RMSPropRoot Mean Square Propagation在时间步中不是简单地累积所有梯度平方和而是使用指数加权平均来逐步衰减过时的梯度信息。这种方法专门用于解决AdaGrad在训练过程中学习率过度衰减的问题。
RMSProp过程 初始化学习率 α、初始化参数 θ、小常数 σ 1e-8( 用于防止除零操作通常取 1 0 − 8 10^{-8} 10−8)。 初始化参数 θ 初始化梯度累计变量 s0 从训练集中采样 m 个样本的小批量计算梯度 g 使用指数移动平均累积历史梯度公式如下 学习率 α 的计算公式如下 参数更新公式如下
优点 适应性强RMSProp自适应调整每个参数的学习率对于梯度变化较大的情况非常有效使得优化过程更加平稳。 适合非稀疏数据相比于AdaGradRMSProp更加适合处理非稀疏数据因为它不会让学习率减小到几乎为零。 解决过度衰减问题通过引入指数加权平均RMSProp避免了AdaGrad中学习率过快衰减的问题保持了学习率的稳定性
缺点
依赖于超参数的选择RMSProp的效果对衰减率 $ \beta$ 和学习率 $ \alpha$ 的选择比较敏感需要一些调参工作。
需要注意的是AdaGrad 和 RMSProp 都是对于不同的参数分量使用不同的学习率如果某个参数分量的梯度值较大则对应的学习率就会较小如果某个参数分量的梯度较小则对应的学习率就会较大一些。
import torch# 1.创建一个神经网络继承官方的nn.Module
class mynet(torch.nn.Module):# 2.定义网络结构def __init__(self, input_size, output_size):# 3.初始化父类python语法要求调用super方法生成父类的功能让子类对象去继承super(mynet, self).__init__()# 4.定义网络结构self.hide1 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(input_size, 3), torch.nn.Sigmoid())self.hide2 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(3, 2), torch.nn.Sigmoid())self.hide3 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(2, 12), torch.nn.Sigmoid())self.out torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(12, output_size), torch.nn.Sigmoid())def forward(self, input):# input.shape[1]x self.hide1(input)x self.hide2(x)x self.hide3(x)pred self.out(x)return preddef train():# 数据集input torch.tensor([[0.5, 0.1],[0.05, 0.180],[0.05, 0.310]])target torch.tensor([[1, 2],[0, 3],[1, 123]], dtypetorch.float32)# 5.创建网络net mynet(2, 2)# 6.定义损失函数loss_func torch.nn.MSELoss()# 7.定义优化器optimizer torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr0.01,momentum0.8)# 8.训练for epoch in range(100):# 9.前向传播y_pred net(input)# 10.计算损失loss loss_func(y_pred, target)# 11.梯度清零optimizer.zero_grad()# 12.反向传播计算每一层的w的梯度值loss.backward()# print(net.hide1[0].weight.data)# 13.梯度更新optimizer.step() # w w -lr*当前的移动指数加权平均s momentum*s (1-momentum)*w.gradprint(loss)if __name__ __main__:train()5.5Adam
AdamAdaptive Moment Estimation算法将动量法和RMSProp的优点结合在一起
动量法通过一阶动量即梯度的指数加权平均来加速收敛尤其是在有噪声或梯度稀疏的情况下。RMSProp通过二阶动量即梯度平方的指数加权平均来调整学习率使得每个参数的学习率适应其梯度的变化。Momentum 使用指数加权平均计算当前的梯度值、AdaGrad、RMSProp 使用自适应的学习率Adam 结合了 Momentum、RMSProp 的优点使用移动加权平均的梯度和移动加权平均的学习率。使得能够自适应学习率的同时也能够使用 Momentum 的优点。
优点 高效稳健Adam结合了动量法和RMSProp的优势在处理非静态、稀疏梯度和噪声数据时表现出色能够快速稳定地收敛。 自适应学习率Adam通过一阶和二阶动量的估计自适应调整每个参数的学习率避免了全局学习率设定不合适的问题。 适用大多数问题Adam几乎可以在不调整超参数的情况下应用于各种深度学习模型表现良好。
缺点
超参数敏感尽管Adam通常能很好地工作但它对初始超参数如 $ \beta_1 、 、 、 \beta_2$ 和 η \eta η仍然较为敏感有时需要仔细调参。过拟合风险由于Adam会在初始阶段快速收敛可能导致模型陷入局部最优甚至过拟合。因此有时会结合其他优化算法如SGD使用。
import torch# 1.创建一个神经网络继承官方的nn.Module
class mynet(torch.nn.Module):# 2.定义网络结构def __init__(self, input_size, output_size):# 3.初始化父类python语法要求调用super方法生成父类的功能让子类对象去继承super(mynet, self).__init__()# 4.定义网络结构self.hide1 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(input_size, 3), torch.nn.Sigmoid())self.hide2 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(3, 2), torch.nn.Sigmoid())self.hide3 torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(2, 12), torch.nn.Sigmoid())self.out torch.nn.Sequential(torch.nn.Linear(12, output_size), torch.nn.Sigmoid())def forward(self, input):# input.shape[1]x self.hide1(input)x self.hide2(x)x self.hide3(x)pred self.out(x)return preddef train():# 数据集input torch.tensor([[0.5, 0.1],[0.05, 0.180],[0.05, 0.310]])target torch.tensor([[1, 2],[0, 3],[1, 123]], dtypetorch.float32)# 5.创建网络net mynet(2, 2)# 6.定义损失函数loss_func torch.nn.MSELoss()# 7.定义优化器optimizer torch.optim.Adam(net.parameters(), lr0.1)# 8.训练for epoch in range(100):# 9.前向传播y_pred net(input)# 10.计算损失loss loss_func(y_pred, target)# 11.梯度清零optimizer.zero_grad()# 12.反向传播计算每一层的w的梯度值loss.backward()# print(net.hide1[0].weight.data)# 13.梯度更新optimizer.step() # w w -lr*当前的移动指数加权平均s momentum*s (1-momentum)*w.gradprint(loss)if __name__ __main__:train()
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