网站开发的现状分析,成都市建设网站首页,湖北省建设厅网站首页,如何创做网站文章目录 一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置五、方阵的行列式结语 一、矩阵的加法 定义2 设有两个 m n m\times n mn橘子 A ( a i j ) 和 B ( b i j ) A(a_{ij})和B(b_{ij}) A(aij)和B(bij),那么矩阵A与B的和记为AB,规定为 A B ( a 11… 文章目录 一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置五、方阵的行列式结语 一、矩阵的加法 定义2 设有两个 m × n m\times n m×n橘子 A ( a i j ) 和 B ( b i j ) A(a_{ij})和B(b_{ij}) A(aij)和B(bij),那么矩阵A与B的和记为AB,规定为 A B ( a 11 b 11 a 12 b 12 ⋯ a 1 n b 1 n a 21 b 21 a 22 b 22 ⋯ a 2 n b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 b m 1 a m 2 b m 2 ⋯ a m n b m n ) AB\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}a_{12}b_{12}\cdotsa_{1n}b_{1n}\\ a_{21}b_{21}a_{22}b_{22}\cdotsa_{2n}b_{2n}\\ \vdots\vdots\vdots\\ a_{m1}b_{m1}a_{m2}b_{m2}\cdotsa_{mn}b_{mn}\\ \end{pmatrix} AB a11b11a21b21⋮am1bm1a12b12a22b22⋮am2bm2⋯⋯⋯a1nb1na2nb2n⋮amnbmn **tips:**只有当两个矩阵是同型矩阵时这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律设ABC都是 m × n m\times n m×n矩阵 A B B A ABBA ABBA ( A B ) C A ( B C ) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC)
设矩阵 A ( a i j ) A(a_{ij}) A(aij)记 − A ( − a i j ) -A(-a_{ij}) −A(−aij)
-A称为矩阵A的负矩阵显示有 A ( − A ) O A(-A)O A(−A)O 矩阵的减法为 A − B A ( − B ) A-BA(-B) A−BA(−B) 二、数与矩阵相乘 定义3 数 λ \lambda λ与矩阵A的乘积记作 λ A 或 A λ \lambda A或A\lambda λA或Aλ,规定为 λ A A λ ( λ a 11 λ a 12 ⋯ λ a 1 n λ a 21 λ a 22 ⋯ λ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ λ a m 1 λ a m 2 ⋯ λ a m n ) \lambda AA\lambda\begin{pmatrix} \lambda a_{11}\lambda a_{12}\cdots\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}\lambda a_{22}\cdots\lambda a_{2n}\\ \vdots\vdots\vdots\\ \lambda a_{m1}\lambda a_{m2}\cdots\lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix} λAAλ λa11λa21⋮λam1λa12λa22⋮λam2⋯⋯⋯λa1nλa2n⋮λamn 数乘矩阵满足下列运算规律设A、B为 m × n m\times n m×n矩阵 λ 、 μ \lambda、\mu λ、μ为数 ( λ μ ) A λ ( μ A ) (\lambda\mu)A\lambda(\mu A) (λμ)Aλ(μA) ( λ μ ) A λ A μ A (\lambda\mu)A\lambda A\mu A (λμ)AλAμA λ ( A B ) λ A λ B \lambda(AB)\lambda A\lambda B λ(AB)λAλB
矩阵加法和数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘 定义4 设 A ( a i j ) 是一个 m × s A(a_{ij})是一个m\times s A(aij)是一个m×s的矩阵, B ( b i j ) 是一个 s × n B(b_{ij})是一个s\times n B(bij)是一个s×n的矩阵那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 m × n m\times n m×n矩阵 C ( c i j ) C(c_{ij}) C(cij)其中 c i j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j ⋯ a i s b s j ∑ k 1 n a i k b j k , ( i 1 , 2 , ⋯ , m ; j 1 , 2 , ⋯ , n ) c_{ij}a_{i1}b_{1j}a_{i2}b_{2j}\cdotsa_{is}b_{sj}\sum_{k1}^na_{ik}b_{jk},(i1,2,\cdots,m;j1,2,\cdots,n) cijai1b1jai2b2j⋯aisbsj∑k1naikbjk,(i1,2,⋯,m;j1,2,⋯,n) 并把此乘积记作 C A B CAB CAB 说明
乘积矩阵 A B C 的 ( i , j ) 元 c i j ABC的(i,j)元c_{ij} ABC的(i,j)元cij就是A的第 i i i行和B的第 j j j列的乘积。只有当第一个矩阵的左矩阵的列数等于第二个矩阵的右矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。
例5 求矩阵 A ( 4 − 1 2 1 1 1 0 3 0 3 1 4 ) 与 B ( 1 2 0 1 3 0 − 1 2 ) A\begin{pmatrix} 4-121\\ 1103\\ 0314\\ \end{pmatrix} 与B\begin{pmatrix} 12\\ 01\\ 30\\ -12\\ \end{pmatrix} A 410−113201134 与B 103−12102 的乘积 C A B ( 4 0 6 − 1 8 − 1 0 2 1 0 0 − 3 2 1 0 6 0 0 3 − 4 0 3 0 8 ) C A B ( 9 9 − 2 9 − 1 11 ) CAB\begin{pmatrix} 406-18-102\\ 100-32106\\ 003-40308\\ \end{pmatrix}\\ CAB\begin{pmatrix} 99\\ -29\\ -111\\ \end{pmatrix} CAB 406−1100−3003−48−10221060308 CAB 9−2−19911 例6 求矩阵 A ( − 2 4 1 − 2 ) 与 B ( 2 4 − 3 − 6 ) A\begin{pmatrix} -24\\ 1-2 \end{pmatrix} 与B\begin{pmatrix} 24\\ -3-6 \end{pmatrix} A(−214−2)与B(2−34−6) 的乘积AB级BA A B ( − 16 − 32 8 16 ) B A ( 0 0 0 0 ) AB\begin{pmatrix} -16-32\\ 816\\ \end{pmatrix}\\ BA\begin{pmatrix} 00\\ 00\\ \end{pmatrix}\\ AB(−168−3216)BA(0000) tips: A B AB AB有意思但是 B A BA BA不一定有意义若 B A BA BA有意义但AB与BA不一定相等。对于n阶方阵A、B若ABBA,则称方阵A与B可交换。若两个矩阵A、B满足 A B O ABO ABO不能得出 A O 或 B O AO或BO AO或BO若 A ̸ O A\notO AO而 A ( X − Y ) O A(X-Y)O A(X−Y)O,不能得出 X Y XY XY的结论。
矩阵的乘法虽不满足交换律但仍满足下列结合律和分配律假设运算都是可行的 ( A B ) C A ( B C ) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) λ ( A B ) ( λ A ) B A ( λ B ) \lambda(AB)(\lambda A)BA(\lambda B) λ(AB)(λA)BA(λB) A ( B C ) A B A C , ( B C ) A B A C A A(BC)ABAC,(BC)ABACA A(BC)ABAC,(BC)ABACA
对于单位矩阵E容易验证 E M A m × n A m × n , A m × n E n A m × n E_MA_{m\times n}A_{m\times n},A_{m\times n}E_nA_{m\times n} EMAm×nAm×n,Am×nEnAm×n
或简写EAAEA
矩阵 ( λ λ ⋱ λ ) \begin{pmatrix} \lambda\\ \lambda\\ \ddots\\ \lambda\\ \end{pmatrix} λλ⋱λ 称为纯量阵。由 ( λ E ) A λ A , A ( λ E ) λ A (\lambda E)A\lambda A,A(\lambda E)\lambda A (λE)AλA,A(λE)λA可知纯量阵 λ E 与矩阵 A \lambda E与矩阵A λE与矩阵A的乘积等于数 λ \lambda λ与A的乘积当A位n阶方阵时有 ( λ E ) A n λ A n A n ( λ E ) (\lambda E)A_n\lambda A_nA_n(\lambda E) (λE)AnλAnAn(λE)
表名纯量阵 λ E \lambda E λE与任何同阶方阵都是可交换的。 矩阵的幂设A是n阶方阵定义 A 1 A , A 2 A 1 A 1 , ⋯ , A k 1 A k A 1 A^1A,A^2A^1A^1,\cdots,A^{k1}A^kA^1 A1A,A2A1A1,⋯,Ak1AkA1 其中 k k k为正整数。 矩阵的幂满足以下运算规律 A K A l A k l , ( A k ) l A k l A^KA^lA^{kl},(A^k)^lA^{kl} AKAlAkl,(Ak)lAkl
当矩阵A与B可交换时满足下列运算规律 ( A B ) k A k B k (AB)^kA^kB^k (AB)kAkBk ( A B ) 2 A 2 2 A B B 2 (AB)^2A^22ABB^2 (AB)2A22ABB2 ( A B ) ( A − B ) A 2 − B 2 (AB)(A-B)A^2-B^2 (AB)(A−B)A2−B2
例7 上阶例1中n元线性方程组(1) { a 11 x 1 a 12 x 2 ⋯ a 1 n x n b 1 , a 21 x 1 a 22 x 2 ⋯ a 2 n x n b 1 , ⋯ ⋯ ⋯ a m x 1 a m 2 x 2 ⋯ a m n x n b 1 , \begin{cases} a_{11}x_1a_{12}x_2\cdotsa_{1n}x_nb_1,\\ a_{21}x_1a_{22}x_2\cdotsa_{2n}x_nb_1,\\ \cdots\cdots\cdots\\ a_{m}x_1a_{m2}x_2\cdotsa_{mn}x_nb_1,\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2⋯a1nxnb1,a21x1a22x2⋯a2nxnb1,⋯⋯⋯amx1am2x2⋯amnxnb1, 利用矩阵乘法可写成矩阵形式 A m × n x n × 1 b m × 1 A_{m\times n}x_{n\times 1}b_{m\times 1} Am×nxn×1bm×1
其中 A ( a i j ) A(a_{ij}) A(aij)为系数矩阵 x ( x 1 x 2 ⋮ x n ) x\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} x x1x2⋮xn 为未知数矩阵 b ( b 1 b 2 ⋮ b m ) b\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix} b b1b2⋮bm 为常数项矩阵。特别当bO时得到吗哥方程的n元齐次线性方程组的矩阵形式 A m × n x n × 1 0 m × 1 A_{m\times n}x_{n\times 1}0_{m\times 1} Am×nxn×10m×1
四、矩阵的转置 定义5 把矩阵A的行换成同序列的列得到一个新的矩阵叫做A的转置矩阵记作 A T A^T AT. 矩阵的转置也是一种运算满足下列运算过滤假设运算都是可行的 ( A T ) T A (A^T)^TA (AT)TA ( A B ) T A T B T (AB)^TA^TB^T (AB)TATBT ( λ A ) T λ A T (\lambda A)^T\lambda A^T (λA)TλAT ( A B ) T B T A T (AB)^TB^TA^T (AB)TBTAT
例8 已知 A ( 2 0 − 1 1 3 2 ) , B ( 1 7 − 1 4 2 3 2 0 1 ) A\begin{pmatrix} 20-1\\ 132\\ \end{pmatrix} ,B\begin{pmatrix} 17-1\\ 423\\ 201\\ \end{pmatrix}\\ A(2103−12),B 142720−131 求 ( A B ) T (AB)^T (AB)T A B A ( 0 14 − 3 17 13 10 ) ( A B ) T ( 0 17 14 13 − 3 10 ) ABA\begin{pmatrix} 014-3\\ 171310\\ \end{pmatrix}\\ (AB)^T\begin{pmatrix} 017\\ 1413\\ -310\\ \end{pmatrix} ABA(0171413−310)(AB)T 014−3171310
五、方阵的行列式 定义6 有n阶方阵A的元素所构成的行列式各元素的位置不变称为方程A的行列式记作 d e t A 或者 ∣ A ∣ det A或者\vert A\vert detA或者∣A∣ 有A确定 ∣ A ∣ \vert A\vert ∣A∣的这个运算满足下述运算规律设A、B位n阶方阵$\lambda $为数: ∣ A T ∣ ∣ A ∣ \vert A^T\vert \vert A\vert ∣AT∣∣A∣ ∣ λ A ∣ λ n ∣ A ∣ |\lambda A\vert \lambda^n \vert A\vert ∣λA∣λn∣A∣ ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ \vert AB\vert \vert A\vert \vert B\vert ∣AB∣∣A∣∣B∣
伴随矩阵
行列式 ∣ A ∣ \vert A\vert ∣A∣的各个元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij所构成的如下的矩阵 A ∗ ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) A^*\begin{pmatrix} A_{11}A_{21}\cdotsA_{n1}\\ A_{12}A_{22}\cdotsA_{n2}\\ \vdots\vdots\vdots\\ A_{1n}A_{2n}\cdotsA_{nn}\\ \end{pmatrix} A∗ A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann 称为矩阵A的伴随矩阵简称伴随阵。 A A ∗ A ∗ A ∣ A ∣ E AA^*A^*A\vert A\vert E AA∗A∗A∣A∣E
结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math 参考
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p29-39.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p9. 文章转载自： http://www.morning.czlzn.cn.gov.cn.czlzn.cn http://www.morning.btrfm.cn.gov.cn.btrfm.cn http://www.morning.kxryg.cn.gov.cn.kxryg.cn http://www.morning.fxjnn.cn.gov.cn.fxjnn.cn http://www.morning.hwbmn.cn.gov.cn.hwbmn.cn http://www.morning.lwnb.cn.gov.cn.lwnb.cn http://www.morning.bpmtz.cn.gov.cn.bpmtz.cn http://www.morning.nfbkz.cn.gov.cn.nfbkz.cn http://www.morning.fmkbk.cn.gov.cn.fmkbk.cn http://www.morning.kzhgy.cn.gov.cn.kzhgy.cn http://www.morning.chxsn.cn.gov.cn.chxsn.cn http://www.morning.zpqlf.cn.gov.cn.zpqlf.cn http://www.morning.kllzy.com.gov.cn.kllzy.com http://www.morning.spxk.cn.gov.cn.spxk.cn http://www.morning.dpppx.cn.gov.cn.dpppx.cn http://www.morning.gnjkn.cn.gov.cn.gnjkn.cn http://www.morning.nytqy.cn.gov.cn.nytqy.cn http://www.morning.mwrxz.cn.gov.cn.mwrxz.cn http://www.morning.snnb.cn.gov.cn.snnb.cn http://www.morning.wncb.cn.gov.cn.wncb.cn http://www.morning.xtyyg.cn.gov.cn.xtyyg.cn http://www.morning.rnzbr.cn.gov.cn.rnzbr.cn http://www.morning.nnwmd.cn.gov.cn.nnwmd.cn http://www.morning.ggxbyhk.cn.gov.cn.ggxbyhk.cn http://www.morning.pxdgy.cn.gov.cn.pxdgy.cn http://www.morning.nykzl.cn.gov.cn.nykzl.cn http://www.morning.czqqy.cn.gov.cn.czqqy.cn http://www.morning.jcwrb.cn.gov.cn.jcwrb.cn http://www.morning.rydhq.cn.gov.cn.rydhq.cn http://www.morning.qzfjl.cn.gov.cn.qzfjl.cn http://www.morning.qkqhr.cn.gov.cn.qkqhr.cn http://www.morning.khpx.cn.gov.cn.khpx.cn http://www.morning.bqmsm.cn.gov.cn.bqmsm.cn http://www.morning.mqbsm.cn.gov.cn.mqbsm.cn http://www.morning.wnywk.cn.gov.cn.wnywk.cn http://www.morning.grxyx.cn.gov.cn.grxyx.cn http://www.morning.xykst.cn.gov.cn.xykst.cn http://www.morning.grxbw.cn.gov.cn.grxbw.cn http://www.morning.xlztn.cn.gov.cn.xlztn.cn http://www.morning.wkjzt.cn.gov.cn.wkjzt.cn http://www.morning.xnkh.cn.gov.cn.xnkh.cn http://www.morning.fhhry.cn.gov.cn.fhhry.cn http://www.morning.pwwjs.cn.gov.cn.pwwjs.cn http://www.morning.wtnwf.cn.gov.cn.wtnwf.cn http://www.morning.qklff.cn.gov.cn.qklff.cn http://www.morning.gbfck.cn.gov.cn.gbfck.cn http://www.morning.krjyq.cn.gov.cn.krjyq.cn http://www.morning.mxcgf.cn.gov.cn.mxcgf.cn http://www.morning.ltypx.cn.gov.cn.ltypx.cn http://www.morning.tqsmg.cn.gov.cn.tqsmg.cn http://www.morning.pxrfm.cn.gov.cn.pxrfm.cn http://www.morning.wdnkp.cn.gov.cn.wdnkp.cn http://www.morning.lhygbh.com.gov.cn.lhygbh.com http://www.morning.mysmz.cn.gov.cn.mysmz.cn http://www.morning.bpmdx.cn.gov.cn.bpmdx.cn http://www.morning.qnhpq.cn.gov.cn.qnhpq.cn http://www.morning.sdamsm.com.gov.cn.sdamsm.com http://www.morning.smszt.com.gov.cn.smszt.com http://www.morning.rrhfy.cn.gov.cn.rrhfy.cn http://www.morning.qfgwx.cn.gov.cn.qfgwx.cn http://www.morning.ysjjr.cn.gov.cn.ysjjr.cn http://www.morning.txltb.cn.gov.cn.txltb.cn http://www.morning.ngznq.cn.gov.cn.ngznq.cn http://www.morning.gzzncl.cn.gov.cn.gzzncl.cn http://www.morning.dmsxd.cn.gov.cn.dmsxd.cn http://www.morning.yrddl.cn.gov.cn.yrddl.cn http://www.morning.ssjry.cn.gov.cn.ssjry.cn http://www.morning.pluimers.cn.gov.cn.pluimers.cn http://www.morning.lktjj.cn.gov.cn.lktjj.cn http://www.morning.grbp.cn.gov.cn.grbp.cn http://www.morning.twgzq.cn.gov.cn.twgzq.cn http://www.morning.bswnf.cn.gov.cn.bswnf.cn http://www.morning.njntp.cn.gov.cn.njntp.cn http://www.morning.pbmkh.cn.gov.cn.pbmkh.cn http://www.morning.ctqbc.cn.gov.cn.ctqbc.cn http://www.morning.yhywx.cn.gov.cn.yhywx.cn http://www.morning.ykwgl.cn.gov.cn.ykwgl.cn http://www.morning.rkdzm.cn.gov.cn.rkdzm.cn http://www.morning.yrhpg.cn.gov.cn.yrhpg.cn http://www.morning.kdpal.cn.gov.cn.kdpal.cn
