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贪心(?)
题目大意
对于两个大小相同的多重集 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B #xff0c;可以选择其中任一元素 x x x 执行操作 x x 1 xx1 xx1 任意次数#xff0c;最少的使得 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B 相同的操作次数记为 C ( A , B ) C(\m…B.Distance
贪心(?)
题目大意
对于两个大小相同的多重集 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B 可以选择其中任一元素 x x x 执行操作 x x 1 xx1 xx1 任意次数最少的使得 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B 相同的操作次数记为 C ( A , B ) C(\mathbb{A},\mathbb{B}) C(A,B) 不同大小的 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B 视为 C ( A , B ) 0 C(\mathbb{A},\mathbb{B})0 C(A,B)0
现在给定两个大小为 n n n 的多重集 S , T \mathbb{S},\mathbb{T} S,T 求对于 S , T \mathbb{S},\mathbb{T} S,T 的所有子集 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B 最少操作次数之和 ∑ A ⊆ S ∑ B ⊆ T C ( A , B ) \sum\limits_{\mathbb{A} \subseteq \mathbb{S}}\sum\limits_{\mathbb{B} \subseteq \mathbb{T}} C(\mathbb{A},\mathbb{B}) A⊆S∑B⊆T∑C(A,B) 的值 具有相同值的两个元素视为不同元素答案取模
解题思路
对于某对子集 A , B \mathbb{A},\mathbb{B} A,B 为了使他们相同的操作次数最少我们会将他们排序的元素后一一对应使每一对中较小的数变成较大的数//假设 a i a_i ai 与 b i b_i bi 对应他们在这次变化中贡献的操作次数显然是 ∣ a i − b i ∣ |a_i-b_i| ∣ai−bi∣
那么换一种角度考虑对于原多重集 S , T \mathbb{S},\mathbb{T} S,T 任取一对数 a i , b j a_i,b_j ai,bj 考虑它们俩对应的方案数 c n t i , j cnt_{i,j} cnti,j 那么它们在全部方案中贡献的总操作次数即为 ∣ a i − b i ∣ × c n t i , j |a_i-b_i|\times cnt_{i,j} ∣ai−bi∣×cnti,j
由于我们的操作策略是排序后对应因此先对 S , T \mathbb{S},\mathbb{T} S,T 进行排序// 选定两个数 a i , b j a_i,b_j ai,bj 后它们在 S , T \mathbb{S},\mathbb{T} S,T 中的位置前面选 k k k 对数的方案数为 ∑ k 0 m i n ( i − 1 , j − 1 ) C i − 1 k C j − 1 k C i j − 2 k \sum\limits_{k0}^{min(i-1,j-1)}C_{i-1}^kC_{j-1}^kC_{ij-2}^k k0∑min(i−1,j−1)Ci−1kCj−1kCij−2k 范德蒙德卷积
同理它们在 S , T \mathbb{S},\mathbb{T} S,T 中的位置后面选 k k k 对数的方案数为 C 2 ∗ n − i − j k C_{2*n-i-j}^k C2∗n−i−jk 总方案数为 c n t i , j C i j − 2 k C 2 ∗ n − i − j k cnt_{i,j}C_{ij-2}^kC_{2*n-i-j}^k cnti,jCij−2kC2∗n−i−jk 乘以两数之差的绝对值即为它们对答案的总贡献//
预处理组合数枚举 i , j i,j i,j 求和即可
时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
参考代码 参考代码为已AC代码主干其中部分功能需读者自行实现 #define N 2005
void solve()
{ll n,t;cin n;vectorll a(n),b(n);for(auto x:a) cin x;for(auto x:b) cin x;ll re0;SORT(a);SORT(b);FORLL(i,0,n-1) FORLL(j,0,n-1)addto(re,mul(abs(a[i]-b[j]),mul(Get_Combination(ij,i),Get_Combination((n-i-1)(n-j-1),(n-i-1)))));cout re endl;
}
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