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1.二维随机变量及其分布
假设E是随机试验#xff0c;Ω是样本空间#xff0c;X、Y是Ω的两个变量#xff1b;(X,Y)就叫做二维随机变量或二维随机向量。X、Y来自同一个样本空间。
联合分布函数 F ( x , y ) P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)P(X≤x,Y≤…多维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其分布
假设E是随机试验Ω是样本空间X、Y是Ω的两个变量(X,Y)就叫做二维随机变量或二维随机向量。X、Y来自同一个样本空间。
联合分布函数 F ( x , y ) P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)P(X≤x,Y≤y) F(x,y)P(X≤x,Y≤y) 几何意义表示对立体曲线的体积 用平面图形近似表示为
即F(x,y)表示求(x,y)左下方的面积。
性质 10≤F(x,y) ≤1 2F(x,y) 不减例如y固定x1x2F(x1,y)F(x2,y) 3F(-∞,y)F(x,-∞)F(-∞,-∞)0F(∞,∞)1 4F(x,y)分别关于x和y右连续 5 对于 x 1 x 2 y 1 y 2 P ( x 1 X ≤ x 2 y 1 Y ≤ y 2 ) F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) F ( x 1 , y 1 ) 对于x_1x_2y_1y_2\\ P(x_1X≤x_2y_1Y≤y_2) F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)F(x_1,y_1) 对于x1x2y1y2P(x1X≤x2y1Y≤y2)F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)F(x1,y1) 图形解释 P ( x 1 X ≤ x 2 y 1 Y ≤ y 2 ) P(x_1X≤x_2y_1Y≤y_2) P(x1X≤x2y1Y≤y2) 表示求以下图形的面积 等式右边的分布函数用如下图形表示 F ( x 2 , y 2 ) F(x_2,y_2) F(x2,y2) 表示图中蓝色区域 F ( x 2 , y 1 ) F(x_2,y_1) F(x2,y1) 表示红色区域 F ( x 1 , y 2 ) F(x_1,y_2) F(x1,y2) 表示黄色色区域
所以 F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2) F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2) 就是只有蓝色的区域
但是 F ( x 1 , y 1 ) F(x_1,y_1) F(x1,y1) 的区域在减的过程中被减掉了两次需要补回来一次所以 F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) F ( x 1 , y 1 ) F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)F(x_1,y_1) F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)F(x1,y1) 所表示的图形面积才是 P ( x 1 X ≤ x 2 y 1 Y ≤ y 2 ) P(x_1X≤x_2y_1Y≤y_2) P(x1X≤x2y1Y≤y2) 所以 对于 x 1 x 2 y 1 y 2 P ( x 1 X ≤ x 2 y 1 Y ≤ y 2 ) F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) F ( x 1 , y 1 ) 对于x_1x_2y_1y_2\\ P(x_1X≤x_2y_1Y≤y_2) F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)F(x_1,y_1) 对于x1x2y1y2P(x1X≤x2y1Y≤y2)F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)F(x1,y1) 边缘分布
X的边缘分布 F X ( x ) P ( X ≤ x ) F ( x , ∞ ) P ( X ≤ x , Y ∞ ) F_X(x) P(X≤x) F(x,∞) P(X≤x,Y∞) FX(x)P(X≤x)F(x,∞)P(X≤x,Y∞) 这表示在所有可能的 Y 值上X 取值 x 的概率总和。从图形曲线上理解就是求小于x的所有点的面积Y随意取值。
Y的边缘分布 F Y ( y ) P ( Y ≤ y ) F ( ∞ , y ) P ( X ∞ , Y ≤ y ) F_Y(y) P(Y≤y) F(∞,y) P(X∞,Y≤y) FY(y)P(Y≤y)F(∞,y)P(X∞,Y≤y) 表示在所有可能的 X 值上Y 取值 y的概率总和。从图形曲线上理解就是求小于y的所有点的面积X随意取值。
2.二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布
联合概率质量函数 P(Xx,Yy) 描述了随机变量 X 和 Y 同时取特定值 x 和y 的概率。联合PMF满足以下性质 非负性对于所有的 x 和 y有 P(Xx,Yy)≥0。 归一性所有可能的 x 和 y 值的概率之和等于1即 ∑ x ∑ y P ( X x , Y y ) 1 ∑_x∑_yP(Xx,Yy)1 x∑y∑P(Xx,Yy)1
概率分布表解释
假设由一个概率分布表
X\Y123101/21/821/81/81/8
非负性表示分布表中的所有概率都要大于等于0。例如 P ( X 1 , Y 2 ) 1 2 ≥ 0 P ( X 2 , Y 2 ) 1 8 ≥ 0 P(X1,Y2)\dfrac{1}{2}\geq 0\\ P(X2,Y2)\dfrac{1}{8}\geq 0 P(X1,Y2)21≥0P(X2,Y2)81≥0 归一性表示分布表中所有概率之和等于1。
联合分布函数 F ( x , y ) P ( X ≤ x , Y ≤ y ) ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P ( X x , Y y ) F(x,y)P(X\leq x,Y\leq y)∑_{x_i\leq x}∑_{y_j\leq y}P(Xx,Yy) F(x,y)P(X≤x,Y≤y)xi≤x∑yj≤y∑P(Xx,Yy) 概率分布表解释
F(x,y)的值就是在分布表中找到对应的xy对应的位置然后将其左上角的概率相加。
例如 F ( 1 , 2 ) P ( X ≤ 1 , Y ≤ 2 ) P ( 1 , 1 ) P ( 1 , 2 ) 0 1 2 1 2 F ( 2 , 2 ) P ( X ≤ 2 , Y ≤ 2 ) P ( 1 , 1 ) P ( 1 , 2 ) P ( 2 , 1 ) P ( 2 , 2 ) 0 1 2 1 8 1 8 3 4 F(1,2)P(X\leq 1,Y\leq 2)P(1,1)P(1,2)0\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\\ F(2,2)P(X\leq 2,Y\leq 2)P(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)0\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{8}\dfrac{1}{8}\dfrac{3}{4} F(1,2)P(X≤1,Y≤2)P(1,1)P(1,2)02121F(2,2)P(X≤2,Y≤2)P(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)021818143 边缘分布
边缘概率质量函数可以通过对联合PMF的适当求和得到。 边缘PMF P X ( x ) P_X(x) PX(x) 表示随机变量 X 取特定值 x 的概率不考虑 Y的值。计算方法为 P X ( x ) ∑ y P ( X x , Y y ) P_X(x)∑_yP(Xx,Yy) PX(x)y∑P(Xx,Yy) 其中求和是对所有可能的 y 值进行。 边缘PMF P Y ( y ) P_Y(y) PY(y) 表示随机变量 Y取特定值 y 的概率不考虑 X 的值。计算方法为 P Y ( y ) ∑ x P ( X x , Y y ) P_Y(y)∑_xP(Xx,Yy) PY(y)x∑P(Xx,Yy) 其中求和是对所有可能的 x 值进行。
概率分布表解释
对行求和得到对X的边缘分布。
对列求和得到对Y的边缘分布。
例如
X\Y123101/21/821/81/81/8
求X的边缘分布
X12P5/83/8
当X1时求该行的概率之和即01/21/85/8
以此类推。
求Y的边缘分布
Y123P1/85/81/4
当Y1时求该列的概率之和即01/81/8
以此类推。
3.二维连续随机变量的联合密度和边缘密度函数
对于二维连续随机变量 X 和 Y其分布函数为 F ( x , y ) P ( X ≤ x , Y ≤ y ) ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) P(X≤x,Y≤y) ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt F(x,y)P(X≤x,Y≤y)∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt 则F(x,y)是分布函数f(x,y)是联合密度函数。
f(x,y)的性质 非负性对于所有的 x 和 y有 f(x,y)≥0。 归一性在整个 x 和 y 的取值范围上的积分等于1即 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y 1 ∫_{-\infty}^{\infty}∫_{-\infty}^{\infty}f(x,y) dxdy1 ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y) dxdy1 这个积分是对所有可能的 x 和 y 值进行的。
例子
假设联合密度函数 f ( x , y ) { e − ( x y ) , x 0 , y 0 0 , 其它 f(x,y)\begin{cases} e^{-(xy)}, x0,y0\\ 0, 其它 \end{cases} f(x,y){e−(xy),0,x0,y0其它 求分布函数F(x,y)
解
根据分布函数可知 F ( x , y ) P ( X ≤ x , Y ≤ y ) ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) P(X≤x,Y≤y) ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt F(x,y)P(X≤x,Y≤y)∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt 当x0且y0时 ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t ∫ 0 x ∫ 0 y e − ( s t ) d s d t ∫ 0 x e − s d s ∫ 0 y e − t d t ( 1 − e − x ) ( 1 − e − y ) ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt∫_{0}^x∫_{0}^ye^{-(st)}dsdt∫_{0}^xe^{-s}ds∫_{0}^ye^{-t}dt(1-e^{-x})(1-e^{-y}) ∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt∫0x∫0ye−(st)dsdt∫0xe−sds∫0ye−tdt(1−e−x)(1−e−y) 当x,y有一个小于0时 F ( x , y ) P ( X ≤ x , Y ≤ y ) ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t 0 F(x,y) P(X≤x,Y≤y) ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt0 F(x,y)P(X≤x,Y≤y)∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt0 所以 F ( x , y ) { ( 1 − e − x ) ( 1 − e − y ) , x 0 , y 0 0 , 其它 F(x,y)\begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), x0,y0\\ 0, 其它 \end{cases} F(x,y){(1−e−x)(1−e−y),0,x0,y0其它 边缘密度函数
边缘分布函数 F X ( x ) F ( x , ∞ ) ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ ∞ f ( s , t ) d t ] d s F_X(x)F(x,\infty)\int _{-\infty}^x[\int _{-\infty}^{\infty}f(s,t)dt]ds FX(x)F(x,∞)∫−∞x[∫−∞∞f(s,t)dt]ds 求导得出边缘密度函数 f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , t ) d t ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) ∫ − ∞ ∞ f ( s , y ) d s ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_X(x)\int _{-\infty}^{\infty}f(x,t)dt\int _{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\\ f_Y(y)\int _{-\infty}^{\infty}f(s,y)ds\int _{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx fX(x)∫−∞∞f(x,t)dt∫−∞∞f(x,y)dyfY(y)∫−∞∞f(s,y)ds∫−∞∞f(x,y)dx 求X的边缘密度函数就是对y求积分对Y的边缘密度函数就是对x求积分。
例子
假设联合密度函数 f ( x , y ) 1 π 2 ( 1 x 2 ) ( 1 y 2 ) f(x,y)\dfrac{1}{\pi^2(1x^2)(1y^2)} f(x,y)π2(1x2)(1y2)1 求边缘密度函数。
解
对X的边缘密度函数 f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y ∫ − ∞ ∞ 1 π 2 ( 1 x 2 ) ( 1 y 2 ) d y 1 π 2 ( 1 x 2 ) ∫ − ∞ ∞ 1 ( 1 y 2 ) d y 1 π 2 ( 1 x 2 ) ∫ − ∞ ∞ a r c t a n ( y ) ∣ − ∞ ∞ 1 π ( 1 x 2 ) f_X(x)\int _{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\int _{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\pi^2(1x^2)(1y^2)}dy\\ \dfrac{1}{\pi^2(1x^2)}\int _{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{(1y^2)}dy\dfrac{1}{\pi^2(1x^2)}\int _{-\infty}^{\infty}arctan(y)|_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\pi(1x^2)} fX(x)∫−∞∞f(x,y)dy∫−∞∞π2(1x2)(1y2)1dyπ2(1x2)1∫−∞∞(1y2)1dyπ2(1x2)1∫−∞∞arctan(y)∣−∞∞π(1x2)1 对Y的边缘密度函数 f Y ( y ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y 1 π ( 1 y 2 ) f_Y(y)\int _{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\dfrac{1}{\pi(1y^2)} fY(y)∫−∞∞f(x,y)dyπ(1y2)1
4.条件分布
条件分布是指在已知另一个随机变量或事件的条件下该随机变量的概率分布。 F ( x ∣ A ) P ( X ≤ x ∣ A ) F(x|A)P(X\leq x | A) F(x∣A)P(X≤x∣A) 例子
假设概率密度函数 f ( x ) 1 π ( 1 x 2 ) f(x)\dfrac{1}{\pi(1x^2)} f(x)π(1x2)1 求在X1的条件下f(x)的条件分布函数
解 F ( x ∣ X 1 ) P ( X ≤ x ∣ X 1 ) F(x|X1)P(X\leq x|X1) F(x∣X1)P(X≤x∣X1) 当x≤1时
不满足条件 F ( x ∣ X 1 ) 0 F(x|X1)0 F(x∣X1)0 当x1时 F ( x ∣ X 1 ) P ( X ≤ x ∣ X 1 ) P ( X ≤ x , X 1 ) P ( X 1 ) F(x|X1)P(X\leq x|X1)\dfrac{P(X\leq x,X1)}{P(X1)} F(x∣X1)P(X≤x∣X1)P(X1)P(X≤x,X1) 计算分子 P ( X ≤ x , X 1 ) P ( 1 ≤ X ≤ x ) ∫ 1 x 1 π ( 1 x 2 ) d x 1 π a r c t a n ( x ) ∣ 1 x a r c t a n x π − 1 π . π 4 a r c t a n x π − 1 4 P(X\leq x,X1)P(1\leq X\leq x)\int _1^x\dfrac{1}{\pi(1x^2)}dx\dfrac{1}{\pi}arctan(x)|_1^x\dfrac{arctanx}{\pi}-\dfrac{1}{\pi}.\dfrac{\pi}{4}\dfrac{arctanx}{\pi}-\dfrac{1}{4} P(X≤x,X1)P(1≤X≤x)∫1xπ(1x2)1dxπ1arctan(x)∣1xπarctanx−π1.4ππarctanx−41 计算分母 P ( X 1 ) ∫ 1 ∞ 1 π ( 1 x 2 ) d x 1 π a r c t a n ( x ) ∣ 1 ∞ 1 π . ( π 2 − π 4 ) 1 4 P(X1)\int _1^{\infty}\dfrac{1}{\pi(1x^2)}dx\dfrac{1}{\pi}arctan(x)|_1^{\infty}\dfrac{1}{\pi}.(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4})\dfrac{1}{4} P(X1)∫1∞π(1x2)1dxπ1arctan(x)∣1∞π1.(2π−4π)41 则 F ( x ∣ X 1 ) P ( X ≤ x , X 1 ) P ( X 1 ) 4 a r c t a n x π − 1 F(x|X1)\dfrac{P(X\leq x,X1)}{P(X1)}\dfrac{4arctanx}{\pi}-1 F(x∣X1)P(X1)P(X≤x,X1)π4arctanx−1 所以在X1的条件下f(x)的条件分布函数 F ( x ∣ X 1 ) { 4 a r c t a n x π − 1 , x 1 0 , x ≤ 1 F(x|X1)\begin{cases} \dfrac{4arctanx}{\pi}-1, x1\\ 0, x≤1 \end{cases} F(x∣X1)⎩ ⎨ ⎧π4arctanx−1,0,x1x≤1
5.离散型随机变量的条件分布
条件概率质量函数定义为 P ( X x ∣ Y y ) P ( X x , Y y ) P ( Y y ) P(Xx∣Yy)\dfrac{P(Xx,Yy)}{P(Yy)} P(Xx∣Yy)P(Yy)P(Xx,Yy) 其中 P(Xx,Yy)是 X 和 Y的联合概率质量函数P(Yy) 是 Y 的边缘概率质量函数。
从分布表来理解
假设概率分布表
X\Y0100.10.310.30.3
P(Yy) 是 Y 的边缘概率质量函数Y 的边缘概率质量函数是对列求和
Y01P0.40.6
那么在Y1的条件下假设x0Xx的概率为 P ( X 0 ∣ Y 1 ) P ( X 0 , Y 1 ) P ( Y 1 ) 0.3 0.6 0.5 P(X0∣Y1)\dfrac{P(X0,Y1)}{P(Y1)}\dfrac{0.3}{0.6}0.5 P(X0∣Y1)P(Y1)P(X0,Y1)0.60.30.5 假设x1Xx的概率为 P ( X 1 ∣ Y 1 ) P ( X 1 , Y 1 ) P ( Y 1 ) 0.3 0.6 0.5 P(X1∣Y1)\dfrac{P(X1,Y1)}{P(Y1)}\dfrac{0.3}{0.6}0.5 P(X1∣Y1)P(Y1)P(X1,Y1)0.60.30.5 则在Y1的条件下X的分布函数为
X01P(X|Y1)0.30.3
其它情况如Y0条件下X的分布函数、X0及X1条件下Y的分布函数同上。
6.连续型随机变量的条件分布
在Yy条件下条件概率密度函数为 f ( x ∣ y ) f ( x , y ) f Y ( y ) f(x∣y)\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} f(x∣y)fY(y)f(x,y) 其中 f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度函数 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) 是 Y的边缘概率密度函数。
同理在Xx条件下条件概率密度函数为 f ( y ∣ x ) f ( x , y ) f X ( x ) f(y∣x)\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)} f(y∣x)fX(x)f(x,y) 其中 f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度函数 f X ( x ) f_X(x) fX(x) 是 X的边缘概率密度函数。
在Yy的条件下X的条件分布函数 F ( x ∣ y ) ∫ − ∞ x f ( x ∣ y ) d x ∫ − ∞ x f ( u , y ) f Y ( y ) d u F(x|y)\int _{-\infty}^xf(x∣y)dx\int _{-\infty}^x\dfrac{f(u,y)}{f_Y(y)}du F(x∣y)∫−∞xf(x∣y)dx∫−∞xfY(y)f(u,y)du 在Xx的条件下Y的条件分布函数 F ( y ∣ x ) ∫ − ∞ y f ( y ∣ x ) d y ∫ − ∞ y f ( x , v ) f X ( x ) d v F(y|x)\int _{-\infty}^yf(y∣x)dy\int _{-\infty}^y\dfrac{f(x,v)}{f_X(x)}dv F(y∣x)∫−∞yf(y∣x)dy∫−∞yfX(x)f(x,v)dv 例子
假设 f ( x , y ) 1 π 2 ( 1 x 2 ) ( 1 y 2 ) , f X ( x ) 1 π ( 1 x 2 ) , f Y ( y ) 1 π ( 1 y 2 ) f(x,y)\dfrac{1}{\pi^2(1x^2)(1y^2)},f_X(x)\dfrac{1}{\pi(1x^2)},f_Y(y)\dfrac{1}{\pi(1y^2)} f(x,y)π2(1x2)(1y2)1,fX(x)π(1x2)1,fY(y)π(1y2)1 求
在Yy的条件下X的条件密度函数在Xx的条件下Y的条件密度函数。
解 f ( x ∣ y ) f ( x , y ) f Y ( y ) π ( 1 y 2 ) π 2 ( 1 x 2 ) ( 1 y 2 ) 1 π ( 1 x 2 ) f ( y ∣ x ) f ( x , y ) f X ( x ) π ( 1 x 2 ) π 2 ( 1 x 2 ) ( 1 y 2 ) 1 π ( 1 y 2 ) f(x|y)\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\dfrac{\pi(1y^2)}{\pi^2(1x^2)(1y^2)}\dfrac{1}{\pi(1x^2)}\\ f(y|x)\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\dfrac{\pi(1x^2)}{\pi^2(1x^2)(1y^2)}\dfrac{1}{\pi(1y^2)} f(x∣y)fY(y)f(x,y)π2(1x2)(1y2)π(1y2)π(1x2)1f(y∣x)fX(x)f(x,y)π2(1x2)(1y2)π(1x2)π(1y2)1
7.随机变量的独立性
定义
两个随机变量 XX 和 YY 被称为独立的如果它们满足以下条件
对于连续型随机变量它们的联合概率密度函数f(x,y)可以表示为各自边缘概率密度函数的乘积 f ( x , y ) f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)f_X(x)⋅f_Y(y) f(x,y)fX(x)⋅fY(y)
对于离散型随机变量它们的联合概率质量函数P(Xx,Yy)可以表示为各自边缘概率质量函数的乘积 P ( X x , Y y ) P ( X x ) ⋅ P ( Y y ) P(Xx,Yy)P(Xx)⋅P(Yy) P(Xx,Yy)P(Xx)⋅P(Yy) 例子
1.假设我们有两个公平的六面骰子我们分别将它们记为骰子A和骰子B。
随机变量定义为
让 X 表示骰子A的结果。
让 Y 表示骰子B的结果。
事件
事件 A“骰子A显示的数字大于3”。
事件 B“骰子B显示的数字是偶数”。
问事件A和B是否独立。
解
联合概率分布表
X\Y12345611\361\361\361\361\361\3621\361\361\361\361\361\3631\361\361\361\361\361\3641\361\361\361\361\361\3651\361\361\361\361\361\3661\361\361\361\361\361\36
X的边缘概率分布表
X123456P1/61/61/61/61/61/6
Y的边缘概率分布表
Y123456P1/61/61/61/61/61/6
事件A的概率 P ( A ) P ( X 3 ) P ( X 4 ) P ( X 5 ) P ( X 6 ) 1 / 2 P(A)P(X3)P(X4)P(X5)P(X6)1/2 P(A)P(X3)P(X4)P(X5)P(X6)1/2 事件B的概率 P ( B ) P ( Y 2 ) P ( Y 4 ) P ( Y 6 ) 1 / 2 P(B)P(Y2)P(Y4)P(Y6)1/2 P(B)P(Y2)P(Y4)P(Y6)1/2 事件A和B的联合概率 P ( A B ) P ( X 4 , Y 2 ) P ( X 4 , Y 4 ) P ( X 4 , Y 6 ) P ( X 5 , Y 2 ) P ( X 5 , Y 4 ) P ( X 5 , Y 6 ) P ( X 6 , Y 2 ) P ( X 6 , Y 4 ) P ( X 6 , Y 6 ) 1 / 4 P(AB)P(X4,Y2)P(X4,Y4)P(X4,Y6)\\ P(X5,Y2)P(X5,Y4)P(X5,Y6)\\ P(X6,Y2)P(X6,Y4)P(X6,Y6)1/4 P(AB)P(X4,Y2)P(X4,Y4)P(X4,Y6)P(X5,Y2)P(X5,Y4)P(X5,Y6)P(X6,Y2)P(X6,Y4)P(X6,Y6)1/4 所以 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 1 / 4 P(AB)P(A)P(B)1/4 P(AB)P(A)P(B)1/4 所以A、B事件是独立的。
2.假设经理8-12点到公司秘书7-9点到公司经理和秘书到公司的事件是独立的求经理和秘书到公司的联合概率。
解
设X是经理到公司的事件Y为秘书到公司的事件则X、Y的密度函数服从均匀分布。 f ( x ) { 1 4 , 8 x 12 0 , 其它 f(x)\begin{cases} \dfrac{1}{4}, 8x12\\ 0, 其它 \end{cases} f(x)⎩ ⎨ ⎧41,0,8x12其它 f ( y ) { 1 2 , 7 y 9 0 , 其它 f(y)\begin{cases} \dfrac{1}{2}, 7y9\\ 0, 其它 \end{cases} f(y)⎩ ⎨ ⎧21,0,7y9其它
由于X、Y是独立的则联合密度函数 f ( x , y ) f ( x ) f ( y ) { 1 8 , 8 x 12 , 7 y 9 0 , 其它 f(x,y)f(x)f(y)\begin{cases} \dfrac{1}{8}, 8x12,7y9\\ 0, 其它 \end{cases} f(x,y)f(x)f(y)⎩ ⎨ ⎧81,0,8x12,7y9其它
8.二维随机变量函数的分布
8.1 二维离散型随机变量函数的分布
二维离散型随机变量函数的分布指的是在给定两个离散型随机变量 X 和 Y的情况下它们函数 Zg(X,Y)的分布。这里
g(X,Y)是一个定义在 X和 Y取值范围内的函数。
要找到函数 Z 的分布我们需要确定 Z 的每一个可能值的概率。具体步骤如下
确定函数的输出值列出函数 Zg(X,Y)可能的所有输出值。计算每个输出值的概率对于每一个可能的输出值 z计算 Zz的概率。这通常涉及到对 X 和 Y的联合概率质量函数 P(Xx,Yy)进行求和。构建概率质量函数构建函数 Z 的概率质量函数即对于每一个可能的 z确定 P(Zz)。
例子
假设有两个离散型随机变量 XX 和 YY它们的联合PMF如下表所示
X \ Y12310.10.20.020.00.30.030.10.10.2
求函数 ZXY。
解 确定函数的输出值列出所有可能的 X 和 Y组合的和。 112 123 134 224 235 336 所以Z 可能的值是 2, 3, 4, 5, 6。 计算每个输出值的概率 P(Z2)P(X1,Y1)0.1 P(Z3)P(X1,Y2)P(X2,Y1)0.2 P(Z4)P(X1,Y3)P(X2,Y2)P(X3,Y1)0.00.30.10.4 P(Z5)P(X2,Y3)P(X3,Y2)0.1 P(Z6)P(X3,Y3)0.2 构建概率质量函数 P(Z2)0.1 P(Z3)0.2 P(Z4)0.4 P(Z5)0.1 P(Z6)0.2 函数分布表为 Z23456P0.10.20.40.10.2
以上的解法比较麻烦可以根据分布表来计算。
1.根据ZXY将X的每行分别于Y的每列分别相加得到Z的取值再按X、Y在表格中对应的单元格中的值照抄过来得到
Z234345456P0.10.20.00.00.30.00.10.10.2
2.合并Z中重复的值及对应的概率即概率相加
Z23456P0.10.20.40.10.2
8.2 二维连续型随机变量函数的分布
二维连续型随机变量函数的分布是指由两个连续型随机变量 (X,Y)构成的联合分布并通过某种函数关系 Zg(X,Y)得到一个新的随机变量 Z
的分布。
假设 (X,Y)是一个二维连续型随机变量其联合概率密度函数为 f(x,y)。设 Zg(X,Y) 是一个函数关系其中 g 是一个已知的函数。我们需要
找到 Z 的概率密度函数 f Z ( z ) f_Z(z) fZ(z) 具体步骤如下 计算 Z的累积分布函数 F Z ( z ) F_Z(z) FZ(z) F Z ( z ) P ( Z ≤ z ) P ( g ( X , Y ) ≤ z ) F_Z(z)P(Z≤z)P(g(X,Y)≤z) FZ(z)P(Z≤z)P(g(X,Y)≤z) 这可以通过对联合分布函数进行积分得到 F Z ( z ) ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy FZ(z)∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy 求导得到概率密度函数 f Z ( z ) f_Z(z) fZ(z) f Z ( z ) d d z F Z ( z ) f_Z(z)\dfrac{d}{dz}F_Z(z) fZ(z)dzdFZ(z)
对于某些特定的函数 g(X,Y)可以直接求出 Z 的概率密度函数。例如如果 g(X,Y)XY则可以通过以下步骤求出 Z 的概率密度函数 确定 Z 的范围 ZXY 确定 Z 的可能取值范围。 计算 Z的概率密度函数 f Z ( z ) ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f_Z(z)∫_{−∞}^∞f_X(x)f_Y(z−x)dx fZ(z)∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx 这称为卷积公式。
例子
假设 (X,Y) 的联合概率密度函数为 f ( x , y ) { 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 0 , otherwise f(x, y) \begin{cases} 2, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, \text{otherwise} \end{cases} f(x,y){2,0,0≤x≤1,0≤y≤1otherwise 求Z**XY的分布
解
确定Z的范围 0 ≤ Z ≤ 2 0\leq Z \leq 2 0≤Z≤2 先求分布函数 F Z ( z ) P ( Z ≤ z ) ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)P(Z≤z)∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy FZ(z)P(Z≤z)∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy 当z0时因为x、y都大于0所以事件不可能发生 F Z ( z ) 0 F_Z(z)0 FZ(z)0 当0≤z≤1时画出图形 根据图形可知 0 ≤ x ≤ z , 0 ≤ y ≤ z − x 0≤x≤z,0≤y≤z-x 0≤x≤z,0≤y≤z−x F Z ( z ) P ( Z ≤ z ) ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y ∫ 0 z d x ∫ 0 z − x 2 d y 2 ∫ 0 z ( z − x ) d x 2 ( z x − 1 2 x 2 ) ∣ 0 z z 2 F_Z(z)P(Z≤z)∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy\int_0^zdx\int_0^{z-x}2dy2\int_0^z(z-x)dx2(zx-\dfrac{1}{2}x^2)|_0^zz^2 FZ(z)P(Z≤z)∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy∫0zdx∫0z−x2dy2∫0z(z−x)dx2(zx−21x2)∣0zz2
当1≤z≤2时画出图形 根据图形可知
所求面积1-右上角三角形面积S S ( 2 − z ) 2 2 S\dfrac{(2-z)^2}{2} S2(2−z)2 F Z ( z ) P ( Z ≤ z ) ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y 2 ( 1 − ( 2 − z ) 2 2 ) 2 − ( 2 − z ) 2 F_Z(z)P(Z≤z)∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy2(1-\dfrac{(2-z)^2}{2})2-(2-z)^2 FZ(z)P(Z≤z)∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy2(1−2(2−z)2)2−(2−z)2
当z2时超出x、y的取值范围不可能发生 F Z ( z ) 0 F_Z(z)0 FZ(z)0 所以 F Z ( z ) { z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 1 − ( 2 − z ) 2 2 , 1 ≤ z ≤ 2 0 , 其它 F_Z(z)\begin{cases} z^2, 0\leq z\leq 1\\ 1-\dfrac{(2-z)^2}{2}, 1\leq z\leq 2\\ 0, 其它 \end{cases} FZ(z)⎩ ⎨ ⎧z2,1−2(2−z)2,0,0≤z≤11≤z≤2其它 求导 f Z ( z ) F z ′ ( z ) { 2 z , 0 ≤ z ≤ 1 4 − 2 z , 1 ≤ z ≤ 2 0 , 其它 f_Z(z)F_z(z)\begin{cases} 2z, 0\leq z\leq 1\\ 4-2z, 1\leq z\leq 2\\ 0, 其它 \end{cases} fZ(z)Fz′(z)⎩ ⎨ ⎧2z,4−2z,0,0≤z≤11≤z≤2其它 文章转载自： http://www.morning.mtjwp.cn.gov.cn.mtjwp.cn http://www.morning.pmsl.cn.gov.cn.pmsl.cn http://www.morning.rkqqf.cn.gov.cn.rkqqf.cn http://www.morning.pqcrz.cn.gov.cn.pqcrz.cn http://www.morning.lbggk.cn.gov.cn.lbggk.cn http://www.morning.lrybz.cn.gov.cn.lrybz.cn http://www.morning.bntfy.cn.gov.cn.bntfy.cn http://www.morning.cywf.cn.gov.cn.cywf.cn http://www.morning.rcjqgy.com.gov.cn.rcjqgy.com http://www.morning.tblbr.cn.gov.cn.tblbr.cn http://www.morning.yfzld.cn.gov.cn.yfzld.cn http://www.morning.rdmz.cn.gov.cn.rdmz.cn http://www.morning.tblbr.cn.gov.cn.tblbr.cn http://www.morning.mdtfh.cn.gov.cn.mdtfh.cn http://www.morning.yldgw.cn.gov.cn.yldgw.cn http://www.morning.nfccq.cn.gov.cn.nfccq.cn http://www.morning.rnnq.cn.gov.cn.rnnq.cn http://www.morning.mtzyr.cn.gov.cn.mtzyr.cn http://www.morning.xnlj.cn.gov.cn.xnlj.cn http://www.morning.zrwlz.cn.gov.cn.zrwlz.cn http://www.morning.qgjxy.cn.gov.cn.qgjxy.cn http://www.morning.pigcamp.com.gov.cn.pigcamp.com http://www.morning.hxcrd.cn.gov.cn.hxcrd.cn http://www.morning.nafdmx.cn.gov.cn.nafdmx.cn http://www.morning.zshuhd015.cn.gov.cn.zshuhd015.cn http://www.morning.trplf.cn.gov.cn.trplf.cn http://www.morning.gtmgl.cn.gov.cn.gtmgl.cn http://www.morning.kzqpn.cn.gov.cn.kzqpn.cn http://www.morning.kjjbz.cn.gov.cn.kjjbz.cn http://www.morning.jkszt.cn.gov.cn.jkszt.cn http://www.morning.mfmx.cn.gov.cn.mfmx.cn http://www.morning.hhxwr.cn.gov.cn.hhxwr.cn http://www.morning.wbdm.cn.gov.cn.wbdm.cn http://www.morning.sogou66.cn.gov.cn.sogou66.cn http://www.morning.sgfnx.cn.gov.cn.sgfnx.cn http://www.morning.ktblf.cn.gov.cn.ktblf.cn http://www.morning.gzzncl.cn.gov.cn.gzzncl.cn http://www.morning.ssjee.cn.gov.cn.ssjee.cn http://www.morning.pxdgy.cn.gov.cn.pxdgy.cn http://www.morning.njnqn.cn.gov.cn.njnqn.cn http://www.morning.horihe.com.gov.cn.horihe.com http://www.morning.jhtrb.cn.gov.cn.jhtrb.cn http://www.morning.nqxdg.cn.gov.cn.nqxdg.cn http://www.morning.pwmpn.cn.gov.cn.pwmpn.cn http://www.morning.duqianw.com.gov.cn.duqianw.com http://www.morning.dwzwm.cn.gov.cn.dwzwm.cn http://www.morning.tkhyk.cn.gov.cn.tkhyk.cn http://www.morning.nspbj.cn.gov.cn.nspbj.cn http://www.morning.ghxzd.cn.gov.cn.ghxzd.cn http://www.morning.yrdkl.cn.gov.cn.yrdkl.cn http://www.morning.pqcbx.cn.gov.cn.pqcbx.cn http://www.morning.ggrzk.cn.gov.cn.ggrzk.cn http://www.morning.nnmnz.cn.gov.cn.nnmnz.cn http://www.morning.nfpgc.cn.gov.cn.nfpgc.cn http://www.morning.sgpny.cn.gov.cn.sgpny.cn http://www.morning.jfgmx.cn.gov.cn.jfgmx.cn http://www.morning.btlsb.cn.gov.cn.btlsb.cn http://www.morning.xzqzd.cn.gov.cn.xzqzd.cn http://www.morning.rqdx.cn.gov.cn.rqdx.cn http://www.morning.qyqdz.cn.gov.cn.qyqdz.cn http://www.morning.rqckh.cn.gov.cn.rqckh.cn http://www.morning.xjkr.cn.gov.cn.xjkr.cn http://www.morning.gydth.cn.gov.cn.gydth.cn http://www.morning.rfjmy.cn.gov.cn.rfjmy.cn http://www.morning.ntgsg.cn.gov.cn.ntgsg.cn http://www.morning.mnsts.cn.gov.cn.mnsts.cn http://www.morning.lbgfz.cn.gov.cn.lbgfz.cn http://www.morning.ypklb.cn.gov.cn.ypklb.cn http://www.morning.gdgylp.com.gov.cn.gdgylp.com http://www.morning.cspwj.cn.gov.cn.cspwj.cn http://www.morning.jqbmj.cn.gov.cn.jqbmj.cn http://www.morning.fwzjs.cn.gov.cn.fwzjs.cn http://www.morning.dqdss.cn.gov.cn.dqdss.cn http://www.morning.hlrtzcj.cn.gov.cn.hlrtzcj.cn http://www.morning.daidudu.com.gov.cn.daidudu.com http://www.morning.lbpfl.cn.gov.cn.lbpfl.cn http://www.morning.cwqpl.cn.gov.cn.cwqpl.cn http://www.morning.wpsfc.cn.gov.cn.wpsfc.cn http://www.morning.nqwz.cn.gov.cn.nqwz.cn http://www.morning.ljpqy.cn.gov.cn.ljpqy.cn
