写给初学网站开发们的一封信,wordpress 主题 functions,更新带动器,友情网一、特征值和特征向量介绍
本章会开启线性代数的新内容。前面的第一部分是关于 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb#xff1a;平衡、均衡和稳定状态#xff1b;现在的第二部分是关于变化的。时间会加入进来 —— 连续时间的微分方程 d u / d t A u \pmb{\textrm{d}…一、特征值和特征向量介绍
本章会开启线性代数的新内容。前面的第一部分是关于 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb平衡、均衡和稳定状态现在的第二部分是关于变化的。时间会加入进来 —— 连续时间的微分方程 d u / d t A u \pmb{\textrm{d}u}/\textrm dtA\boldsymbol u du/dtAu或离散时间的差分方程 u k 1 A u k \boldsymbol u_{k1}A\boldsymbol u_k uk1Auk。这些方程无法用消元法求解。 关键的思想是要避免矩阵 A A A 所带来的复杂性。假设解向量 u ( t ) \boldsymbol u(t) u(t) 固定在向量 x \boldsymbol x x 的方向我们就只需要找到数字随时间变化然后乘上 x \boldsymbol x x。一个数字要比一个向量简单。我们希望 “特征向量”eigenvetors x \boldsymbol x x 在被 A A A 乘后不会改变方向。 矩阵的幂 A , A 2 , A 3 , ⋯ A,A^2,A^3,\cdots A,A2,A3,⋯ 就是一个好的模型假设需要 100 100 100 次方 A 100 A^{100} A100它的列非常接近特征向量 ( 0.6 , 0.4 ) (0.6,0.4) (0.6,0.4) A , A 2 , A 3 [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] , [ 0.70 0.45 0.30 0.55 ] , [ 0.650 0.525 0.350 0.475 ] A 100 [ 0.6000 0.6000 0.4000 0.4000 ] A,A^2,A^3\begin{bmatrix}0.80.3\\0.20.7\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0.700.45\\0.300.55\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0.6500.525\\0.3500.475\end{bmatrix}\kern 10pt\pmb{A^{100}\begin{bmatrix}0.60000.6000\\0.40000.4000\end{bmatrix}} A,A2,A3[0.80.20.30.7],[0.700.300.450.55],[0.6500.3500.5250.475]A100[0.60000.40000.60000.4000] A 100 A^{100} A100 是用 A A A 的特征值eigenvalues求得而不是乘 100 100 100 次矩阵这些特征值这里是 λ 1 \lambda1 λ1 和 λ 1 / 2 \lambda1/2 λ1/2是一种新的看矩阵核心的方法。 在解释特征值前先来解释特征向量。几乎所有的向量被 A A A 乘后都会改变方向某些特殊的向量 x \boldsymbol x x 和 A x A\boldsymbol x Ax 在同一方向这些就是 “特征向量”。 A A A 乘上一个特征向量得到的向量 A x A\boldsymbol x Ax 等于一个数字 λ \lambda λ 乘上原始的向量 x \boldsymbol x x。 基本的方程是 A x λ x 。数字 λ 是 A 的一个特征值。 \color{blue}{基本的方程是\,A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x}。数字\,\lambda\,是\,A\,的一个特征值。 基本的方程是Axλx。数字λ是A的一个特征值。特征值 λ \lambda λ 告诉我们当 A A A 乘上向量 x \boldsymbol x x 后这个向量是被拉伸、压缩、反向还是不变。特征值可以是 λ 2 \lambda2 λ2或 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21或 − 1 -1 −1 或 1 1 1它还可以为零则 A x 0 x A\boldsymbol x0\boldsymbol x Ax0x 表明特征向量 x \boldsymbol x x 是在零空间中。 如果 A A A 是单位矩阵则每个向量都有 A x x A\boldsymbol x\boldsymbol x Axx所有的向量都是 I I I 的特征向量所有的特征值都是 λ 1 \lambda1 λ1这不是常见的情况。大部分 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵有两个方向的特征向量和两个特征值。后面会证明 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0。 如何计算特征向量 x \boldsymbol x x 和特征值 λ \lambda λ 呢下面以 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵为例我们使用 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0 来求特征值。
【例1】矩阵 A A A 有两个特征值 λ 1 \lambda1 λ1 和 λ 1 2 \lambda\displaystyle\frac{1}{2} λ21检验 det ( A − λ I ) \det (A-\lambda I) det(A−λI) A [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] det [ 0.8 − λ 0.3 0.2 0.7 − λ ] λ 2 − 3 2 λ 1 2 ( λ − 1 ) ( λ − 1 2 ) A\begin{bmatrix}0.80.3\\0.20.7\end{bmatrix}\kern 10pt\det\begin{bmatrix}0.8-\lambda0.3\\0.20.7-\lambda\end{bmatrix}\lambda^2-\frac{3}{2}\lambda\frac{1}{2}(\lambda-1)(\lambda-\frac{1}{2}) A[0.80.20.30.7]det[0.8−λ0.20.30.7−λ]λ2−23λ21(λ−1)(λ−21)将二次多项式分解成 λ − 1 \lambda-1 λ−1 乘 λ − 1 2 \lambda -\displaystyle\frac{1}{2} λ−21可以得到两个特征值是 λ 1 \pmb{\lambda1} λ1 和 λ 1 2 \pmb{\lambda\displaystyle\frac{1}{2}} λ21。这些数字使得矩阵 A − λ I A-\lambda I A−λI 是奇异的行列式为零特征向量 x 1 \boldsymbol x_1 x1 和 x 2 \boldsymbol x_2 x2 在 A − I A-I A−I 和 A − 1 2 I A-\displaystyle\frac{1}{2}I A−21I 的零空间中。 ( A − I ) x 1 0 (A-I)\boldsymbol x_1\boldsymbol 0 (A−I)x10 是 A x 1 x 1 A\boldsymbol x_1\boldsymbol x_1 Ax1x1第一个特征向量是 ( 0.6 , 0.4 ) (\pmb{0.6,0.4}) (0.6,0.4)。 ( A − 1 2 I ) x 2 0 (A-\displaystyle\frac{1}{2}I)\boldsymbol x_2\boldsymbol 0 (A−21I)x20 是 A x 2 1 2 x 2 A\boldsymbol x_2\displaystyle\frac{1}{2}\boldsymbol x_2 Ax221x2第二个特征向量是 ( 1 , − 1 ) (\pmb{1,-1}) (1,−1) x 1 [ 0.6 0.4 ] 和 A x 1 [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] [ 0.6 0.4 ] x 1 ( A x x 表明 λ 1 ) x 2 [ 1 − 1 ] 和 A x 2 [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] [ 1 − 1 ] [ 0.5 − 0.5 ] ( 这是 1 2 x 2 , 所以 λ 1 2 ) \begin{array}{l}\boldsymbol x_1\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}\kern 5pt和\kern 5ptA\boldsymbol x_1\begin{bmatrix}0.80.3\\0.20.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}\boldsymbol x_1\kern 10pt(A\boldsymbol x\boldsymbol x\,表明\,\lambda1)\\\,\\\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}\kern 5pt和\kern 5ptA\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}0.80.3\\0.20.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt0.5\\-0.5\end{bmatrix}\kern 10pt(这是\,\displaystyle\frac{1}{2}\boldsymbol x_2,所以\,\lambda\frac{1}{2})\end{array} x1[0.60.4]和Ax1[0.80.20.30.7][0.60.4]x1(Axx表明λ1)x2[1−1]和Ax2[0.80.20.30.7][1−1][0.5−0.5](这是21x2,所以λ21)如果 x 1 \boldsymbol x_1 x1 再被 A A A 乘我们仍然会得到 x 1 \boldsymbol x_1 x1 A A A 的幂会得到 A n x 1 x 1 A^n\boldsymbol x_1\boldsymbol x_1 Anx1x1。 x 2 \boldsymbol x_2 x2 被 A A A 乘得到 1 2 x 2 \displaystyle\frac{1}{2}\boldsymbol x_2 21x2如果再被 A A A 乘得到 ( 1 2 ) 2 \Big(\displaystyle\frac{1}{2}\Big)^2 (21)2 乘 x 2 \boldsymbol x_2 x2。 若 A 取平方特征向量不变特征值也取平方。 \color{blue}若\,A\,取平方特征向量不变特征值也取平方。 若A取平方特征向量不变特征值也取平方。这种模式会保持下去因为特征向量保持自己的方向不会被混淆Figure 6.1 A 100 A^{100} A100 的特征向量也是同样的 x 1 \boldsymbol x_1 x1 和 x 2 \boldsymbol x_2 x2 A 100 A^{100} A100 的特征值是 1 100 1 1^{100}1 11001 和 ( 1 2 ) 100 \Big(\displaystyle\frac{1}{2}\Big)^{100} (21)100 非常小的数。 其它的向量会改变方向但是其它的所有向量都是这两个特征向量的组合 A A A 的第一列是组合 x 1 ( 0.2 ) x 2 \boldsymbol x_1(0.2)\boldsymbol x_2 x1(0.2)x2 分开特征向量 然后用 A 乘 [ 0.8 0.2 ] x 1 ( 0.2 ) x 2 [ 0.6 0.4 ] [ 0.2 − 0.2 ] ( 6.1.1 ) \begin{array}{l}\pmb{分开特征向量}\\\pmb{然后用\,A\,乘}\end{array}\kern 20pt\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}\boldsymbol x_1(0.2)\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt0.2\\-0.2\end{bmatrix}\kern 10pt(6.1.1) 分开特征向量然后用A乘[0.80.2]x1(0.2)x2[0.60.4][0.2−0.2](6.1.1) 我们分开乘 x 1 \boldsymbol x_1 x1 和 ( 0.2 ) x 2 (0.2)\boldsymbol x_2 (0.2)x2 A A A 乘上 x 2 \boldsymbol x_2 x2 就是它的特征值 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21 乘上 x 2 \boldsymbol x_2 x2 λ i 乘上每个 x i A [ 0.8 0.2 ] x 1 1 2 ( 0.2 ) x 2 [ 0.6 0.4 ] [ 0.1 − 0.1 ] [ 0.7 0.3 ] \pmb{\lambda_i\,乘上每个\,\boldsymbol x_i}\kern 15ptA\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}\boldsymbol x_1\frac{1}{2}(0.2)\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt0.1\\-0.1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.7\\0.3\end{bmatrix} λi乘上每个xiA[0.80.2]x121(0.2)x2[0.60.4][0.1−0.1][0.70.3]当我们用 A A A 乘上向量时每个特征向量被它的特征值所乘。每一步 x 1 \boldsymbol x_1 x1 不变 x 2 \boldsymbol x_2 x2 被 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21 乘所以 99 99 99 步得到一个很小的数 ( 1 2 ) 99 \displaystyle\Big(\frac{1}{2}\Big)^{99} (21)99 A 99 [ 0.8 0.2 ] 实际上就是 x 1 ( 0.2 ) ( 1 2 ) 99 x 2 [ 0.6 0.4 ] [ 非常 小的 向量 ] \boxed{A^{99}\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}\kern 5pt实际上就是\kern 5pt\boldsymbol x_1(0.2)\big(\frac{1}{2}\big)^{99}\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}非常\\小的\\向量\end{bmatrix}} A99[0.80.2]实际上就是x1(0.2)(21)99x2[0.60.4] 非常小的向量 这就是 A 100 A^{100} A100 的第一列我们前面写的 0.6000 0.6000 0.6000 并不是很准确我们省略了 ( 0.2 ) ( 1 2 ) 100 (0.2)\big(\displaystyle\frac{1}{2}\big)^{100} (0.2)(21)100这个数在小数点 30 30 30 位以后了。 特征向量 x 1 \boldsymbol x_1 x1 是一个不会变化的 “稳定状态”因为 λ 1 1 \lambda_11 λ11特征向量 x 2 \boldsymbol x_2 x2 是一个几乎消失的 “衰减模式”因为 λ 2 0.5 \lambda_20.5 λ20.5 A A A 的幂越高它的列就越趋于稳定状态。 这个特殊的 A A A 是一个马尔可夫矩阵Markov matrix它最大的特征值是 λ 1 \lambda1 λ1它的特征向量 x 1 ( 0.6 , 0.4 ) \boldsymbol x_1(0.6,0.4) x1(0.6,0.4) 是稳定状态 —— A k A^{k} Ak 的所有列都会趋近于它。 对于投影矩阵 P P P我们可以看到什么时候 P x P\boldsymbol x Px 平行于 x \boldsymbol x x。 对应的 λ 1 \lambda1 λ1 和 λ 0 \lambda0 λ0 的特征向量填满列空间和零空间列空间不变 P x x P\boldsymbol x\boldsymbol x Pxx零空间变为零 P x 0 x P\boldsymbol x0\boldsymbol x Px0x。
【例2】投影矩阵 P [ 0.5 0.5 0.5 0.5 ] P\begin{bmatrix}0.50.5\\0.50.5\end{bmatrix} P[0.50.50.50.5] 有特征值 λ 1 \lambda1 λ1 和 λ 0 \lambda0 λ0。 它的特征向量是 x 1 ( 1 , 1 ) \boldsymbol x_1(1,1) x1(1,1) 和 x 2 ( 1 , − 1 ) \boldsymbol x_2(1,-1) x2(1,−1)对于这些向量有 P x 1 x 2 P\boldsymbol x_1\boldsymbol x_2 Px1x2稳定状态和 P x 2 0 P\boldsymbol x_2\boldsymbol 0 Px20零空间。本例说明了马尔可夫矩阵、奇异矩阵和对称矩阵最重要它们都有特殊的特征值 λ \lambda λ 和特征向量 x \boldsymbol x x
马尔可夫矩阵 P P P 的每一列相加为 1 1 1所以 λ 1 \lambda1 λ1 是一个特征值。这是因为 A − I A-I A−I 是奇异的因为每列的和为零。 P P P 是奇异的所以 λ 0 \lambda0 λ0 是一个特征值。 P P P 是对称的所以它的特征向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 和 ( 1 , − 1 ) (1,-1) (1,−1) 垂直。
投影矩阵的特征值只有 0 0 0 和 1 1 1对于 λ 0 \lambda0 λ0 的特征向量即 P x 0 x P\boldsymbol x0\boldsymbol x Px0x填满了零空间对于 λ 1 \lambda1 λ1 的特征向量即 P x x P\boldsymbol x\boldsymbol x Pxx充满了列空间零空间投影到零列空间投影到它自己。投影维持列空间不变而摧毁零空间 投影每个部分 v [ 1 − 1 ] [ 2 2 ] 投影到 P v [ 0 0 ] [ 2 2 ] \pmb{投影每个部分}\kern 10pt\boldsymbol v\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\kern 10pt\pmb{投影到}\kern 10ptP\boldsymbol v\begin{bmatrix}\pmb0\\\pmb0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb2\\\pmb2\end{bmatrix} 投影每个部分v[1−1][22]投影到Pv[00][22]投影有 λ 0 \lambda0 λ0 和 1 1 1置换的所有 ∣ λ ∣ 1 |\lambda|1 ∣λ∣1。下一个矩阵 R R R 是一个反射矩阵同样也是一个置换矩阵 R R R 也有特殊的特征值。
【例3】反射矩阵 R [ 0 1 1 0 ] R\begin{bmatrix}01\\10\end{bmatrix} R[0110] 有特征值 1 1 1 和 − 1 -1 −1。 R R R 不会改变特征向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)它会反转第二个特征向量 ( 1 , − 1 ) (1,-1) (1,−1) 的符号。一个没有负元素的矩阵也可能有负的特征值 R R R 的特征向量和 P P P 的一样因为 r e f l e c t i o n 2 ( p r o j e c t i o n ) − I reflection 2(projection)- I reflection2(projection)−I R 2 P − I [ 0 1 1 0 ] 2 [ 0.5 0.5 0.5 0.5 ] − [ 1 0 0 1 ] ( 6.1.2 ) \pmb{R2P-I}\kern 20pt\begin{bmatrix}01\\10\end{bmatrix}2\begin{bmatrix}0.50.5\\0.50.5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}10\\01\end{bmatrix}\kern 20pt(6.1.2) R2P−I[0110]2[0.50.50.50.5]−[1001](6.1.2)当一个矩阵平移 I I I它的每个 λ \lambda λ 平移 1 1 1。 特征向量不变。
二、特征值方程
我们通过几何求得了投影矩阵的特征值 λ \lambda λ 和特征向量 x \boldsymbol x x P x x P\boldsymbol x\boldsymbol x Pxx 和 P x 0 P\boldsymbol x\boldsymbol 0 Px0。其它的矩阵我们要用行列式和线性代数来求解特征值和特征向量这是关键的计算 —— 几乎所有的应用都是由求解 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx 开始的。 首先将 λ x \lambda\boldsymbol x λx 移到左边将方程 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx 写成 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0矩阵 A − λ I A-\lambda I A−λI 乘上特征向量 x \boldsymbol x x 得到零向量。特征向量构成了 A − λ I A-\lambda I A−λI 的零空间。 当我们已知特征值 λ \lambda λ 后就可以通过解 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0 来求得特征向量。 首先是特征值如果 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0 有非零解则 A − λ I A-\lambda I A−λI 不可逆 A − λ I A-\lambda I A−λI 的行列式一定为零。这就是求出特征值 λ \lambda λ 的方法 特征值 当且仅当 A − λ I 奇异时数字 λ 是 A 的特征值 特征值方程 det ( A − λ I ) 0 ( 6.1.3 ) \begin{array}{lc}\pmb{特征值}\boxed{当且仅当\,A-\lambda I\,奇异时数字\,\lambda\,是\,A\,的特征值}\\\\ \pmb{特征值方程}\boxed{\det(A-\lambda I)0}\kern 40pt(6.1.3)\end{array} 特征值特征值方程当且仅当A−λI奇异时数字λ是A的特征值det(A−λI)0(6.1.3) “特征多项式”characteristic polynomial det ( A − λ I ) \det(A-\lambda I) det(A−λI) 只与 λ \lambda λ 有关和 x \boldsymbol x x 无关。当 A A A 是 n × n n\times n n×n 的矩阵时式6.1.3的次数为 n n n则 A A A 有 n n n 个特征值有可能重复每个 λ \lambda λ 求得 x \boldsymbol x x 对每个特征值 λ \lambda λ 解 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0 或 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx 得到一个特征向量 x \boldsymbol x x。 【例4】 A [ 1 2 2 4 ] A\begin{bmatrix}\pmb1\pmb2\\\pmb2\pmb4\end{bmatrix} A[1224] 已经是一个奇异矩阵行列式为零。求它的特征值 λ ′ s \lambdas λ′s 和特征向量 x ′ s \boldsymbol xs x′s。 当 A A A 是奇异 λ 0 \lambda0 λ0 是它的一个特征值方程 A x 0 x A\boldsymbol x0\boldsymbol x Ax0x 有解它们是 λ 0 \lambda0 λ0 的特征向量。但是 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0 是求出所有 λ ′ s \lambdas λ′s 和 x ′ s \boldsymbol xs x′s 的方法总是从 A A A 减去 λ I \lambda I λI 从对角线减去 λ 得 A − λ I [ 1 − λ 2 2 4 − λ ] ( 6.1.4 ) \pmb{从对角线减去\,\lambda\,得}\kern 10ptA-\lambda I\begin{bmatrix}1-\lambda2\\24-\lambda\end{bmatrix}\kern 20pt(6.1.4) 从对角线减去λ得A−λI[1−λ224−λ](6.1.4)计算这个 2 × 2 2\times2 2×2 矩阵的行列式 “ a d − b c ad-bc ad−bc”“ a d ad ad” 部分是 1 − λ 1-\lambda 1−λ 乘 4 − λ 4-\lambda 4−λ 等于 λ 2 − 5 λ 4 \lambda^2-5\lambda4 λ2−5λ4“ b c bc bc” 部分不包含 λ \lambda λ是 2 2 2 乘 2 2 2。 det [ 1 − λ 2 2 4 − λ ] ( 1 − λ ) ( 4 − λ ) − ( 2 ) ( 2 ) λ 2 − 5 λ ( 6.1.5 ) \det\begin{bmatrix}1-\lambda2\\24-\lambda\end{bmatrix}(1-\lambda)(4-\lambda)-(2)(2)\lambda^2-5\lambda\kern 10pt(6.1.5) det[1−λ224−λ](1−λ)(4−λ)−(2)(2)λ2−5λ(6.1.5)令行列式 λ 2 − 5 λ \lambda^2-5\lambda λ2−5λ 为零一个解是 λ 0 \lambda0 λ0和预期一致因为 A A A 奇异。分解成 λ \lambda λ 乘 λ − 5 \lambda-5 λ−5另一个根是 λ 5 \lambda5 λ5 det ( A − λ I ) λ 2 − 5 λ 0 \boxed{\det(A-\lambda I)\lambda^2-5\lambda0} det(A−λI)λ2−5λ0 得到特征值 λ 1 0 \boxed{\lambda_10} λ10 和 λ 2 5 \boxed{\lambda_25} λ25。 现在求特征向量。分别求解 λ 1 0 \lambda_10 λ10 和 λ 2 5 \lambda_25 λ25 时的 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0 λ 1 0 时有 ( A − 0 I ) x [ 1 2 2 4 ] [ y z ] [ 0 0 ] 得到一个特征向量 [ y z ] [ 2 − 1 ] λ 2 5 时有 ( A − 5 I ) x [ − 4 2 2 − 1 ] [ y z ] [ 0 0 ] 得到一个特征向量 [ y z ] [ 1 2 ] \lambda_10\,时有(A-0I)\boldsymbol x\begin{bmatrix}12\\24\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}得到一个特征向量\boxed{\begin{bmatrix}y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\-1\end{bmatrix}}\kern 8pt\\\,\\\lambda_25\,时有(A-5I)\boldsymbol x\begin{bmatrix}-4\kern 7pt2\\\kern 7pt2-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}得到一个特征向量\boxed{\begin{bmatrix}y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}} λ10时有(A−0I)x[1224][yz][00]得到一个特征向量[yz][2−1]λ25时有(A−5I)x[−422−1][yz][00]得到一个特征向量[yz][12]矩阵 A − 0 I A-0I A−0I 和 A − 5 I A-5I A−5I 都是奇异的因为 0 0 0 和 5 5 5 都是特征值特征向量 ( 2 , − 1 ) (2,-1) (2,−1) 和 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 在零空间中 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0 就是 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx。 需要强调的是 λ 0 \lambda0 λ0 并不是什么特殊的情况它像其它数字一样零可能是特征值也可能不是。如果 A A A 是奇异矩阵则 λ 0 \lambda0 λ0 的特征向量充满零空间 A x 0 x 0 A\boldsymbol x0\boldsymbol x\boldsymbol 0 Ax0x0。如果 A A A 可逆则 0 0 0 不是特征值。我们将 A A A 平移 I I I 的倍数使它奇异。 本例中平移后的矩阵 A − 5 I A-5I A−5I 是奇异的 5 5 5 是另一个特征值。 总结 对于求解 n × n n\times n n×n 矩阵的特征值问题遵循以下步骤 计算 A − λ I 的行列式 \color{blue}计算\,A-\lambda I\,的行列式 计算A−λI的行列式。对角线减去 λ \lambda λ这个行列式是以 λ n \lambda^n λn 或 − λ n -\lambda^n −λn 开始它是一个 n n n 次多项式。 求多项式的根 \color{blue}求多项式的根 求多项式的根。解 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0它的 n n n 个根就是 A A A 的 n n n 个特征值它们使得 A − λ I A-\lambda I A−λI 奇异。对于每个特征值 λ \lambda λ 解 ( A − λ I ) x 0 求得一个特征向量 x \color{blue}解\,(A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0求得一个特征向量\,\boldsymbol x 解(A−λI)x0求得一个特征向量x。 关于 2 × 2 2\times2 2×2 矩阵特征向量的注解当 A − λ I A-\lambda I A−λI 奇异它的每行都是向量 ( a , b ) (a,b) (a,b) 的倍数特征向量是 ( b , − a ) (b,-a) (b,−a) 的任意倍数。此例有 λ 0 A − 0 I 的行是方向 ( 1 , 2 ) ; 特征向量的方向是 ( 2 , − 1 ) λ 5 A − 5 I 的行是方向 ( − 4 , 2 ) ; 特征向量的方向是 ( 2 , 4 ) \lambda0A-0I\,的行是方向\,(1,2);特征向量的方向是\,(2,-1)\\\lambda5A-5I\,的行是方向\,(-4,2);特征向量的方向是\,(2,4) λ0A−0I的行是方向(1,2);特征向量的方向是(2,−1)λ5A−5I的行是方向(−4,2);特征向量的方向是(2,4)前面我们将后一个特征向量写成 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)向量 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 和 ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4) 都是正确的这一整条线都是特征向量 —— x \boldsymbol x x 的任意非零的倍数与 x \boldsymbol x x 一样。MATLAB 中 eig(A) 会除以它自身的长度将这个特征向量变为单位向量。 警告某些 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵只有一条直线上的特征向量这只会发生在两个特征值相等的情况下。另一种情况是 A I AI AI 它有相等的特征值但是有整个空间的特征向量。如果没有完整的一组特征向量我们就没法得到一组基就不可能将每个向量 v \boldsymbol v v 都写成特征向量的组合。如果没有 n n n 个无关的特征向量就无法对角化一个矩阵。
三、行列式和迹
首先是一个不好的消息如果将 A A A 的一行加到另外一行或者交换行特征值通常会发生改变。消元无法维持 λ \lambda λ 不变。三角矩阵 U U U 的特征值在他的对角线上 —— 就是它们的主元。但是它们不是 A A A 的特征值当行 1 1 1 加到行 2 2 2 后特征值会改变 U [ 1 3 0 0 ] 的特征值是 λ 0 和 λ 1 ; A [ 1 3 2 6 ] 的特征值是 λ 0 和 λ 7 U\begin{bmatrix}13\\00\end{bmatrix}的特征值是\,\lambda0\,和\lambda1;\kern 5ptA\begin{bmatrix}13\\26\end{bmatrix}的特征值是\,\lambda0\,和\,\lambda7 U[1030]的特征值是λ0和λ1;A[1236]的特征值是λ0和λ7然后是一个好的消息 λ 1 \lambda_1 λ1 与 λ 2 \lambda_2 λ2 的乘积和 λ 1 \lambda_1 λ1 与 λ 2 \lambda_2 λ2 的和可以很快的通过矩阵求得。对于这个 A A A乘积是 0 0 0 乘 7 7 7它和行列式是一样的都是 0 0 0特征值的和是 0 7 07 07这个就是主对角线的和这个称为迹就是 1 6 16 16。这些可以用来快速检验 n n n 个特征值的乘积等于行列式。 n n n 个特征值的和等于 n n n 个对角线元素之和。 沿着主对角线的元素之和称为 A A A 的迹trace λ 1 λ 2 ⋯ λ n t r a c e a 11 a 22 ⋯ a n n ( 6.1.6 ) {\color{blue}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\pmb{trace}a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn}}\kern 20pt(6.1.6) λ1λ2⋯λntracea11a22⋯ann(6.1.6) 这些对于检验很有用虽说我们无法用它来计算 λ \lambda λ但是当我们计算错误时可以很方便的检查出来。要正确计算 λ \lambda λ我们还需要使用 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0。 当矩阵是 2 × 2 2\times2 2×2 时迹和行列式会告诉我们所有的东西。下面是迹 t r a c e 3 trace\pmb3 trace3 和 det 2 \det \pmb2 det2所以它们的特征值是 λ 1 \lambda\pmb1 λ1 和 2 \pmb2 2 A [ 1 9 0 2 ] 或 [ 3 1 − 2 0 ] 或 [ 7 − 3 10 − 4 ] ( 6.1.7 ) A\begin{bmatrix}19\\02\end{bmatrix}\kern 3pt或\kern 3pt\begin{bmatrix}\kern 7pt31\\-20\end{bmatrix}\kern 3pt或\kern 3pt\begin{bmatrix}7-3\\10-4\end{bmatrix}\kern 20pt(6.1.7) A[1092]或[3−210]或[710−3−4](6.1.7)找到特征值的最佳矩阵三角矩阵。 三角矩阵的特征值都在对角线上 \color{blue}三角矩阵的特征值都在对角线上 三角矩阵的特征值都在对角线上原因对于三角矩阵其特征值方程为 ( a 11 − λ ) ( a 22 − λ ) ⋯ ( a n n − λ ) 0 (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda)0 (a11−λ)(a22−λ)⋯(ann−λ)0所以解即为对角线的元素即特征值都在对角线上。
四、虚数特征值
特征值不一定都是实数。 【例5】 90 ° 90° 90° 的旋转矩阵 Q [ 0 − 1 1 0 ] Q\begin{bmatrix}0-1\\1\kern 7pt0\end{bmatrix} Q[01−10] 没有实数特征值。它的特征值是 λ 1 i \lambda_1i λ1i 和 λ 2 − i \lambda_2-i λ2−i则 λ 1 λ 2 t r a c e 0 \lambda_1\lambda_2trace0 λ1λ2trace0 λ 1 λ 2 d e t e r m i n a n t 1 \lambda_1\lambda_2determinant1 λ1λ2determinant1。 没有实数向量 x \boldsymbol x x 旋转后的向量 Q x Q\boldsymbol x Qx 与它的方向保持一致 x 0 \boldsymbol x\boldsymbol 0 x0 是无用的向量。除非使用虚数不然实数情况下没有特征向量。 Q 2 Q^2 Q2 就是 − I -I −I如果 Q Q Q 是旋转 90 ° 90° 90°那么 Q 2 Q^2 Q2 就是旋转 180 ° 180° 180°它的特征值就是 − 1 -1 −1 和 − 1 -1 −1当然有 − I x − 1 x -I\boldsymbol x-1\boldsymbol x −Ix−1x. 对 Q Q Q 平方也会将它的每个 λ \lambda λ 平方所以有 λ 2 − 1 \lambda^2-1 λ2−1 90 ° 90° 90° 的旋转矩阵 Q Q Q 的特征值就是 i i i 和 − i -i −i因为 i 2 − 1 i^2-1 i2−1 i − 1 i\sqrt{-1} i−1 。 这两个 λ \lambda λ 也可以通过 det ( Q − λ I ) 0 \det(Q-\lambda I)0 det(Q−λI)0 求得特征值方程可以得到 λ 2 1 0 \lambda^210 λ210它的根是 i i i 和 − i -i −i在特征向量中也会出现虚数 i i i 复数特征向量 [ 0 − 1 1 0 ] [ 1 i ] − i [ 1 i ] 和 [ 0 − 1 1 0 ] [ i 1 ] i [ i 1 ] \pmb{复数特征向量}\kern 15pt\begin{bmatrix}0-1\\1\kern 7pt0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}-i\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}\kern 4pt和\kern 4pt\begin{bmatrix}0-1\\1\kern 7pt0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}i\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix} 复数特征向量[01−10][1i]−i[1i]和[01−10][i1]i[i1]这些复数向量 x 1 ( 1 , i ) \boldsymbol x_1(1,i) x1(1,i) 和 x 2 ( i , 1 ) \boldsymbol x_2(i,1) x2(i,1) 在旋转后仍然维持着它们原来的方向。这个例子指出了最重要的一点实数矩阵很容易有复数特征值和复数特征向量这些特殊的特征值 i i i 和 − i -i −i 也表明了 Q Q Q 的两个特殊性质 Q Q Q 是一个正交矩阵所以每个 λ \lambda λ 的绝对值是 ∣ λ ∣ 1 |\lambda|1 ∣λ∣1. Q Q Q 是一个反对称矩阵所以每个 λ \lambda λ 都是纯虚数。
对称矩阵 S T S S^TS STS 可以类比成实数反对称矩阵 A T − A A^T-A AT−A 可以类比为虚数正交矩阵 Q T Q I Q^TQI QTQI 可以对应 ∣ λ ∣ 1 |\lambda|1 ∣λ∣1 的复数。 S 、 A S、A S、A 和 Q Q Q 的特征值来说不只是类比而是事实。 这些特殊矩阵的特殊向量都相互垂直 ( i , 1 ) (i,1) (i,1) 和 ( 1 , i ) (1,i) (1,i) 也垂直复数的点积。
五、AB 和 AB 的特征值
第一个关于 A B AB AB 特征值的猜想是错误的 A A A 的特征值 λ \lambda λ 乘上 B B B 的特征值 β \beta β 通常不等于 A B AB AB 的特征值 错误证明 A B x A β x β A x β λ x ( 6.1.8 ) \pmb{错误证明}\kern 30ptAB\boldsymbol xA\beta\boldsymbol x\beta A\boldsymbol x\beta\lambda\boldsymbol x\kern 10pt(6.1.8) 错误证明ABxAβxβAxβλx(6.1.8)上面看起来 β \beta β 乘上 λ \lambda λ 是一个特征值但是只有当 x \boldsymbol x x 是 A A A 和 B B B 的特征向量时这个证明才是正确的。这个错误是假设了 A A A 和 B B B 有相同的特征向量 x \boldsymbol x x。通常这个假设是不成立的 A A A 的特征向量一般情况想并不是 B B B 的特征向量。下例中 A A A 和 B B B 的特征值都是零然而 1 1 1 却是 A B AB AB 的特征值 A [ 0 1 0 0 ] , B [ 0 0 1 0 ] ; 则 A B [ 1 0 0 0 ] , A B [ 0 1 1 0 ] A\begin{bmatrix}01\\00\end{bmatrix},\kern 5ptB\begin{bmatrix}00\\10\end{bmatrix};\kern 5pt则\,AB\begin{bmatrix}10\\00\end{bmatrix},\kern 5ptAB\begin{bmatrix}01\\10\end{bmatrix} A[0010],B[0100];则AB[1000],AB[0110]同样的理由 A B AB AB 的特征值通常也不是 λ β \lambda\beta λβ本例中 λ β 0 \lambda\beta0 λβ0而 A B AB AB 的特征值是 1 1 1 和 − 1 -1 −1至少它们的和为零。 前面的错误证明需要附加一个条件假设 x \boldsymbol x x 确实同时是 A A A 和 B B B 的特征向量则有 A B x λ β x AB\boldsymbol x\lambda\beta\boldsymbol x ABxλβx 且 B A x λ β x BA\boldsymbol x\lambda\beta\boldsymbol x BAxλβx若所有的 n n n 个特征向量都一样我们就可以将特征值相乘。 A B B A ABBA ABBA 特征向量的测试在量子力学中很重要 —— 这个是线性代数的应用 当且仅当 A B B A ABBA ABBA则 A A A 和 B B B 有同样的 n n n 个无关的特征向量。 海森堡不确定原理 \color{blue}海森堡不确定原理 海森堡不确定原理Heisenberg’s uncertainty principle在量子力学中位置矩阵 P P P 和动量矩阵 Q Q Q 不能交换位置实际上 Q P − P Q I QP-PQI QP−PQI这些是无限矩阵。要同时有 P x 0 P\boldsymbol x\boldsymbol 0 Px0 和 Q x 0 Q\boldsymbol x\boldsymbol 0 Qx0 需要 x I x 0 \boldsymbol xI\boldsymbol x\boldsymbol 0 xIx0如果我们知道准确的位置我们就不可能准确的知道动量。海森堡不确定原理 ∣ ∣ P x ∣ ∣ ∣ ∣ Q x ∣ ∣ ≥ 1 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ||P\boldsymbol x||||Q\boldsymbol x||\geq\frac{1}{2}||\boldsymbol x||^2 ∣∣Px∣∣∣∣Qx∣∣≥21∣∣x∣∣2。
六、主要内容总结 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx 说的是特征向量 x \boldsymbol x x 被 A A A 乘前后保持这同样的方向。 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx 也表明 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0这个方程决定了 n n n 个特征值。 A 2 A^2 A2 和 A − 1 A^{-1} A−1 的特征值是 λ 2 \lambda^2 λ2 和 λ − 1 \lambda^{-1} λ−1它们的特征向量一样。特征值的和 λ ′ s \lambdas λ′s 等于 A A A 主对角线元素的和迹。特征值的乘积 λ ′ s \lambdas λ′s 等于 A A A 的行列式。投影矩阵 P P P反射矩阵 R R R 90 ° 90° 90° 旋转矩阵 Q Q Q 有特殊的特征值 1 1 1 0 0 0 − 1 -1 −1 i i i − i -i −i奇异矩阵有 λ 0 \lambda0 λ0三角矩阵的特征值 λ ′ s \lambdas λ′s 在对角线上。矩阵的特殊性质会得到特殊的特征值和特征向量。
七、例题
【例6】求下列矩阵的特征值和特征向量 A 、 A 2 、 A − 1 A、A^2、A^{-1} A、A2、A−1 和 A 4 I A4I A4I。 A [ 2 − 1 − 1 2 ] , A 2 [ 5 − 4 − 4 5 ] A\begin{bmatrix}\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2\end{bmatrix},\kern 5ptA^2\begin{bmatrix}\kern 7pt5-4\\-4\kern 7pt5\end{bmatrix} A[2−1−12],A2[5−4−45]验证迹 λ 1 λ 2 4 \lambda_1\lambda_24 λ1λ24 和行列式 λ 1 λ 2 3 \lambda_1\lambda_23 λ1λ23。 解 A A A 的特征值方程 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0 A [ 2 − 1 − 1 2 ] det ( A − λ I ) ∣ 2 − λ − 1 − 1 2 − λ ∣ λ 2 − 4 λ 3 0 A\begin{bmatrix}\kern 7pt2-1\\-1\kern 7pt2\end{bmatrix}\kern 20pt\det(A-\lambda I)\begin{vmatrix}2-\lambda-1\\-12-\lambda\end{vmatrix}\lambda^2-4\lambda30 A[2−1−12]det(A−λI) 2−λ−1−12−λ λ2−4λ30分解成 ( λ − 1 ) ( λ − 3 ) 0 (\lambda-1)(\lambda-3)0 (λ−1)(λ−3)0所以 A A A 的特征值是 λ 1 1 \lambda_11 λ11 和 λ 2 3 \lambda_23 λ23。迹是 2 2 22 22 等于 1 3 13 13行列式是 3 3 3 等于乘积 λ 1 λ 2 \lambda_1\lambda_2 λ1λ2。 对不同的特征值分别求解 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\boldsymbol x\boldsymbol 0 (A−λI)x0 即 A x λ x A\boldsymbol x\lambda\boldsymbol x Axλx 可得特征向量 λ 1 ( A − I ) x [ 1 − 1 − 1 1 ] [ x y ] [ 0 0 ] 得到特征向量 x 1 [ 1 1 ] λ 3 ( A − 3 I ) x [ − 1 − 1 − 1 − 1 ] [ x y ] [ 0 0 ] 得到特征向量 x 2 [ 1 − 1 ] \begin{array}{l}\pmb{\lambda1}(A-I)\boldsymbol x\begin{bmatrix}\kern 7pt1-1\\-1\kern 7pt1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}得到特征向量\kern 4pt\boldsymbol x_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\\\,\\\pmb{\lambda3}(A-3I)\boldsymbol x\begin{bmatrix}-1-1\\-1-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}得到特征向量\kern 4pt\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}\end{array} λ1(A−I)x[1−1−11][xy][00]得到特征向量x1[11]λ3(A−3I)x[−1−1−1−1][xy][00]得到特征向量x2[1−1] A 2 、 A − 1 A^2、A^{-1} A2、A−1 和 A 4 I A4I A4I 特征向量与 A A A 的相同特征值是 λ 2 、 λ − 1 \lambda^2、\lambda^{-1} λ2、λ−1 和 λ 4 \lambda4 λ4 A 2 的特征值是 1 2 1 和 3 2 9 A − 1 的特征值是 1 1 和 1 3 A 4 I 的特征值是 1 4 5 和 3 4 7 A^2\,的特征值是1^21\,和\,3^29\kern 10ptA^{-1}\,的特征值是\frac{1}{1}\,和\,\frac{1}{3}\kern 10ptA4I\,的特征值是145\,和\,347 A2的特征值是121和329A−1的特征值是11和31A4I的特征值是145和347注 A A A 有正交的特征向量对称矩阵 A A A 可以对角化因为 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1\neq\lambda_2 λ1λ2 A A A 和任意的特征值是 1 1 1 和 3 3 3 的 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵相似 A A A 是一个正定矩阵因为 A A T AA^T AAT 且 λ ′ s \lambdas λ′s 都是正的。
【例7】如果估算任意 A A A 的特征值 戈氏圆盘定理Gershgorin就说明这个问题的。 解 A A A 的每个特征值一定接近至少一个主对角线上的元素 a i i a_{ii} aii。 λ \lambda λ 接近 a i i a_{ii} aii 表示 ∣ a i i − λ ∣ |a_{ii}-\lambda| ∣aii−λ∣ 不大于该行 i i i 的其它元素的绝对值 ∣ a i j ∣ |a_{ij}| ∣aij∣ 的和 R i R_i Ri其中 R i ∑ j ≠ i ∣ a i j ∣ R_i\sum_{j\neq i}|a_{ij}| Ri∑ji∣aij∣ 是以 a i i a_{ii} aii 为中心的圆的半径。 每个 λ 都在一个或多个对角线元素 a i i 为圆心的圆内 ∣ a i i − λ ∣ ≤ R i \pmb{每个\,\lambda\,都在一个或多个对角线元素\,a_{ii}\,为圆心的圆内|a_{ii}-\lambda|\leq R_i} 每个λ都在一个或多个对角线元素aii为圆心的圆内∣aii−λ∣≤Ri原因如果 λ \lambda λ 是一个特征值则 A − λ I A-\lambda I A−λI 不可逆则 A − λ I A-\lambda I A−λI 不可能是对角线优势矩阵diagonally dominant一定可逆所以至少有一个对角线元素 a i i − λ a_{ii}-\lambda aii−λ 不大于该行 i i i 其它元素的绝对值 ∣ a i j ∣ |a_{ij}| ∣aij∣ 的和 R i R_i Ri这里取绝对值 a A A A 的每个特征值 λ \lambda λ 落在一个或两个 Gershgorin circles 中圆心是 a a a 和 d d d半径是 R 1 ∣ b ∣ R_1|b| R1∣b∣ 和 R 2 ∣ c ∣ R_2|c| R2∣c∣。 A [ a b c d ] 第一个圆 ∣ λ − a ∣ ≤ ∣ b ∣ 第二个圆 ∣ λ − d ∣ ≤ ∣ c ∣ A\begin{bmatrix}ab\\cd\end{bmatrix}\kern 15pt\begin{array}{l}第一个圆|\lambda-a|\leq|b|\\第二个圆|\lambda-d|\leq|c|\end{array} A[acbd]第一个圆∣λ−a∣≤∣b∣第二个圆∣λ−d∣≤∣c∣这些圆是在复平面内因为 λ \lambda λ 可以为复数。 b A A A 的所有特征值都在半径为 3 3 3 的圆中圆心是对角线元素 d 1 , d 2 , d 3 d_1,d_2,d_3 d1,d2,d3 A [ d 1 1 2 2 d 2 1 − 1 2 d 3 ] ∣ λ − d 1 ∣ ≤ 1 2 R 1 ∣ λ − d 2 ∣ ≤ 2 1 R 2 ∣ λ − d 3 ∣ ≤ 1 2 R 3 A\begin{bmatrix}\kern 6ptd_112\\\kern 7pt2d_21\\-12d_3\end{bmatrix}\kern 15pt\begin{array}{l}|\lambda-d_1|\leq12R_1\\|\lambda-d_2|\leq21R_2\\|\lambda-d_3|\leq12R_3\end{array} A d12−11d2221d3 ∣λ−d1∣≤12R1∣λ−d2∣≤21R2∣λ−d3∣≤12R3本例中 “接近”near表示距离 d 1 d_1 d1 或 d 2 d_2 d2 或 d 3 d_3 d3 不超过 3 3 3。
【例8】求 3 × 3 3\times3 3×3 对称矩阵 S S S 的特征值和特征向量 对称矩阵 奇异矩阵 迹 1 2 1 4 S [ 1 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 1 ] {\color{blue}\begin{array}{l}对称矩阵\\奇异矩阵\\迹\,1214\end{array}}\kern 20ptS\begin{bmatrix}\kern 7pt1-1\kern 7pt0\\-1\kern 7pt2-1\\\kern 7pt0-1\kern 7pt1\end{bmatrix} 对称矩阵奇异矩阵迹1214S 1−10−12−10−11 解 由于 S S S 的所有行加起来为零向量 x ( 1 , 1 , 1 ) \boldsymbol x(1,1,1) x(1,1,1) 得到 S x 0 S\boldsymbol x\boldsymbol 0 Sx0所以这是 λ 0 \lambda0 λ0 对应的特征向量。要求 λ 2 \lambda_2 λ2 和 λ 3 \lambda_3 λ3 计算这个 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式 det ( S − λ I ) ∣ 1 − λ − 1 0 − 1 2 − λ − 1 0 − 1 1 − λ ∣ ( 1 − λ ) ( 2 − λ ) ( 1 − λ ) − 2 ( 1 − λ ) ( 1 − λ ) [ ( 2 − λ ) ( 1 − λ ) − 2 ] ( 1 − λ ) ( − λ ) ( 3 − λ ) \det(S-\lambda I)\begin{vmatrix}1-\lambda-10\\-12-\lambda-1\\0-11-\lambda\end{vmatrix}(1-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)-2(1-\lambda)(1-\lambda)[(2-\lambda)(1-\lambda)-2]\pmb{(1-\lambda)(-\lambda)(3-\lambda)} det(S−λI) 1−λ−10−12−λ−10−11−λ (1−λ)(2−λ)(1−λ)−2(1−λ)(1−λ)[(2−λ)(1−λ)−2](1−λ)(−λ)(3−λ)由这三个因式可以得到 λ 0 , 1 , 3 \lambda0,1,3 λ0,1,3每个特征值对应一个特征向量或特征向量的直线 x 1 [ 1 1 1 ] S x 1 0 x 1 x 2 [ 1 0 − 1 ] S x 2 1 x 2 x 3 [ 1 − 2 1 ] S x 3 3 x 3 \boldsymbol x_1\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\kern 5ptS\boldsymbol x_10\boldsymbol x_1\kern 10pt\boldsymbol x_2\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\\kern 7pt0\\-1\end{bmatrix}\kern 5ptS\boldsymbol x_21\boldsymbol x_2\kern 10pt\boldsymbol x_3\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-2\\\kern 7pt1\end{bmatrix}\kern 5ptS\boldsymbol x_33\boldsymbol x_3 x1 111 Sx10x1x2 10−1 Sx21x2x3 1−21 Sx33x3此时 S S S 是对称矩阵它的特征向量互相垂直这个例子比较好求出特征值。对于大型矩阵可以使用 eig(A)使用行列式比较麻烦。 完整的指令是 [X,E] eig(A) 得到的 X X X 的列是单位向量。 文章转载自： http://www.morning.rrjzp.cn.gov.cn.rrjzp.cn http://www.morning.pwppk.cn.gov.cn.pwppk.cn http://www.morning.bbjw.cn.gov.cn.bbjw.cn http://www.morning.xhklb.cn.gov.cn.xhklb.cn http://www.morning.zkdmk.cn.gov.cn.zkdmk.cn http://www.morning.tndhm.cn.gov.cn.tndhm.cn http://www.morning.kxgn.cn.gov.cn.kxgn.cn http://www.morning.cbvlus.cn.gov.cn.cbvlus.cn http://www.morning.lzrpy.cn.gov.cn.lzrpy.cn 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