山东建设管理局网站,制作网站语言,信誉好的手机网站建设,现在做网站用什么软件文章目录 前言一、傅里叶变换1.傅里叶变换的发展2.常见的傅里叶变换3.频域 二、欧拉公式1.实数、虚数、复数2.对虚数和复数的理解3.复平面4.复数和三角函数5.复数的运算6.欧拉公式 三、积分运算1.定积分2.不定积分3.基本的积分公式4.积分规则线性替换法分部积分法 5.定积分计算… 文章目录 前言一、傅里叶变换1.傅里叶变换的发展2.常见的傅里叶变换3.频域 二、欧拉公式1.实数、虚数、复数2.对虚数和复数的理解3.复平面4.复数和三角函数5.复数的运算6.欧拉公式 三、积分运算1.定积分2.不定积分3.基本的积分公式4.积分规则线性替换法分部积分法 5.定积分计算实例6.简单描述积分在CFT作用 总结 前言
之前的一系列文章中我们介绍了信号的分类、系统、以及在时域上对于序列的分析工具卷积公式和差分方程。
由于很多信号的处理从时域上并不能很好、快速的处理并且基于分析我们得到一个结论信号的波形可以分解为多个不同频率正弦波的组成而这个分解的工具就是傅里叶变换。
本章中会先对傅里叶变换做一个总的介绍同时因为学习傅里叶变化需要一定的数学知识所以本章内容会先介绍傅里叶变换然后再介绍关于傅里叶变换公式中的数学知识欧拉公式和积分方程。
|版本声明山河君未经博主允许禁止转载 一、傅里叶变换
1.傅里叶变换的发展
傅里叶级数这个名字是由18世纪法国数学家傅里叶提出的最开始是用于对热过程解析但其研究“任意”的周期函数通过一定的分解都能够表示为正弦和余弦信号的线性组合方式。
而后1829年狄利赫里给出了傅里叶级数的收敛条件。
二十世纪初傅里叶的思想被推广到非周期函数成为了傅里叶变换可以将任意信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。但是此时傅里叶变换存在一些问题对于非周期函数和时变信号傅里叶变换无法处理。
直到20世纪70年代引入的小波信号解决了这些问题。
傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算而后离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出才最终通过计算机对于信号能够做快速的处理。
2.常见的傅里叶变换
连续傅里叶变换Continuous Fourier Transform, CFT
公式 F ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e − j w t d w F(\omega)\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt\\ f(t)\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{-jwt}dw F(ω)∫−∞∞f(t)e−jwtdtf(t)2π1∫−∞∞F(ω)e−jwtdw定义连续时间信号 f ( t ) f(t) f(t)和频域 F ( ω ) F(\omega) F(ω)互转应用场景连续信号频谱分析
离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform, DFT
公式 X [ k ] ∑ n 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π N k n , k 0 , 1 , 2 , . . , N − 1 x [ n ] 1 N ∑ k 0 N − 1 X [ k ] e j 2 π N k n X[k] \sum^{N-1}_{n0}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k0,1,2,..,N-1 \\ x[n] \frac{1}{N}\sum^{N-1}_{k0}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} X[k]n0∑N−1x[n]e−jN2πkn,k0,1,2,..,N−1x[n]N1k0∑N−1X[k]ejN2πkn定义离散信号频域转换应用场景数字信号处理音频计算机处理
短时傅里叶变换Short-Time Fourier Transform, STFT
公式 S T F T ( t , ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ω ( τ − t ) e − j w τ d τ STFT(t,\omega)\int^{\infty}_{-\infty}f(\tau)\omega(\tau-t)e^{-jw\tau}d\tau STFT(t,ω)∫−∞∞f(τ)ω(τ−t)e−jwτdτ定义在信号的时间维度上使用滑动窗口分段计算傅里叶变换应用场景非平稳信号分析如语音处理、地震波分析
离散时间傅里叶变换Discrete-Time Fourier Transform, DTFT
公式 X [ ω ] ∑ n − ∞ ∞ x [ n ] e − j w n X[\omega]\sum^{\infty}_{n-\infty}x[n]e^{-jwn} X[ω]n−∞∑∞x[n]e−jwn定义 离散时间信号的频谱分析应用场景数字信号的理论分析
傅里叶级数
公式 f ( t ) a 0 ∑ n 0 ∞ ( a n cos ( n ω 0 t ) b n sin ( n ω 0 t ) ) o r f ( t ) ∑ n 0 ∞ c n e j n ω 0 t f(t) a_0\sum^{\infty}_{n0}(a_n\cos(n\omega_0t)b_n\sin(n\omega_0t)) \quad or\\ f(t)\sum^{\infty}_{n0}c_ne^{jn\omega_0t} f(t)a0n0∑∞(ancos(nω0t)bnsin(nω0t))orf(t)n0∑∞cnejnω0t定义: 将周期信号分解为多个正弦和余弦函数的线性组合。应用场景: 信号周期性分析
小波变换Wavelet Transform, WT多种不做展示
定义: 一种局部化的傅里叶分析使用小波函数代替正弦波进行信号分析。特点: 提供多分辨率分析。应用场景: 数据压缩、信号去噪、特征提取。
快速余弦/正弦变换Fast Cosine/Sine Transform, FCT/FST
定义: 傅里叶变换的特化形式仅保留正弦或余弦部分。应用场景: 压缩算法如JPEG、解决偏微分方程。
3.频域
我们说傅里叶变换是将时域转成了频域那么频域到底是什么在音频基础文章中我们有一张对于时域和频域图像的解释图 在时域图形中很好理解这是一个二维坐标轴横轴表示时间纵轴表示的波形那么通过傅里叶变换我们得到的频域图是什么样子呢这里使用Adobe audition软件做展示 我们可以看到频域图的横轴是频率纵轴是该频率占有的功率/幅度图像中是转为了db来展示
二、欧拉公式
在上面各种傅里叶变换公式中可以看到基本上每个公式都包含 e j w t , ∫ , ω e^{jwt},\int,\omega ejwt,∫,ω这些符号对于 ω \omega ω我们之前在音频基础学习中有介绍单位圆转一圈的时间为一个周期那么频率 f 1 t f\frac {1}{t} ft1此时转过的弧度为 2 π 2\pi 2π而角频率 ω 2 π t \omega\frac{2\pi}{t} ωt2π。
而对于 e j w t e^{jwt} ejwt,它其实描述的是某一个点在复平面上的位置是根据欧拉公式得到的在之前的文章中我们使用单位脉冲分解可以表示信号现在我们使用复数来看一下复指数信号。
1.实数、虚数、复数
虚数在数学里,将平方是负数的数定义为纯虚数实数有理数和无理数的总称其中无理数就是无限不循环小数有理数就包括整数和分数复数 z a b i , { a 、 b ∈ R a ≠ 0 、 b ≠ 0 } zabi, \{a、b∈Ra≠0、b≠0\} zabi,{a、b∈Ra0、b0}其中 i 2 − 1 i^2 -1 i2−1是指虚数单位当 a 0 , b ≠ 0 a0,b \neq 0 a0,b0 时 z z z是纯虚数当 a ≠ 0 , b 0 a\neq0,b0 a0,b0时 z z z是实数
2.对虚数和复数的理解 发展历史 复数最早出现于公元1世纪希腊数学家海伦而给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔1596~1650发表出来的。 刚开始复数的出现不被人们理解就像 4 − 3 4-3 4−3人们可以很好理解那么 3 − 4 3-4 3−4呢这到底是什么意思你怎么能从 4 头奶牛中拿走 3 头奶牛你怎么能比没有少呢于是出现了可以跟踪方向的、-号那么就可以理解为你还欠我一头奶牛没给我。 在数学家的目标中数学体系的一部分就是要确保每个方程都有解如果 i 2 0 i^2 0 i20很好理解那么 i 2 − 1 i^2 -1 i2−1该怎么理解呢于是就出现了无法在一维实数线上找到对应值的数——虚数。 几何意义 首先思考一个问题什么样的 i i i乘上自身可以等于-1 假如我们想从位置A逆时针旋转90°到位置B再从位置B逆时针旋转90°到位置C那么是不是 1 ∗ 逆时针旋转 90 ° ) 2 − 1 1*逆时针旋转90°)^2 -1 1∗逆时针旋转90°)2−1是不是把复数在几何中当作旋转这种想法让人非常吃惊
3.复平面
复平面是用来表示复数的一个二维坐标系和实数二位坐标系类似复平面同样有两个轴只不过一个是实轴一个是虚轴如下图 前面我们说过 i i i是代表位置A逆时针旋转了90°到达了位置B 复数 z a b i zabi zabi在复平面上的含义有
实部 a a a代表复数在 实轴 上的位置。虚部 b b b代表复数在 虚轴 上的位置复数 z z z表示复平面上的一个点或者说是一个从原点到平面上某个位置的向量
从上图我们可以得到 z 1 1 ∗ i z 1 1 * i z11∗i之前我们说过 i i i在几何种表示逆时针旋转90°我们可以看到 1 1 ∗ i 1 1 * i 11∗i的表示为逆时针旋转45°注意看 z z z在复平面上的位置。
4.复数和三角函数
三角函数的理解
在音频基础学习二——声音的波形中提到了所有的波通过傅里叶变化可以成为正弦波的叠加反过来正弦波的叠加最终变为了我们实际数字信号的音频波。
而三角函数作为将角度和弧度联系的数学工具在单位圆1中可以把 sin θ \sin \theta sinθ 看作竖轴的坐标 cos θ \cos \theta cosθ看作横轴的坐标即 位置 D sin α C D , 位置 E cos α A D 位置D \sin\alpha CD, 位置E \cos\alphaAD 位置DsinαCD,位置EcosαAD
那么如果这个平面是复平面那么 z a b i z cos α sin α i zabi z\cos\alpha \sin\alpha i zabizcosαsinαi
极坐标
极坐标是复数 z z z的另外一种表示方式使用角度 θ \theta θ和模长 r r r进行表示替换了实轴和虚轴的坐标其实就是上面的公式 z cos α sin α i z\cos\alpha \sin\alpha i zcosαsinαi只是这个公式只有在半径为1的时候才正确正确的表达方式应该是 z r ( cos θ i sin θ ) z r(\cos\thetai \sin\theta) zr(cosθisinθ)此时 r r r为了便于区分不叫作半径叫做模长.
5.复数的运算
加法 复数的加法和物理中实数的加法类似例如下图有AB和AC的力那么最终力是多少 AB分解为AE和AF AC分解为AG和AH那么最终力AD就是AEAG AHAF即 z ( 3 1 ∗ i ) ( 1 3 ∗ i ) ( 4 4 ∗ i ) z (3 1*i) (13*i) (44*i) z(31∗i)(13∗i)(44∗i)乘法 假如现在有 z ( 3 1 ∗ i ) ∗ ( 1 1 ∗ i ) 3 ∗ 1 3 ∗ i 1 ∗ i i 2 2 4 i z (3 1*i) * (11*i) 3* 1 3 * i 1* i i^2 24i z(31∗i)∗(11∗i)3∗13∗i1∗ii224i那么这个有什么意义呢如下图 上文我们说过 1 1 ∗ i 1 1 * i 11∗i的表示为逆时针旋转45°而上面的最终极坐标的位置也是移动了45°事实上复数的乘法代表了模长的拉长下文中解释以及极坐标的旋转。
6.欧拉公式
欧拉公式Euler’s formula是复分析中的一个重要公式它展示了复指数函数和三角函数之间的关系。公式的形式为推导过程太复杂不进行赘述有兴趣可以自己百度看 e i θ cos θ i ∗ sin θ e^{i\theta} \cos\theta i*\sin\theta eiθcosθi∗sinθ 我们根据欧拉公式得到复数的表示形式为 z r ∗ e i θ z r * e^{i\theta} zr∗eiθ 假设有两个复数 z 1 2 ∗ e i 30 ° z_1 2 * e^{i30°} z12∗ei30°表示模长为2角度为30° z 2 3 ∗ e i 45 ° z_2 3 * e^{i45°} z23∗ei45° 表示模长为3角度为45° z 1 ∗ z 2 2 ∗ 3 ∗ e i ( 30 ° 45 ° ) 6 ∗ e i 75 ° z_1* z_2 2 * 3 *e^{i(30°45°)} 6*e^{i75°} z1∗z22∗3∗ei(30°45°)6∗ei75°表示模长为6角度为75°
三、积分运算
1.定积分
定积分是微积分中的一种运算它可以用来计算一个函数在某个区间上的“总和”例如面积、体积或累积量。它的表达方式为 ∫ a b f ( x ) d x F ( b ) − F ( a ) \int_a^bf(x)dx F(b)-F(a) ∫abf(x)dxF(b)−F(a) f ( x ) f(x) f(x)是被积函数 a , b a,b a,b:是积分的上下限 d x dx dx:表示对于 x x x的积分 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)的原函数即 F ′ ( x ) f ( x ) F(x) f(x) F′(x)f(x)
2.不定积分
不定积分是求一个函数的原函数的过程结果是一个包含常数项 C C C的函数。它的表达方式为 ∫ f ( x ) d x F ( x ) C \int f(x)dx F(x)C ∫f(x)dxF(x)C F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)的原函数$ C C C是积分常数
注意虽然定积分和不定积分看起来只是没有了上下限且在 F ( a ) − F ( b ) F(a)-F(b) F(a)−F(b)时积分常数 C C C被相减消失但是两者有本质的区别前者用于计算函数区间上的面积是数值后者是寻找原函数的是函数。
3.基本的积分公式
被积函数 f ( x ) f(x) f(x)原函数 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dx x n , n ≠ 1 x^n,n\neq1 xn,n1 x n 1 n 1 C \frac{x^{n1}}{n1}C n1xn1C 1 x \frac{1}{x} x1 ln ∣ x ∣ C \ln\mid x\midC ln∣x∣C e x e^x ex e x C e^xC exC a x , a 0 a^x,a0 ax,a0 a x ln a C \frac{a^x}{\ln a}C lnaaxC sin x \sin x sinx − cos x C -\cos xC −cosxC cos x \cos x cosx sin x C \sin xC sinxC sec x \sec^x secx tan x C \tan xC tanxC csc x \csc^x cscx − cot x C -\cot xC −cotxC sec x tan x \sec x \tan x secxtanx sec x C \sec x C secxC csc x cot x \csc x\cot x cscxcotx − csc x C -\csc xC −cscxC
4.积分规则
线性
积分同样具有线性即满足叠加和齐次性 ∫ [ f ( x ) g ( x ) ] d x ∫ f ( x ) d x ∫ g ( x ) d x \int[f(x)g(x)]dx\int f(x)dx\int g(x)dx ∫[f(x)g(x)]dx∫f(x)dx∫g(x)dx ∫ c ∗ f ( x ) d x c ∗ ∫ f ( x ) d x \int c*f(x)dxc*\int f(x)dx ∫c∗f(x)dxc∗∫f(x)dx
替换法
对于复合函数可以通过变量替换u-substitution来简化积分。例如 ∫ ( 2 x ) e x 2 d x \int (2x)e^{x^2}dx ∫(2x)ex2dx 令 u x 2 , d u 2 x d x ux^2,du2xdx ux2,du2xdx则 ∫ e u d u e u C e x 2 C \int e^udue^uCe^{x^2}C ∫eudueuCex2C
分部积分法
分部积分法用于积分两个函数的乘积公式为 ∫ u d v u v − ∫ v d u \int udvuv-\int vdu ∫udvuv−∫vdu 例如 ∫ x e x d x \int xe^xdx ∫xexdx 令 u x , d v e x d x , d u d x , v e x ux,dve^xdx,dudx,ve^x ux,dvexdx,dudx,vex则 ∫ x e x d x x e x − ∫ e x d x x e x − e x C \int xe^xdxxe^x-\int e^xdxxe^x-e^xC ∫xexdxxex−∫exdxxex−exC
5.定积分计算实例
例如现在有函数 f ( x ) x 2 f(x) x^2 f(x)x2那么求 x ∈ [ 1 , 2 ] x \in[1,2] x∈[1,2]时的面积
定积分的理解 假设我们把区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]分割成 n n n等份即 Δ x b − a n , x 0 a , x 1 a Δ , x 2 a 2 × Δ , . . . , x n b \Delta x\frac{b-a}{n},\quad x_0a,x_1 a\Delta,x_2a2\times\Delta,...,x_nb Δxnb−a,x0a,x1aΔ,x2a2×Δ,...,xnb此时当 n n n趋向无穷大时 f ( x 0 ) f ( x 1 ) f(x_0) f(x_1) f(x0)f(x1)所以面积就变成了 n n n个面积的累加和就有 ∫ a b f ( x ) d x lim n → ∞ ∑ i 1 n f ( x i ) Δ x \int_a^bf(x)dx \lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{i1}f(x_i)\Delta x ∫abf(x)dxn→∞limi1∑nf(xi)Δx结合积分公式得结果 ∫ 1 2 x 2 d x F ( 2 ) − F ( 1 ) 2 2 1 2 1 − 1 2 1 2 1 8 3 − 1 3 ≈ 2.33 \int_1^2x^2dxF(2)-F(1)\frac{2^{21}}{21}-\frac{1^{21}}{21}\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\approx 2.33 ∫12x2dxF(2)−F(1)21221−2112138−31≈2.33
6.简单描述积分在CFT作用
对于连续时间傅里叶变换 F ( ω ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t F(\omega)\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt F(ω)∫−∞∞f(t)e−jwtdt f ( t ) f(t) f(t)是时域信号 F ( W ) F(W) F(W)是对应的频域信号积分的作用是将 f ( t ) f(t) f(t)和 e − j w t e^{-jwt} e−jwt做点积用来测量 f ( t ) f(t) f(t)在频率 W W W上的投影。换句话说积分计算了信号在特定频率下的权重即幅值和相位。
具体详细过程受文章篇幅影响在之后的文章中给出详细解释。 总结
在本篇文章中先介绍了对于傅里叶变换的历史、傅里叶变换的多个公式以及对于公式中所需要的数学知识做了详细的介绍。结合图形的方式理解欧拉公式中复指数函数和三角函数的关系使用复指数函数来表述信号。同时介绍了积分的运算知识简单描述了积分在傅里叶变换中的作用。
在一篇文章中将深入解析傅里叶变换公式以及它的应用。
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